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2025年湖南省衡陽(yáng)市重點(diǎn)名校高三下學(xué)期畢業(yè)班聯(lián)考(二)數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě),字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上,平面,,若球的表面積為,則三棱錐的體積的最大值為()A. B. C. D.2.已知我市某居民小區(qū)戶(hù)主人數(shù)和戶(hù)主對(duì)戶(hù)型結(jié)構(gòu)的滿(mǎn)意率分別如圖和如圖所示,為了解該小區(qū)戶(hù)主對(duì)戶(hù)型結(jié)構(gòu)的滿(mǎn)意程度,用分層抽樣的方法抽取的戶(hù)主進(jìn)行調(diào)查,則樣本容量和抽取的戶(hù)主對(duì)四居室滿(mǎn)意的人數(shù)分別為A.240,18 B.200,20C.240,20 D.200,183.已知集合,,若,則()A. B. C. D.4.已知為拋物線的準(zhǔn)線,拋物線上的點(diǎn)到的距離為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,則的最小值是()A. B.4 C.2 D.5.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,則下列結(jié)論正確的是()A. B.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是C. D.6.已知向量,,若,則()A. B. C.-8 D.87.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著,書(shū)中有如下問(wèn)題:“今有勾六步,股八步,問(wèn)勾中容圓,徑幾何?”其意思為:“已知直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為6步和8步,問(wèn)其內(nèi)切圓的直徑為多少步?”現(xiàn)從該三角形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自?xún)?nèi)切圓的概率是()A. B. C. D.8.已知正四面體的棱長(zhǎng)為,是該正四面體外接球球心,且,,則()A. B.C. D.9.設(shè)全集,集合,,則集合()A. B. C. D.10.單位正方體ABCD-,黑、白兩螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿棱向前爬行,每走完一條棱稱(chēng)為“走完一段”.白螞蟻爬地的路線是AA1→A1D1→‥,黑螞蟻爬行的路線是AB→BB1→‥,它們都遵循如下規(guī)則:所爬行的第i+2段與第i段所在直線必須是異面直線(iN*).設(shè)白、黑螞蟻都走完2020段后各自停止在正方體的某個(gè)頂點(diǎn)處,這時(shí)黑、白兩螞蟻的距離是()A.1 B. C. D.011.已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示,其中三視圖的長(zhǎng)、寬、高分別為,,,且,則此三棱錐外接球表面積的最小值為()A. B. C. D.12.已知函,,則的最小值為()A. B.1 C.0 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),若,則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________.14.已知是拋物線上一點(diǎn),是圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的曲線上任意一點(diǎn),則的最小值為_(kāi)_______.15.已知函數(shù),若函數(shù)有個(gè)不同的零點(diǎn),則的取值范圍是___________.16.已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,,如圖是過(guò)且垂直于長(zhǎng)軸的弦,則的內(nèi)切圓方程是________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知都是大于零的實(shí)數(shù).(1)證明;(2)若,證明.18.(12分)班主任為了對(duì)本班學(xué)生的考試成績(jī)進(jìn)行分析,決定從本班24名女同學(xué),18名男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為7的樣本進(jìn)行分析.(1)如果按照性別比例分層抽樣,可以得到多少個(gè)不同的樣本?(寫(xiě)出算式即可,不必計(jì)算出結(jié)果)(2)如果隨機(jī)抽取的7名同學(xué)的數(shù)學(xué),物理成績(jī)(單位:分)對(duì)應(yīng)如下表:學(xué)生序號(hào)1234567數(shù)學(xué)成績(jī)60657075858790物理成績(jī)70778085908693①若規(guī)定85分以上(包括85分)為優(yōu)秀,從這7名同學(xué)中抽取3名同學(xué),記3名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績(jī)均為優(yōu)秀的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;②根據(jù)上表數(shù)據(jù),求物理成績(jī)關(guān)于數(shù)學(xué)成績(jī)的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01);若班上某位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?6分,預(yù)測(cè)該同學(xué)的物理成績(jī)?yōu)槎嗌俜??