2025年春學期九年級學生階段性評價數學試卷（考試時間：120分鐘總分：150分）說明：1．答題前，考生務必將本人的學校、班級、姓名、考號填寫在答題紙相應的位置上．2．考生答題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆，寫在答題紙指定位置處，答在試卷、草稿紙等其他位置上一律無效．一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分，在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的）1.將用科學記數法表示應為（）A B. C. D.2.拋物線的頂點坐標是()A. B. C. D.3.如圖，在中，，于點．若，，則的長為()A.12 B.10 C.6 D.54.在一個不透明紙箱中放有除了數字不同外，其它完全相同的2張卡片，分別標有數字1、2，從中任意摸出一張，放回攪勻后再任意摸出一張，兩次摸出的數字之積為偶數的概率為（）A. B. C. D.5.如圖，AC與BD相交于點E，AD∥BC．若AE=2，CE=3，AD=3，則BC的長度是（）A.2 B.3 C.4．5 D.66.如圖，點M坐標為（0，2），點A坐標為（2，0），以點M為圓心，MA為半徑作⊙M，與x軸的另一個交點為B，點C是⊙M上的一個動點，連接BC，AC，點D是AC的中點，連接OD，當線段OD取得最大值時，點D的坐標為（）A.（0，） B.（1，） C.（2，2） D.（2，4）二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，請把答案直接填寫在答題紙相應位置上）7.一組數據的極差是_____．8.圓心角為，半徑為3的扇形的面積為_______．9.如圖，是的直徑，C、D為上的點，若，則______°．10.若點，在拋物線上，則，的大小關系為：_________（填“>”，“=”或“<”）．11.如圖，在中，，于點D．若，則___________．

12.已知的半徑是4，點P到圓心O的距離d為方程的一個根，則點P在的______________．（填“內部”、“外部”、“上”）13.如圖，在中，P，Q分別為，的中點．若則__________．14.如圖所示的網格是正方形網格，線段繞點A順時針旋轉后與相切，則α的值為_______．15.如圖，正方形的邊長為4，以為邊在其右側作正，點Q是線段上一點，連接交于點P．當時，線段的長為_______．16.已知A、B是直線上兩點，且A、B的橫坐標為、5．當拋物線與線段有且只有一個公共點時，則a的取值范圍_______．三、解答題（本大題共10小題，共102分，請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.（1）解方程：．（2）計算：18.某校初一開展英語拼寫大賽，愛國班和求知班根據初賽成績，各選出5名選手參加復賽，兩個班各選出的5名選手的復賽成績如圖所示：班級平均數（分）中位數（分）眾數（分）愛國班a85c求知班85b100（1）根據圖示直接寫出a、b、c的值；（2）結合兩班復賽成績的平均數和中位數，分析哪個班級的復賽成績比較好？（3）已知愛國班復賽成績方差是70，請求出求知班復賽成績的方差，并說明哪個班成績比較穩定？（計算方差的公式：）19.旅客在網購車票時，系統是隨機分配座位的，王老師和李老師一同支北京參加培訓，購買從石家莊到北京的高鐵票（如圖所示，一排中的座位號為A、B、C、D、F）．假設系統已將兩人的位置分配到同一排，在同一排分配各個座位的機會是均等的．（1）系統分給王老師和李老師C、D座位是事件．（2）利用畫樹狀圖或列表法求系統分配給王老師和李老師相鄰座位的概率（過道兩側的座位C、D不算相鄰）．20.已知關于的一元二次方程．求證：方程總有兩個不相等的實數根；若是此方程的一個根，求實數的值．21.“一結千年意蘊豐，相看時對吉祥紅”，“中國結”是深受國人喜愛節慶裝飾物。