四川成都龍泉驛區一中2024-2025學年高三第二次模擬考試數學試題（文理）合卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設，，是非零向量.若，則（）A． B． C． D．2．已知函數，集合，，則（）A． B．C． D．3．已知我市某居民小區戶主人數和戶主對戶型結構的滿意率分別如圖和如圖所示，為了解該小區戶主對戶型結構的滿意程度，用分層抽樣的方法抽取的戶主進行調查，則樣本容量和抽取的戶主對四居室滿意的人數分別為A．240，18 B．200，20C．240，20 D．200，184．已知橢圓的左、右焦點分別為、，過點的直線與橢圓交于、兩點.若的內切圓與線段在其中點處相切，與相切于點，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．5．已知菱形的邊長為2，，則（）A．4 B．6 C． D．6．已知函數是上的減函數，當最小時，若函數恰有兩個零點，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．7．已知正四棱錐的側棱長與底面邊長都相等，是的中點，則所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．8．已知函數，若函數的極大值點從小到大依次記為，并記相應的極大值為，則的值為（）A． B． C． D．9．已知集合，集合，則A． B．或C． D．10．已知角的終邊經過點,則A． B．C． D．11．正方體，是棱的中點，在任意兩個中點的連線中，與平面平行的直線有幾條（）A．36 B．21 C．12 D．612．若實數滿足的約束條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知過點的直線與函數的圖象交于、兩點，點在線段上，過作軸的平行線交函數的圖象于點，當∥軸，點的橫坐標是14．已知函數，若，則___________.15．將函數的圖像向右平移個單位，得到函數的圖像，則函數在區間上的值域為__________．16．已知函數，則下列結論中正確的是_________.①是周期函數；②的對稱軸方程為，；③在區間上為增函數；④方程在區間有6個根.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）當時，求不等式的解集；（2）若的圖象與軸圍成的三角形面積大于6，求的取值范圍.18．（12分）已知函數f(x)＝x－lnx，g(x)＝x2－ax.（1）求函數f(x)在區間[t，t＋1](t＞0)上的最小值m(t)；（2）令h(x)＝g(x)－f(x)，A(x1，h(x1))，B(x2，h(x2))(x1≠x2)是函數h(x)圖像上任意兩點，且滿足＞1，求實數a的取值范圍；（3）若?x∈(0,1]，使f(x)≥成立，求實數a的最大值．19．（12分）已知矩陣不存在逆矩陣，且非零特低值對應的一個特征向量，求的值.20．（12分）已知函數，且．（1）若，求的最小值，并求此時的值；（2）若，求證:．21．（12分）已知數列的前n項和為，且n、、成等差數列，.（1）證明數列是等比數列，并求數列的通項公式；（2）若數列中去掉數列的項后余下的項按原順序組成數列，求的值.22．（10分）在中，內角的對邊分別是，已知.（1）求角的值；（2）若，，求的面積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】試題分析：由題意得：若，則；若，則由可知，，故也成立，故選D.考點：平面向量數量積.【思路點睛】幾何圖形中向量的數量積問題是近幾年高考的又一熱點，作為一類既能考查向量的線性運算、坐標運算、數量積及平面幾何知識，又能考查學生的數形結合能力及轉化與化歸能力的問題，實有其合理之處.解決此類問題的常用方法是：①利用已知條件，結合平面幾何知識及向量數量積的基本概念直接求解(較易)；②將條件通過向量的線性運算進行轉化，再利用①求解(較難)；③建系，借助向量的坐標運算，此法對解含垂直關系的問題往往有很好效果.2．C【解析】

分別求解不等式得到集合,再利用集合的交集定義求解即可.【詳解】,，∴．故選C．本題主要考查了集合的基本運算,難度容易.3．A【解析】

利用統計圖結合分層抽樣性質能求出樣本容量，利用條形圖能求出抽取的戶主對四居室滿意的人數．【詳解】樣本容量為：（150+250+400）×30%＝240，∴抽取的戶主對四居室滿意的人數為：故選A．本題考查樣本容量和抽取的戶主對四居室滿意的人數的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意統計圖的性質的合理運用．4．D【解析】