附:線性回歸方程,其中,.768381252619.(12分)已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù),曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)).(1)求與的普通方程;(2)若與相交于,兩點(diǎn),且,求的值.20.(12分)為了保障全國(guó)第四次經(jīng)濟(jì)普查順利進(jìn)行,國(guó)家統(tǒng)計(jì)局從東部選擇江蘇,從中部選擇河北、湖北,從西部選擇寧夏,從直轄市中選擇重慶作為國(guó)家綜合試點(diǎn)地區(qū),然后再逐級(jí)確定普查區(qū)域,直到基層的普查小區(qū),在普查過(guò)程中首先要進(jìn)行宣傳培訓(xùn),然后確定對(duì)象,最后入戶(hù)登記,由于種種情況可能會(huì)導(dǎo)致入戶(hù)登記不夠順利,這為正式普查提供了寶貴的試點(diǎn)經(jīng)驗(yàn),在某普查小區(qū),共有50家企事業(yè)單位,150家個(gè)體經(jīng)營(yíng)戶(hù),普查情況如下表所示:普查對(duì)象類(lèi)別順利不順利合計(jì)企事業(yè)單位401050個(gè)體經(jīng)營(yíng)戶(hù)10050150合計(jì)14060200(1)寫(xiě)出選擇5個(gè)國(guó)家綜合試點(diǎn)地區(qū)采用的抽樣方法;(2)根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為“此普查小區(qū)的入戶(hù)登記是否順利與普查對(duì)象的類(lèi)別有關(guān)”;(3)以該小區(qū)的個(gè)體經(jīng)營(yíng)戶(hù)為樣本,頻率作為概率,從全國(guó)個(gè)體經(jīng)營(yíng)戶(hù)中隨機(jī)選擇3家作為普查對(duì)象,入戶(hù)登記順利的對(duì)象數(shù)記為,寫(xiě)出的分布列,并求的期望值.附:0.100.0100.0012.7066.63510.82821.(12分)已知{an}是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列,且滿(mǎn)足a3a5=45,a2+a6=1.(I)求{an}的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)若數(shù)列{bn}滿(mǎn)足:…,求{bn}的前n項(xiàng)和.22.(10分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若對(duì)任意都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】
由題意畫(huà)出圖形,設(shè)球0得半徑為R,AB=x,AC=y,由球0的表面積為20π,可得R2=5,再求出三角形ABC外接圓的半徑,利用余弦定理及基本不等式求xy的最大值,代入棱錐體積公式得答案.【詳解】設(shè)球的半徑為,,,由,得.如圖:設(shè)三角形的外心為,連接,,,可得,則.在中,由正弦定理可得:,即,由余弦定理可得,,.則三棱錐的體積的最大值為.故選:.本題考查三棱錐的外接球、三棱錐的側(cè)面積、體積,基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力、邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,是中檔題.2.A【解析】
利用統(tǒng)計(jì)圖結(jié)合分層抽樣性質(zhì)能求出樣本容量,利用條形圖能求出抽取的戶(hù)主對(duì)四居室滿(mǎn)意的人數(shù).【詳解】樣本容量為:(150+250+400)×30%=240,∴抽取的戶(hù)主對(duì)四居室滿(mǎn)意的人數(shù)為:故選A.本題考查樣本容量和抽取的戶(hù)主對(duì)四居室滿(mǎn)意的人數(shù)的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意統(tǒng)計(jì)圖的性質(zhì)的合理運(yùn)用.3.A【解析】
由,得,代入集合B即可得.【詳解】,,,即:,故選:A本題考查了集合交集的含義,也考查了元素與集合的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.4.B【解析】
設(shè)拋物線焦點(diǎn)為,由題意利用拋物線的定義可得,當(dāng)共線時(shí),取得最小值,由此求得答案.【詳解】解:拋物線焦點(diǎn),準(zhǔn)線,過(guò)作交于點(diǎn),連接由拋物線定義,
,
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),取“=”號(hào),∴的最小值為.