某款“中國結”成本為30元/件，每天銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間存在一次函數關系，如圖所示．（1）求y與x之間函數關系式；（2）如果規定每天該款“中國結”的銷售量不低于240件，當銷售單價為多少元時，每天獲取的利潤w最大，最大利潤是多少？22.如圖，點C直徑AB上一點．過C作交于點D，連接DA，DB．（1）求證：；（2）連接DO，過點D作的切線，交BA的延長線于點P．若，，求BC的長．23.如圖，在一次數學實踐活動中，小明同學要測量一座與地面垂直的古塔的高度，他從古塔底部點B處前行30m到達斜坡的底部點C處，然后沿斜坡前行20m到達最佳測量點D處，在點D處測得塔頂A的仰角為30°，已知斜坡的斜面坡度，且點A，B，C，D，E在同一平面內．（1）求D到的距離．（2）求古塔的高度（結果保留根）．24.中，，．（1）如圖1，若點在射線上，且，請用圓規和無刻度的直尺．作（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在下列三個條件中選擇一個作為已知條件，使存在且唯一確定，并求出邊的長度．選擇的條件：_______．（填序號）①；②的周長為；③．25.如圖，半的直徑為10，點C、D是半弧上的兩點，將弧沿翻折．（1）如圖1，連接交翻折后的弧于點Q，連接、．判斷的形狀，并說明理由；（2）如圖2，若翻折后的弧與相切，且切點E在直徑上，當時，求的長；（3）如圖3，已知，連接交翻折后的弧于點Q，當點Q為的中點時，求長．26.如圖1，在平面直角坐標系中，、，點E從點C出發，以每秒2個單位長度沿y軸負方向運動，點F從原點O出發，以每秒個單位長度沿x軸正方向運動，運動時間為t秒．以、為一組鄰邊作平行四邊形，點N在點F右側2個單位，以為對角線作正方形，（F、P、N、M為順時針順序）．（1）時，求的值；（2）當時，求最小值；（3）當時，點P關于所在直線的對稱點為Q，當點Q在上時，求t的值；（4）如圖2，當時，連接、、、，在點E運動的過程中，若點M、P中恰好有且只有一個點在四邊形內部時，求t的取值范圍．

2025年春學期九年級學生階段性評價數學試卷（考試時間：120分鐘總分：150分）說明：1．答題前，考生務必將本人的學校、班級、姓名、考號填寫在答題紙相應的位置上．2．考生答題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆，寫在答題紙指定位置處，答在試卷、草稿紙等其他位置上一律無效．一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分，在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的）1.將用科學記數法表示應為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了科學記數法，根據科學記數法：（，為整數），先確定的值，再根據小數點移動的數位確定的值即可，根據科學記數法確定和的值是解題的關鍵．【詳解】解：，故選：．2.拋物線的頂點坐標是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據拋物線的頂點式解析式直接得出頂點坐標.【詳解】∵拋物線的解析式為，∴其頂點坐標為.【點睛】此題主要考查拋物線的頂點坐標.3.如圖，在中，，于點．若，，則的長為()A.12 B.10 C.6 D.5【答案】D【解析】【分析】先利用等腰三角形三線合一得出BD=12，再根據求出AB=13，再用勾股定理即可解出AD的長.【詳解】在中，，于點，∴BD=BC=12，∵，∴AB=13，故AD===5.【點睛】此題主要考查三角函數的應用.4.在一個不透明紙箱中放有除了數字不同外，其它完全相同2張卡片，分別標有數字1、2，從中任意摸出一張，放回攪勻后再任意摸出一張，兩次摸出的數字之積為偶數的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據題意畫出樹狀圖，共有4種等可能情況，數出其中兩次摸出的數字之積為偶數的情況數，求出概率即可．