可設的內切圓的圓心為，設，，可得，由切線的性質：切線長相等推得，解得、，并設，求得的值，推得為等邊三角形，由焦距為三角形的高，結合離心率公式可得所求值．【詳解】可設的內切圓的圓心為，為切點，且為中點，，設，，則，且有，解得，，設，，設圓切于點，則，，由，解得，，，所以為等邊三角形，所以，，解得.因此，該橢圓的離心率為.故選：D.本題考查橢圓的定義和性質，注意運用三角形的內心性質和等邊三角形的性質，切線的性質，考查化簡運算能力，屬于中檔題．5．B【解析】

根據菱形中的邊角關系，利用余弦定理和數量積公式，即可求出結果．【詳解】如圖所示，菱形形的邊長為2，，∴，∴，∴，且，∴，故選B．本題主要考查了平面向量的數量積和余弦定理的應用問題，屬于基礎題.．6．A【解析】

首先根據為上的減函數，列出不等式組，求得，所以當最小時，，之后將函數零點個數轉化為函數圖象與直線交點的個數問題，畫出圖形，數形結合得到結果.【詳解】由于為上的減函數，則有，可得，所以當最小時，，函數恰有兩個零點等價于方程有兩個實根，等價于函數與的圖像有兩個交點．畫出函數的簡圖如下，而函數恒過定點，數形結合可得的取值范圍為．故選：A.該題考查的是有關函數的問題，涉及到的知識點有分段函數在定義域上單調減求參數的取值范圍，根據函數零點個數求參數的取值范圍，數形結合思想的應用，屬于中檔題目.7．C【解析】試題分析：設的交點為，連接，則為所成的角或其補角；設正四棱錐的棱長為，則，所以，故C為正確答案．考點：異面直線所成的角．8．C【解析】

對此分段函數的第一部分進行求導分析可知，當時有極大值，而后一部分是前一部分的定義域的循環，而值域則是每一次前面兩個單位長度定義域的值域的2倍，故此得到極大值點的通項公式，且相應極大值，分組求和即得【詳解】當時，，顯然當時有，，∴經單調性分析知為的第一個極值點又∵時，∴，，，…，均為其極值點∵函數不能在端點處取得極值∴，，∴對應極值，，∴故選：C本題考查基本函數極值的求解，從函數表達式中抽離出相應的等差數列和等比數列，最后分組求和，要求學生對數列和函數的熟悉程度高，為中檔題9．C【解析】

由可得，解得或，所以或，又，所以，故選C．10．D【解析】因為角的終邊經過點,所以,則,即.故選D．11．B【解析】

先找到與平面平行的平面，利用面面平行的定義即可得到.【詳解】考慮與平面平行的平面，平面，平面，共有，故選：B.本題考查線面平行的判定定理以及面面平行的定義，涉及到了簡單的組合問題，是一中檔題.12．B【解析】

根據所給不等式組，畫出不等式表示的可行域，將目標函數化為直線方程，平移后即可確定取值范圍.【詳解】實數滿足的約束條件，畫出可行域如下圖所示：將線性目標函數化為，則將平移，平移后結合圖像可知，當經過原點時截距最小，；當經過時，截距最大值，，所以線性目標函數的取值范圍為，故選：B.本題考查了線性規劃的簡單應用，線性目標函數取值范圍的求法，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

通過設出A點坐標，可得C點坐標，通過∥軸，可得B點坐標，于是再利用可得答案.【詳解】根據題意，可設點，則,由于∥軸，故，代入，可得，即，由于在線段上，故，即，解得.14．【解析】

根據題意，利用函數奇偶性的定義判斷函數的奇偶性，利用函數奇偶性的性質求解即可.【詳解】因為函數，其定義域為，所以其定義域關于原點對稱，又，所以函數為奇函數，因為，所以.故答案為:本題考查函數奇偶性的判斷及其性質；考查運算求解能力；熟練掌握函數奇偶性的判斷方法是求解本題的關鍵;屬于中檔題、常考題型.15．【解析】

根據圖像的平移變換得到函數的解析式，再利用整體思想求函數的值域.【詳解】函數的圖像向右平移個單位得，，，.故答案為：.本題考查三角函數圖像的平移變換、值域的求解，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意整體思想的運用.16．①②④【解析】

