2025屆黑龍江省雙城市兆麟中學高三新時代NT抗疫愛心卷（II）數學試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知在中，角的對邊分別為，若函數存在極值，則角的取值范圍是（）A． B． C． D．2．已知底面是等腰直角三角形的三棱錐P-ABC的三視圖如圖所示，俯視圖中的兩個小三角形全等，則（）A．PA，PB，PC兩兩垂直 B．三棱錐P-ABC的體積為C． D．三棱錐P-ABC的側面積為3．執行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則①處應填寫（）A． B． C． D．4．已知函數的最小正周期為,為了得到函數的圖象,只要將的圖象()A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度5．設，，分別是中，，所對邊的邊長，則直線與的位置關系是（）A．平行 B．重合C．垂直 D．相交但不垂直6．若復數（是虛數單位），則復數在復平面內對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．已知函數（e為自然對數底數），若關于x的不等式有且只有一個正整數解，則實數m的最大值為（）A． B． C． D．8．“完全數”是一些特殊的自然數，它所有的真因子（即除了自身以外的約數）的和恰好等于它本身.古希臘數學家畢達哥拉斯公元前六世紀發現了第一、二個“完全數”6和28，進一步研究發現后續三個完全數”分別為496，8128，33550336，現將這五個“完全數”隨機分為兩組，一組2個，另一組3個，則6和28不在同一組的概率為（）A． B． C． D．9．已知為圓的一條直徑，點的坐標滿足不等式組則的取值范圍為（）A． B．C． D．10．已知雙曲線的右焦點為，若雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，且點到該漸近線的距離為，則雙曲線的實軸的長為A． B．C． D．11．已知數列的首項，且，其中，，，下列敘述正確的是（）A．若是等差數列，則一定有 B．若是等比數列，則一定有C．若不是等差數列，則一定有 D．若不是等比數列，則一定有12．已知點、．若點在函數的圖象上，則使得的面積為的點的個數為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，網格紙上小正方形的邊長為，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為________.14．在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），曲線的參數方程為（為參數）.（1）求直線和曲線的普通方程；（2）設為曲線上的動點，求點到直線距離的最小值及此時點的坐標.15．已知復數,其中是虛數單位．若的實部與虛部相等,則實數的值為__________．16．已知各項均為正數的等比數列的前項積為，，（且），則__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，．（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）若，，求的值．18．（12分）如圖，是矩形，的頂點在邊上，點，分別是，上的動點（的長度滿足需求）.設，，，且滿足.（1）求；（2）若，，求的最大值.19．（12分）車工劉師傅利用數控車床為某公司加工一種高科技易損零件，對之前加工的100個零件的加工時間進行統計，結果如下：加工1個零件用時（分鐘）20253035頻數（個）15304015以加工這100個零件用時的頻率代替概率.（1）求的分布列與數學期望；（2）劉師傅準備給幾個徒弟做一個加工該零件的講座，用時40分鐘，另外他打算在講座前、講座后各加工1個該零件作示范.求劉師傅講座及加工2個零件作示范的總時間不超過100分鐘的概率.20．（12分）已知在多面體中，平面平面，且四邊形為正方形，且//，，，點，分別是，的中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.21．（12分）在銳角三角形中，角的對邊分別為．已知成等差數列，成等比數列．（1）求的值；（2）若的面積為求的值．22．（10分）已知函數.（1）若函數的圖象與軸有且只有一個公共點，求實數的取值范圍；（2）若對任意成立，求實數的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

求出導函數，由有不等的兩實根，即可得不等關系，然后由余弦定理可及余弦函數性質可得結論．【詳解】，.若存在極值，則，又.又．故選：C．本題考查導數與極值，考查余弦定理．掌握極值存在的條件是解題關鍵．2．C【解析】

根據三視圖，可得三棱錐P-ABC的直觀圖，然后再計算可得.【詳解】解：根據三視圖，可得三棱錐P-ABC的直觀圖如圖所示，其中D為AB的中點，底面ABC.所以三棱錐P-ABC的體積為，，，，，、不可能垂直，即不可能兩兩垂直，，.三棱錐P-ABC的側面積為.故正確的為C.故選：C.本題考查三視圖還原直觀圖，以及三棱錐的表面積、體積的計算問題，屬于中檔題.3．B【解析】