【詳解】解：畫樹狀圖如下：∵共有4種等可能的結果，兩次摸出的數字之積為偶數的結果有3種，∴兩次摸出的數字之積為偶數的概率為，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了畫樹狀圖和列表求概率，根據題意畫出樹狀圖和列出表格是解題的關鍵．5.如圖，AC與BD相交于點E，AD∥BC．若AE=2，CE=3，AD=3，則BC的長度是（）A.2 B.3 C.4．5 D.6【答案】C【解析】【詳解】試題分析：因為AD∥BC，所以△ADE∽△CBE,所以,因為AE=2，CE=3，AD=3，所以，所以BC=4．5，故選C．考點：相似三角形的判定與性質．6.如圖，點M坐標為（0，2），點A坐標為（2，0），以點M為圓心，MA為半徑作⊙M，與x軸的另一個交點為B，點C是⊙M上的一個動點，連接BC，AC，點D是AC的中點，連接OD，當線段OD取得最大值時，點D的坐標為（）A.（0，） B.（1，） C.（2，2） D.（2，4）【答案】C【解析】【分析】先根據三角形中位線的性質得到當BC為直徑（過圓心M）時，OD最大；然后延長BC與圓交于C1點，連接AC1；再由圓周角定理可得∠BAC1=90°，然后由垂徑定理得到AB=4、勾股定理可得BM=即BC1=、AC1=4，最后求出線段AC1的中點坐標即可．【詳解】解：如圖：∵點O是AB的中點，點D是AC的中點∴OD//BC且OD=BC∴BC最大時,即當BC為直徑（過圓心M）時，OD最如圖：延長BC與圓交于C1點，連接AC1，∵BC1是直徑∴∠BAC1=90°∵OB=OM=OA=2∴AB=2OA=4,點C1的橫坐標為2，BM=，即BC1=∴AC1=∴點C1的坐標為（2,4）∵AC1的中點D1，A（2,0）∴D1的坐標為（2，2）．故選：C．【點睛】本題屬于圓的綜合題，主要考查了圓周角定理、垂徑定理、三角形的中位線、勾股定理、線段的中點等知識，將求線段OD最大時D的坐標轉換成求BC最大時點D的坐標是解答本題的關鍵．二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，請把答案直接填寫在答題紙相應位置上）7.一組數據的極差是_____．【答案】6【解析】【分析】本題主要考查極差的概念，掌握極差的概念及計算是解題的關鍵．根據極差的概念“一組數據中最大數與最小數的差”求解．【詳解】解：數據的最大數為4、最小數為，這組數據的極差為，故答案為：6．8.圓心角為，半徑為3的扇形的面積為_______．【答案】【解析】【分析】直接根據扇形的面積公式計算．【詳解】扇形的面積．故答案為．【點睛】本題考查了扇形面積計算：設圓心角是，圓的半徑為的扇形面積為，則或(其中為扇形的弧長)．9.如圖，是的直徑，C、D為上的點，若，則______°．【答案】110【解析】【分析】根據是的直徑，得出，進而得出，最后根據圓的內接四邊形對角互補，即可求解．【詳解】解：∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，故答案為：110．【點睛】本題主要考查了圓的相關定理，解題的關鍵是掌握直徑所對的圓周角為直角，圓的內接四邊形對角互補．10.若點，在拋物線上，則，的大小關系為：_________（填“>”，“=”或“<”）．【答案】＜【解析】【分析】利用二次函數圖象上點的坐標特征可得出y1，y2的值，比較后即可得出結論．【詳解】解：∵若點A(?1，y1)，B(2，y2)在拋物線y=2x2+m上，y1=2×（-1）2+m=2+m，y2=2×22+m=8+m，∵2+m＜8+m，∴y1﹤y2．

故答案為：＜．【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，利用二次函數圖象上點的坐標特征求出y1，y2的值是解題的關鍵．11.如圖，在中，，于點D．若，則___________．