故選:B.本題主要考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.5.D【解析】
首先求得,然后根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)除法運(yùn)算對(duì)選項(xiàng)逐一分析,由此確定正確選項(xiàng).【詳解】由題意知復(fù)數(shù),則,所以A選項(xiàng)不正確;復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是,所以B選項(xiàng)不正確;,所以C選項(xiàng)不正確;,所以D選項(xiàng)正確.故選:D本小題考查復(fù)數(shù)的幾何意義,共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)的模,復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力,數(shù)形結(jié)合思想.6.B【解析】
先求出向量,的坐標(biāo),然后由可求出參數(shù)的值.【詳解】由向量,,則,,又,則,解得.故選:B本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和模長(zhǎng)的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.7.C【解析】
利用直角三角形三邊與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系求出半徑,再分別求出三角形和內(nèi)切圓的面積,根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式,即可求解.【詳解】由題意,直角三角形的斜邊長(zhǎng)為,利用等面積法,可得其內(nèi)切圓的半徑為,所以向次三角形內(nèi)投擲豆子,則落在其內(nèi)切圓內(nèi)的概率為.故選:C.本題主要考查了面積比的幾何概型的概率的計(jì)算問(wèn)題,其中解答中熟練應(yīng)用直角三角形的性質(zhì),求得其內(nèi)切圓的半徑是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力.8.A【解析】
如圖設(shè)平面,球心在上,根據(jù)正四面體的性質(zhì)可得,根據(jù)平面向量的加法的幾何意義,重心的性質(zhì),結(jié)合已知求出的值.【詳解】如圖設(shè)平面,球心在上,由正四面體的性質(zhì)可得:三角形是正三角形,,,在直角三角形中,,,,,,因?yàn)闉橹匦?,因此,則,因此,因此,則,故選A.本題考查了正四面體的性質(zhì),考查了平面向量加法的幾何意義,考查了重心的性質(zhì),屬于中檔題.9.C【解析】∵集合,,∴點(diǎn)睛:本題是道易錯(cuò)題,看清所問(wèn)問(wèn)題求并集而不是交集.10.B【解析】
根據(jù)規(guī)則,觀察黑螞蟻與白螞蟻經(jīng)過(guò)幾段后又回到起點(diǎn),得到每爬1步回到起點(diǎn),周期為1.計(jì)算黑螞蟻爬完2020段后實(shí)質(zhì)是到達(dá)哪個(gè)點(diǎn)以及計(jì)算白螞蟻爬完2020段后實(shí)質(zhì)是到達(dá)哪個(gè)點(diǎn),即可計(jì)算出它們的距離.【詳解】由題意,白螞蟻爬行路線為AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA,即過(guò)1段后又回到起點(diǎn),可以看作以1為周期,由,白螞蟻爬完2020段后到回到C點(diǎn);同理,黑螞蟻爬行路線為AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA,黑螞蟻爬完2020段后回到D1點(diǎn),所以它們此時(shí)的距離為.故選B.本題考查多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問(wèn)題,考查空間想象與推理能力,屬于中等題.11.B【解析】
根據(jù)三視圖得到幾何體為一三棱錐,并以該三棱錐構(gòu)造長(zhǎng)方體,于是得到三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球,進(jìn)而得到外接球的半徑,求得外接球的面積后可求出最小值.【詳解】由已知條件及三視圖得,此三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)位于長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn),即為三棱錐,且長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為,∴此三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球,且球半徑為,∴三棱錐外接球表面積為,∴當(dāng)且僅當(dāng),時(shí),三棱錐外接球的表面積取得最小值為.故選B.(1)解決關(guān)于外接球的問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住外接的特點(diǎn),即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離都等于球的半徑,同時(shí)要作一圓面起襯托作用.(2)長(zhǎng)方體的外接球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線,對(duì)于一些比較特殊的三棱錐,在研究其外接球的問(wèn)題時(shí)可考慮通過(guò)構(gòu)造長(zhǎng)方體,通過(guò)長(zhǎng)方體的外球球來(lái)研究三棱錐的外接球的問(wèn)題.12.B【解析】