模擬程序框圖運行分析即得解.【詳解】；；.所以①處應填寫“”故選：B本題主要考查程序框圖，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.4．A【解析】

由的最小正周期是，得，即，因此它的圖象向左平移個單位可得到的圖象．故選A．考點：函數的圖象與性質．三角函數圖象變換方法：5．C【解析】試題分析：由已知直線的斜率為，直線的斜率為，又由正弦定理得，故，兩直線垂直考點：直線與直線的位置關系6．A【解析】

將整理成的形式，得到復數所對應的的點，從而可選出所在象限.【詳解】解：，所以所對應的點為在第一象限.故選:A.本題考查了復數的乘法運算，考查了復數對應的坐標.易錯點是誤把當成進行計算.7．A【解析】

若不等式有且只有一個正整數解，則的圖象在圖象的上方只有一個正整數值，利用導數求出的最小值，分別畫出與的圖象，結合圖象可得.【詳解】解：，∴，設，∴，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，∴，當時，，當，，函數恒過點，分別畫出與的圖象，如圖所示，，若不等式有且只有一個正整數解，則的圖象在圖象的上方只有一個正整數值，∴且，即，且∴，故實數m的最大值為，故選：A本題考查考查了不等式恒有一正整數解問題，考查了利用導數研究函數的單調性，考查了數形結合思想，考查了數學運算能力.8．C【解析】

先求出五個“完全數”隨機分為兩組，一組2個，另一組3個的基本事件總數為，再求出6和28恰好在同一組包含的基本事件個數，根據即可求出6和28不在同一組的概率.【詳解】解：根據題意，將五個“完全數”隨機分為兩組，一組2個，另一組3個，則基本事件總數為，則6和28恰好在同一組包含的基本事件個數，∴6和28不在同一組的概率.故選：C.本題考查古典概型的概率的求法，涉及實際問題中組合數的應用.9．D【解析】

首先將轉化為，只需求出的取值范圍即可，而表示可行域內的點與圓心距離，數形結合即可得到答案.【詳解】作出可行域如圖所示設圓心為，則,過作直線的垂線，垂足為B，顯然，又易得，所以，，故.故選：D.本題考查與線性規劃相關的取值范圍問題，涉及到向量的線性運算、數量積、點到直線的距離等知識，考查學生轉化與劃歸的思想，是一道中檔題.10．B【解析】

雙曲線的漸近線方程為，由題可知．設點，則點到直線的距離為，解得，所以，解得，所以雙曲線的實軸的長為，故選B．11．C【解析】

根據等差數列和等比數列的定義進行判斷即可.【詳解】A：當時，，顯然符合是等差數列，但是此時不成立，故本說法不正確；B：當時，，顯然符合是等比數列，但是此時不成立，故本說法不正確；C：當時，因此有常數，因此是等差數列，因此當不是等差數列時，一定有，故本說法正確；D：當時，若時，顯然數列是等比數列，故本說法不正確.故選：C本題考查了等差數列和等比數列的定義，考查了推理論證能力，屬于基礎題.12．C【解析】

設出點的坐標，以為底結合的面積計算出點到直線的距離，利用點到直線的距離公式可得出關于的方程，求出方程的解，即可得出結論.【詳解】設點的坐標為，直線的方程為，即，設點到直線的距離為，則，解得，另一方面，由點到直線的距離公式得，整理得或，，解得或或.綜上，滿足條件的點共有三個．故選：C.本題考查三角形面積的計算，涉及點到直線的距離公式的應用，考查運算求解能力，屬于中等題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓錐的組合體，結合圖中數據求出它的體積．【詳解】根據三視圖知，該幾何體是三棱柱與半圓錐的組合體，如圖所示：結合圖中數據，計算它的體積為.故答案為：.本題考查了根據三視圖求簡單組合體的體積應用問題，是基礎題．14．（1），；（2），.【解析】

