平面向量與復數第五章第2講平面向量基本定理及其坐標表示(本講對應系統復習P136)課標要求考情概覽1.了解平面向量的基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示.3.會用坐標表示平面向量的加、減與數乘運算.4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件考向預測：從近三年高考情況來看，本講一直是高考中的一個熱點.預測本年度會從以下幾點進行命題：①向量的坐標運算及線性表示；②根據向量共線求參數值；③共線向量與其他知識綜合.題型以客觀題為主，有時也會與三角函數、解析幾何綜合命題，試題難度以中檔題型為主.學科素養：主要考查數學抽象、直觀想象、數學運算的素養欄目導航01基礎整合

自測糾偏0302重難突破

能力提升配套訓練基礎整合自測糾偏11.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內的兩個

向量，那么對于這一平面內的任一向量a，

一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內所有向量的一組

.

不共線

有且只有

基底

(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)

(x2－x1，y2－y1)3.平面向量共線的坐標表示設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b?

.

x1y2－x2y1＝0

1.(教材習題改編)已知向量a＝(－1，3)，b＝(2，1)，則3a－2b＝(

)A.(－7，7)B.(－3，－2)C.(6，2)D.(4，－3)A

D

C

1.用平面向量基本定理解決問題的一般思路：(1)先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示為向量的形式，再通過向量的運算來解決.(2)在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便.另外，要注意運用平面幾何的一些性質定理.2.運用平面向量基本定理時應注意的問題：(1)只要兩個向量不共線，就可以作為平面向量的一組基底，基底可以有無窮多組.(2)利用已知向量表示未知向量，實質就是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加減運算或數乘運算.(3)利用“唯一性”建立方程組.重難突破能力提升2平面向量基本定理的應用

C

C

【解題技巧】數形結合法求解向量適用于已知平面幾何圖形或向量等式，利用向量的模的幾何意義，求解模的最值或取值范圍的問題.代數法(方程)求解向量是指利用平面向量共線或垂直的線性運算或坐標運算，建立關于參數的方程，從而求出參數的值的方法.

C

A.－3B.3C.2D.－2B

平面向量的坐標運算

解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8).(1)3a＋b－3c＝3×(5，－5)＋(－6，－3)－3×(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42).

【解題技巧】求解向量坐標運算問題的一般思路：(1)向量問題坐標化.向量的坐標運算，使得向量的線性運算都可用坐標來進行，實現了向量運算完全代數化，將數與形緊密結合起來，通過建立平面直角坐標系，使幾何問題轉化為數量運算.(2)巧借方程思想求坐標.向量的坐標運算主要是利用加法、減法、數乘運算法則進行，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求出向量的坐標，求解過程中要注意方程思想的運用.(3)妙用待定系數法求系數.利用坐標運算將某向量用基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐標，再用待定系數法求出系數.

C(2)(2023年北京人大附中統練)已知向量a，b，c在正方形網格中的位置如圖所示，用基底{a，b}表示c，則(

)A.c＝2a－3b

B.c＝－2a－3bC.c＝－3a＋2bD.c＝3a－2bD

向量共線的坐標表示

(2，4)(－4，－2)

考向2利用向量共線求參數

C

【解題技巧】1.如果已知兩向量共線，求某些參數的取值時，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題比較方便.2.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b