【答案】．【解析】分析】根據已知條件可知，，進而可得，則．【詳解】解：∵在中，，，∴，，∴，∵，∴．故答案為：．【點睛】本題考查求正切值，熟練掌握三角函數的定義是解題的關鍵．12.已知的半徑是4，點P到圓心O的距離d為方程的一個根，則點P在的______________．（填“內部”、“外部”、“上”）【答案】外部【解析】【分析】先解一元二次方程，根據點與圓的位置關系求解即可．【詳解】解：解得∴點P到圓心O的距離d的半徑是4，點P在的外部故答案為：外部【點睛】本題考查了解一元二次方程，點與圓的位置關系的應用，注意：已知圓O的半徑為r，點P到圓心O的距離是d，①當r＞d時，點P在⊙O內，②當r=d時，點P在⊙O上，③當r＜d時，點P在⊙O外．13.如圖，在中，P，Q分別為，的中點．若則__________．【答案】3【解析】【分析】本題考查相似三角形的判定和性質，三角形中位線定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．利用三角形中位線定理以及相似三角形的性質解決問題即可．【詳解】解：，分別為，的中點，，，，，，，，故答案為：3．14.如圖所示的網格是正方形網格，線段繞點A順時針旋轉后與相切，則α的值為_______．【答案】##60度【解析】【分析】本題主要考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑，也考查了旋轉的性質和解直角三角形，解題的關鍵是勾畫出示意圖，熟練解直角三角形．線段AB繞點A順時針旋轉后與相切，切點為，連接,根據切線的性質可知,利用三角函數求得，最后求即可．【詳解】解：如圖所示，線段AB繞點A順時針旋轉后與相切，切點為，連接,，在中，，，，．故答案為：．15.如圖，正方形的邊長為4，以為邊在其右側作正，點Q是線段上一點，連接交于點P．當時，線段的長為_______．【答案】【解析】【分析】本題考查正三角形、正方形性質，三角形相似的性質與判定，根據相似比求線段長，掌握這些知識點和計算方法是本題關鍵．先作輔助線，再通過相似和已知得出相似比，再通過相似比求出的值即可．【詳解】解：如圖：過點Q作平行線故答案為：16.已知A、B是直線上兩點，且A、B的橫坐標為、5．當拋物線與線段有且只有一個公共點時，則a的取值范圍_______．【答案】或【解析】【分析】聯立解析式得，根據拋物線與線段有且只有一個公共點，得，，解得或，結合拋物線對稱軸為直線，分當時，當時，當時，把端點橫坐標，，代入兩個函數解析式，比較函數值，解不等式組即得．【詳解】解：聯立解析式得，，即，∵拋物線與線段有且只有一個公共點，∴，，解得或，∵拋物線對稱軸為直線，∴若時，當時，，a全體實數；當時，，解得，∴；若時，拋物線與線段有且只有一個公共點；若時，當時，，矛盾，a不存在；時，，解得；∴a不存在．綜上，或．【點睛】本題考查了二次函數與線段的交點問題．熟練掌握二次函數的對稱性增減性質，根判別式與交點個數的關系，函數與不等式關系，解不等式，分類討論，是解題有關鍵．三、解答題（本大題共10小題，共102分，請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.（1）解方程：．（2）計算：【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查解一元二次方程，特殊角的三角函數值的混合運算，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵；（1）利用因式分解法解方程即可；（2）先化簡各數，再進行加減運算即可．【詳解】解：（1），，∴或，∴（2）原式．18.某校初一開展英語拼寫大賽，愛國班和求知班根據初賽成績，各選出5名選手參加復賽，兩個班各選出的5名選手的復賽成績如圖所示：班級平均數（分）中位數（分）眾數（分）愛國班a85c求知班85b100（1）根據圖示直接寫出a、b、c的值；（2）結合兩班復賽成績的平均數和中位數，分析哪個班級的復賽成績比較好？