由函數，對選項逐個驗證即得答案.【詳解】函數，是周期函數，最小正周期為，故①正確；當或時，有最大值或最小值，此時或，即或，即.的對稱軸方程為，，故②正確；當時，，此時在上單調遞減，在上單調遞增，在區間上不是增函數，故③錯誤；作出函數的部分圖象，如圖所示方程在區間有6個根，故④正確.故答案為：①②④.本題考查三角恒等變換，考查三角函數的性質，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ）（Ⅱ）（2，+∞）【解析】試題分析：(Ⅰ)由題意零點分段即可確定不等式的解集為；(Ⅱ)由題意可得面積函數為為，求解不等式可得實數a的取值范圍為試題解析：（I）當時，化為，當時，不等式化為，無解；當時，不等式化為，解得；當時，不等式化為，解得．所以的解集為．（II）由題設可得，所以函數的圖像與x軸圍成的三角形的三個頂點分別為，，，的面積為．由題設得，故．所以a的取值范圍為18．（1）m(t)＝（2）a≤2－2.（3）a≤2－2.【解析】

（1）是研究在動區間上的最值問題，這類問題的研究方法就是通過討論函數的極值點與所研究的區間的大小關系來進行求解．（2）注意到函數h(x)的圖像上任意不同兩點A，B連線的斜率總大于1，等價于h(x1)－h(x2)＜x1－x2(x1＜x2)恒成立，從而構造函數F(x)＝h(x)－x在(0，＋∞)上單調遞增，進而等價于F′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立來加以研究．（3）用處理恒成立問題來處理有解問題，先分離變量轉化為求對應函數的最值，得到a≤，再利用導數求函數M(x)＝的最大值，這要用到二次求導，才可確定函數單調性，進而確定函數最值．【詳解】（1）f′(x)＝1－，x＞0，令f′(x)＝0，則x＝1.當t≥1時，f(x)在[t，t＋1]上單調遞增，f(x)的最小值為f(t)＝t－lnt；當0＜t＜1時，f(x)在區間(t,1)上為減函數，在區間(1，t＋1)上為增函數，f(x)的最小值為f(1)＝1.綜上，m(t)＝（2）h(x)＝x2－(a＋1)x＋lnx，不妨取0＜x1＜x2，則x1－x2＜0，則由，可得h(x1)－h(x2)＜x1－x2，變形得h(x1)－x1＜h(x2)－x2恒成立．令F(x)＝h(x)－x＝x2－(a＋2)x＋lnx，x＞0，則F(x)＝x2－(a＋2)x＋lnx在(0，＋∞)上單調遞增，故F′(x)＝2x－(a＋2)＋≥0在(0，＋∞)上恒成立，所以2x＋≥a＋2在(0，＋∞)上恒成立．因為2x＋≥2，當且僅當x＝時取“＝”，所以a≤2－2.（3）因為f(x)≥，所以a(x＋1)≤2x2－xlnx.因為x∈(0,1]，則x＋1∈(1,2]，所以?x∈(0,1]，使得a≤成立．令M(x)＝，則M′(x)＝.令y＝2x2＋3x－lnx－1，則由y′＝＝0可得x＝或x＝－1(舍)．當x∈時，y′＜0，則函數y＝2x2＋3x－lnx－1在上單調遞減；當x∈時，y′＞0，則函數y＝2x2＋3x－lnx－1在上單調遞增．所以y≥ln4－＞0，所以M′(x)＞0在x∈(0,1]時恒成立，所以M(x)在(0,1]上單調遞增．所以只需a≤M(1)，即a≤1.所以實數a的最大值為1.本題考查了函數與導數綜合問題，考查了學生綜合分析，轉化與劃歸，數學運算能力，屬于難題.19．【解析】

由不存在逆矩陣，可得，再利用特征多項式求出特征值3，0，，利用矩陣乘法運算即可.【詳解】因為不存在逆矩陣，，所以.矩陣的特征多項式為，令，則或，所以，即，所以，所以本題考查矩陣的乘法及特征值、特征向量有關的問題，考查學生的運算能力，是一道容易題.20．（1）最小值為，此時；（2）見解析【解析】

（1）由已知得，法一:，，根據二次函數的最值可求得；法二:運用基本不等式構造，可得最值；法三：運用柯西不等式得：，