函數概念與基本初等函數第二章第3講函數的奇偶性與周期性(本講對應系統復習P29)課標要求考情概覽1.結合具體函數，了解函數奇偶性的含義.2.會運用函數的圖象理解和研究函數的奇偶性.3.了解函數周期性、最小正周期的含義，會判斷、運用簡單函數的周期性考向預測：本部分常常命制高考試題，一般結合分段函數、不等式等內容進行綜合考查，難度中等.學科素養：主要考查數學抽象、邏輯推理、數學運算的能力欄目導航01基礎整合

自測糾偏03素養微專直擊高考02重難突破

能力提升04配套訓練基礎整合自測糾偏11.函數的奇偶性

偶函數奇函數定義一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且都有

，則稱函數f(x)是偶函數

都有

，則稱函數f(x)是奇函數

圖象特征關于

軸對稱

關于

對稱

y軸f(－x)＝f(x)

f(－x)＝－f(x)

原點

【常用結論】函數奇偶性的幾個重要結論：(1)如果一個奇函數f(x)在原點處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函數f(x)是偶函數，那么f(x)＝f(|x|).(3)既是奇函數又是偶函數的函數只有一種類型，即f(x)＝0，x∈D，其中定義域D是關于原點對稱的非空數集.(4)奇函數在兩個對稱的區間上具有相同的單調性，偶函數在兩個對稱的區間上具有相反的單調性.2.函數的周期性(1)周期函數：對于函數f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有

，那么就稱函數f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個

的正數，那么這個

就叫做f(x)的最小正周期.

f(x＋T)＝f(x)

最小最小正數

2.對稱性的三個常用結論：(1)若函數y＝f(x＋a)是偶函數，則函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱.(2)若對于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱.(3)若函數y＝f(x＋b)是奇函數，則函數y＝f(x)的圖象關于點(b，0)中心對稱.

BC

B4.(2023年茂名期末)(多選)已知f(x)是定義在R上的偶函數，且f(x－3)＝f(x＋1)，當x∈［0，2］時，f(x)＝x2＋1，則下列各選項正確的有(

)A.當x∈［－2，0)時，f(x)＝x2＋1B.y＝f(x)的周期為4C.f(2023)＝3D.y＝f(x)的圖象關于(2，0)對稱AB【解析】設x∈［－2，0)，則－x∈(0，2］，所以f(x)＝f(－x)＝x2＋1，故A正確；由f(x－3)＝f(x＋1)得f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的周期為4，故B正確；因為f(2023)＝f(3)＝f(－1)＝f(1)＝2，故C錯誤；因為f(3)≠－f(1)，故D錯誤.故選AB.5.(易錯題)設函數f(x)是定義在R上的奇函數，且當x＞0時，f(x)＝x－3，則函數f(x)的解析式為f(x)＝

.

1.判斷函數f(x)的奇偶性時，必須對定義域內的每一個x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，而不能說存在x0使f(－x0)＝－f(x0)或f(－x0)＝f(x0).2.判定分段函數的奇偶性時，不能利用函數在定義域某一區間上不是奇偶函數來否定函數在整個定義域上的奇偶性.

重難突破能力提升2函數奇偶性的判斷

函數奇偶性的判斷

解：

f(x)的定義域為{－1，1}，關于原點對稱.又因為f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(x)既是奇函數又是偶函數.函數奇偶性的判斷

函數奇偶性的判斷

【解題技巧】判斷函數奇偶性的三種方法：(1)定義法：(2)圖象法：

(3)性質法：設f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.［提醒］對函數奇偶性的判斷，不能用特殊值法，如存在x0使f(－x0)＝－f(x0)，不能判斷函數f(x)是奇函數.

BC

ln2

函數的周期性

C

函數的周期性

例2

(2)(2023年金華調研)定義在R上的函數f(x)滿足f(x＋6)＝f(x)，當－3≤x＜－1時，f(x)＝－(x＋2)2，當－1≤x＜3時，f(x)＝x，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2024)＝

.

340【解析】

(2)因為f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)的周期T＝6，于是f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1，f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，而2024＝6×337＋2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2024)＝337×1＋1＋2＝340.【解題技巧】1.函數周期性的判斷方法：只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數是周期函數，且周期為T，函數的周期性常與函數的其他性質綜合命題.2.利用函數周期性求值的方法技巧：根據函數的周期性，可以由函數局部的性質得到函數的整體性質，在解決具體問題時，要注意結論：若T是函數的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數的周期.

B

函數性質的應用

示通法函數性質的綜合問題，可以利用函數的周期性、對稱性確定函數圖象，利用已知區間上函數的性質解決問題.

D

B

D

【解題技巧】1.函數性質應用問題的常見類型及解題策略：(1)單調性與奇偶性結合.注意函數單調性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數圖象的對稱性.(2)周期性與奇偶性結合.此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解.(3)周期性、奇偶性與單調性結合.解決此類問題通常先利用周期性轉化自變量所在的區間，然后利用奇偶性和單調性求解.2.函數性質綜合應用的注意點：函數的奇偶性體現的是一種對稱關系，而函數的單調性體現的是函數值隨自變量變化而變化的規律.因此在解題時，往往需要借助函數的奇偶性和周期性來確定另一區間上的單調性，即實現區間的轉化，再利用單調性解決相關問題.【變式精練】3.(1)(2023年孝感月考)已知f(x)是定義在［－2，2b］上的偶函數，且在［－2b，0］上單調遞增，則f(x＋1)≤f(－1)的解集為(

)A.［－2，0］B.［－3，1］C.［－3，－2］∪［0，1］D.(－∞，－2］∪［0，＋∞)C

A

C

素養微專直擊高考3

【思維建?！扛鶕陨辖獯疬^程可知，上述結果是可以一般化的.事實上，由于g(x)的圖象是關于點(0，0)成中心對稱的，則f(x)＝g(x)＋b的圖象關于點(0，b)成中心對稱，則有f(x)＋f(－x)＝2b.也即若f(x)的圖象關于點(0，b)成中心對稱，則f(x)＋f(－x)＝2b.更一般地，若f(x)的圖象關于點(a，b)成中心對稱，則f(x)＋f(2a－x)＝2b.上述結論其實反映了中心對稱函數的一般性質.同時也告訴我們，將奇函數平移可以得到中心對稱函數，若逆向探討，則可以得到任何一個中心對稱函數平移后都可以變成奇函數，這樣便可以得到對稱中心.

D