（3）已知愛國班復賽成績的方差是70，請求出求知班復賽成績的方差，并說明哪個班成績比較穩定？（計算方差的公式：）【答案】（1），，（2）愛國班成績好些．因為兩班平均數相等，愛國班的中位數高，所以愛國班成績好些．（回答合理即可）（3）160；愛國班成績較為穩定【解析】【分析】（1）觀察圖分別寫出愛國和求知5名選手的復賽成績，然后根據中位數的定義和平均數的求法以及眾數的定義求解即可；（2）在平均數相同的情況下，中位數高的成績較好；（3）根據方差公式計算即可：（可簡單記憶為“等于差方的平均數”）．【小問1詳解】解：由條形統計圖可知愛國班5名選手的復賽成績為：75、80、85、85、100，求知班5名選手的復賽成績為：70、100、100、75、80，∵愛國班中85出現了2次且次數最多，∴愛國班的眾數為85，即，愛國班的平均數為，∴求知班數據排列為：70、75、80、100、100∴求知班的中位數是為第3個，即；【小問2詳解】解：愛國班成績好些．因為兩班平均數相等，愛國班的中位數高，所以愛國班成績好些．（回答合理即可）【小問3詳解】解：∵，∴愛國班成績較為穩定．【點睛】本題考查了中位數、眾數以及平均數的求法，同時也考查了方差公式，解題的關鍵是牢記定義并能熟練運用公式．19.旅客在網購車票時，系統是隨機分配座位的，王老師和李老師一同支北京參加培訓，購買從石家莊到北京的高鐵票（如圖所示，一排中的座位號為A、B、C、D、F）．假設系統已將兩人的位置分配到同一排，在同一排分配各個座位的機會是均等的．（1）系統分給王老師和李老師C、D座位是事件．（2）利用畫樹狀圖或列表法求系統分配給王老師和李老師相鄰座位的概率（過道兩側的座位C、D不算相鄰）．【答案】（1）隨機（2）【解析】【分析】本題主要考查了事件分類、運用列表法或樹狀圖求概率，熟練掌握樹狀圖或列表法求概率是解題關鍵．（1）根據系統是隨機分配座位的，雖然假設系統已將兩人的位置分配到同一排，但并沒有必然地將兩人分配到C、D座位，即可得出答案；（2）畫樹狀圖，得到系統分配給王某和李某相鄰座位共有20種等可能的情況，其中相鄰座位共有6種等可能情況，根據概率公式計算即可得到答案．【小問1詳解】解：因為系統是隨機分配座位的，所以任何一種座位組合出現的可能性都是相同的，因此給王老師和李老師分配到C、D座位屬于隨機事件．故答案為：隨機．【小問2詳解】解：根據題意畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，共有20種等情況數，其中相鄰座位的情況數有、、、、、共6種，則系統分配給王某和李某相鄰座位（過道兩側座位C，D不算相鄰）的概率是．20.已知關于的一元二次方程．求證：方程總有兩個不相等實數根；若是此方程的一個根，求實數的值．【答案】證明見解析；，．【解析】【分析】（1）求證這個方程都有兩個不相等的實數根，只要證明△＞0，即可得出方程有兩不相等的實數根；（2）把x=-2代入方程得出關于m的方程，解方程求出m的值即可．【詳解】證明：∵關于的一元二次方程．∴，∴方程總有兩個不相等的實數根；解：∵是此方程的一個根，∴把代入方程中得到，∴，∴，∴，．【點睛】本題考查了①一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；（3）△＜0?方程沒有實數根．②方程的解得定義，就是能使方程左右兩邊相等的未知數的值．21.“一結千年意蘊豐，相看時對吉祥紅”，“中國結”是深受國人喜愛的節慶裝飾物。某款“中國結”成本為30元/件，每天銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間存在一次函數關系，如圖所示．（1）求y與x之間的函數關系式；（2）如果規定每天該款“中國結”的銷售量不低于240件，當銷售單價為多少元時，每天獲取的利潤w最大，最大利潤是多少？【答案】（1）（2）當銷售單價為46元時，每天獲取的利潤最大，最大利潤是3840元【解析】【分析】本題考查一次函數，二次函數的應用，解題的關鍵是讀懂題意，能正確列出函數關系式．