（1）利用代入消參的方法即可將兩個參數方程轉化為普通方程；（2）利用參數方程，結合點到直線的距離公式，將問題轉化為求解二次函數最值的問題，即可求得.【詳解】（1）直線的普通方程為.在曲線的參數方程中，，所以曲線的普通方程為.（2）設點.點到直線的距離.當時，，所以點到直線的距離的最小值為.此時點的坐標為.本題考查將參數方程轉化為普通方程，以及利用參數方程求距離的最值問題，屬中檔題.15．【解析】

直接由復數代數形式的乘法運算化簡,結合已知條件即可求出實數的值.【詳解】解：的實部與虛部相等,所以,計算得出.故答案為:本題考查復數的乘法運算和復數的概念,屬于基礎題.16．【解析】

利用等比數列的性質求得，進而求得，再利用對數運算求得的值.【詳解】由于，，所以，則，∴，，.故答案為：本小題主要考查等比數列的性質，考查對數運算，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．(1);(2).【解析】試題分析：（1）由正弦定理得到．消去公因式得到所以．進而得到角A；（2）結合三角形的面積公式，和余弦定理得到，聯立兩式得到．解析：（I）因為，所以，由正弦定理，得．又因為，，所以．又因為，所以．（II）由，得，由余弦定理，得，即，因為，解得.因為，所以.18．（1）（2）【解析】

（1）利用正弦定理和余弦定理化簡，根據勾股定理逆定理求得.（2）設，由此求得的表達式，利用三角函數最值的求法，求得的最大值.【詳解】（1）設，，，由，根據正弦定理和余弦定理得.化簡整理得.由勾股定理逆定理得.（2）設，，由（1）的結論知.在中，，由，所以.在中，，由，所以.所以，由，所以當，即時，取得最大值，且最大值為.本小題考查正弦定理，余弦定理，勾股定理，解三角形，三角函數性質及其三角恒等變換等基礎知識；考查運算求解能力，推理論證能力，化歸與轉換思想，應用意識.19．（1）分布列見解析，；（2）0.8575【解析】

（1）根據題目所給數據求得分布列，并計算出數學期望.（2）根據對立事件概率計算公式、相互獨立事件概率計算公式，計算出劉師傅講座及加工個零件作示范的總時間不超過分鐘的概率.【詳解】（1）的分布列如下：202530350.150.300.400.15.（2）設，分別表示講座前、講座后加工該零件所需時間，事件表示“留師傅講座及加工兩個零件示范的總時間不超過100分鐘”，則.本小題主要考查隨機變量分布列和數學期望的求法，考查對立事件概率計算，考查相互獨立事件概率計算，屬于中檔題.20．（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）構造直線所在平面，由面面平行推證線面平行；（2）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，分別求出兩個平面的法向量，再由法向量之間的夾角，求得二面角的余弦值.【詳解】（1）過點交于點，連接，如下圖所示：因為平面平面，且交線為,又四邊形為正方形，故可得，故可得平面，又平面，故可得.在三角形中，因為為中點，，故可得//，為中點；又因為四邊形為等腰梯形，是的中點，故可得//；又，且平面，平面,故面面，又因為平面，故面.即證.（2）連接，，作交于點，由（1）可知平面，又因為//，故可得平面，則；又因為//，，故可得即，，兩兩垂直，則分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，設面的法向量為，則，，則，可取，設平面的法向量為，則，，則，可取，可知平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.本題考查由面面平行推證線面平行，涉及用向量法求二面角的大小，屬綜合基礎題.21．（1）；（2）.【解析】

(1)根據成等差數列與三角形內角和可知,再利用兩角和的正切公式,代入化簡可得,同理根據三角形內角和與余弦的兩角和公式與等比數列的性質可求得,聯立即可求解求的值.(2)由(1)可知,再根據同角三角函數的關系與正弦定理可求得,再結合的面積為利用面積公式求解即可.【詳解】解：成等差數列,可得而,即,展開化簡得,因為,故①又成等比數列,可得,