,利用整體換元法求最小值.【詳解】由已知,又,,故當(dāng),即時(shí),.故選:B.本題考查整體換元法求正弦型函數(shù)的最值,涉及到二倍角公式的應(yīng)用,是一道中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
畫(huà)圖分析可得函數(shù)是偶函數(shù),且在上單調(diào)遞減,利用偶函數(shù)性質(zhì)和單調(diào)性可解.【詳解】作出函數(shù)的圖如下所示,觀察可知,函數(shù)為偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,故,故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為:本題考查利用函數(shù)奇偶性及單調(diào)性解不等式.函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論:(1)如果函數(shù)是偶函數(shù),那么.(2)奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.14.【解析】
由題意求出圓的對(duì)稱(chēng)圓的圓心坐標(biāo),求出對(duì)稱(chēng)圓的圓坐標(biāo)到拋物線上的點(diǎn)的距離的最小值,減去半徑即可得到的最小值.【詳解】假設(shè)圓心關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為,則有,解方程組可得,所以曲線的方程為,圓心為,設(shè),則,又,所以,,即,所以,故答案為:.該題考查的是有關(guān)動(dòng)點(diǎn)距離的最小值問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離的最小值為到圓心的距離減半徑,屬于中檔題目.15.【解析】
作出函數(shù)的圖象及直線,如下圖所示,因?yàn)楹瘮?shù)有個(gè)不同的零點(diǎn),所以由圖象可知,,,所以.16.【解析】
利用公式計(jì)算出,其中為的周長(zhǎng),為內(nèi)切圓半徑,再利用圓心到直線AB的距離等于半徑可得到圓心坐標(biāo).【詳解】由已知,,,,設(shè)內(nèi)切圓的圓心為,半徑為,則,故有,解得,由,或(舍),所以的內(nèi)切圓方程為.故答案為:.本題考查橢圓中三角形內(nèi)切圓的方程問(wèn)題,涉及到橢圓焦點(diǎn)三角形、橢圓的定義等知識(shí),考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)答案見(jiàn)解析.(2)答案見(jiàn)解析【解析】
(1)利用基本不等式可得,兩式相加即可求解.(2)由(1)知,代入不等式,利用基本不等式即可求解.【詳解】(1)兩式相加得(2)由(1)知于是,.本題考查了基本不等式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.18.(1)不同的樣本的個(gè)數(shù)為.(2)①分布列見(jiàn)解析,.②線性回歸方程為.可預(yù)測(cè)該同學(xué)的物理成績(jī)?yōu)?6分.【解析】
(1)按比例抽取即可,再用乘法原理計(jì)算不同的樣本數(shù).(2)名學(xué)生中物理和數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有3名學(xué)生,任取3名學(xué)生,都優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)服從超幾何分布,故可得其概率分布列及其數(shù)學(xué)期望.而線性回歸方程的計(jì)算可用給出的公式計(jì)算,并利用得到的回歸方程預(yù)測(cè)該同學(xué)的物理成績(jī).【詳解】(1)依據(jù)分層抽樣的方法,24名女同學(xué)中應(yīng)抽取的人數(shù)為名,18名男同學(xué)中應(yīng)抽取的人數(shù)為名,故不同的樣本的個(gè)數(shù)為.(2)①∵7名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績(jī)均為優(yōu)秀的人數(shù)為3名,∴的取值為0,1,2,3.∴,,,.∴的分布列為0123∴.②∵,.∴線性回歸方程為.當(dāng)時(shí),.可預(yù)測(cè)該同學(xué)的物理成績(jī)?yōu)?6分.在計(jì)算離散型隨機(jī)變量的概率時(shí),注意利用常見(jiàn)的概率分布列來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算(如二項(xiàng)分布、超幾何分布等).19.(1),(2)0【解析】
(1)分別把兩曲線參數(shù)方程中的參數(shù)消去,即可得到普通方程;(2)把直線的參數(shù)方程代入的普通方程,化為關(guān)于的一元二次方程,再由根與系數(shù)的關(guān)系及此時(shí)的幾何意義求解.【詳解】(1)由曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),消去參數(shù),可得;由曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),消去參數(shù),可得,即.(2)把為參數(shù))代入,得.,..解得:,即,滿(mǎn)足△..本題考查參數(shù)方程化普通方程,特別是直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義的應(yīng)用,是中檔題.20.(1)分層抽樣,簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(抽簽亦可)(2)有(3)分布列見(jiàn)解析,【解析】
(1)根據(jù)題意可以選用分層抽樣法,或者簡(jiǎn)
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