（1）結合已知的圖象，用待定系數法可得與之間的函數關系式為；（2）由每天“中國結”的銷售量不低于240件，可得，設每天獲取的利潤為元，可得：，由二次函數性質即得當銷售單價為46元時，每天獲取的利潤最大，最大利潤是3840元．【小問1詳解】解：設與之間的函數關系式為，將，代入得：，解得，；【小問2詳解】每天“中國結”的銷售量不低于240件，，解得，設每天獲取的利潤為元，根據題意得：，，拋物線對稱軸是直線，時，取最大值，最大值是（元，答：當銷售單價為46元時，每天獲取的利潤最大，最大利潤是3840元．22.如圖，點C是直徑AB上一點．過C作交于點D，連接DA，DB．（1）求證：；（2）連接DO，過點D作的切線，交BA的延長線于點P．若，，求BC的長．【答案】（1）見詳解；（2）240．【解析】【分析】（1）根據直徑所對的圓周角等于可得，再根據可得，從而證明；（2）根據切線的性質得出，再根據得出，再根據，從而設出，的長度，再根據勾股定理求出的長度，再根據線段之間的關系即可求出的長．【小問1詳解】證明：∵為的直徑∴，∵∴∴【小問2詳解】解：∵為的切線∴∴∵∴∵∴設，，則∴，，∴∵∴∴∴【點睛】本題主要考查了直徑所對圓周角等于，切線以及垂線的性質，勾股定理等相關知識，熟練掌握直徑所對圓周角等于和切線的性質是解答本題的關鍵．23.如圖，在一次數學實踐活動中，小明同學要測量一座與地面垂直的古塔的高度，他從古塔底部點B處前行30m到達斜坡的底部點C處，然后沿斜坡前行20m到達最佳測量點D處，在點D處測得塔頂A的仰角為30°，已知斜坡的斜面坡度，且點A，B，C，D，E在同一平面內．（1）求D到的距離．（2）求古塔的高度（結果保留根）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查解直角三角形的應用-仰角俯角問題、坡度坡角問題，熟練掌握銳角三角函數的定義是解答本題的關鍵．（1）過點作，根據斜坡的斜面坡度，結合勾股定理求出的長即可；（2）過點作，垂足為點，易得四邊形為矩形，推出，在中，求出的值，再根據可得出答案．【小問1詳解】解：過點作，垂足為點，∵斜坡的斜面坡度，∴，設，則，在中，根據勾股定理，得，∴，∵，∴．【小問2詳解】過點作，垂足為點．由題意得，，∵，∴四邊形為矩形，∴，，由（1）知：，∴，，∴，在中，∵，∴．∴．答：古塔的高度．24.中，，．（1）如圖1，若點在射線上，且，請用圓規和無刻度的直尺．作（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在下列三個條件中選擇一個作為已知條件，使存在且唯一確定，并求出邊的長度．選擇的條件：_______．（填序號）①；②的周長為；③．【答案】（1）作圖見解析（2）的長度為，②或③【解析】【分析】（1）過作射線的垂線交于點即可；（2）分三種情況進行分析，然后求解即可．【小問1詳解】解：如圖，過作射線的垂線交于點即可，∴，∵，∴，∴即為所作；【小問2詳解】解：由（1）知：在中，，，，∴，選①，∵，∴以點為圓心，為半徑畫圓，此時與射線有兩個交點（如圖），故存在但不唯一，不符合題意；選②，如圖，過點作于點，∴，∵，，∴，∴，∵的周長為，∴，∴，∵在中，，∴，∴，聯立，解得：，∴；選③，如圖，過點作于點，∴，∵，，∴，∴，∵在中，，設，，∴，∴，∴，∴．故答案為：②或③．【點睛】本題考查作圖—復雜作圖，考查了過一點作已知直線的垂線，直角三角形兩銳角互余，含角直角三角形的性質，勾股定理，銳角三角函數等知識點，掌握基本作圖是解題的關鍵．25.如圖，半的直徑為10，點C、D是半弧上的兩點，將弧沿翻折．（1）如圖1，連接交翻折后的弧于點Q，連接、．判斷的形狀，并說明理由；（2）如圖2，若翻折后的弧與相切，且切點E在直徑上，當時，求的長；（3）如圖3，已知，連接交翻折后的弧于點Q，當點Q為的中點時，求長．【答案】（1）是等腰三角形，理由見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據在同圓或等圓中，相等的圓周角所對弧相等，弦相等解答即可；（2）作出點O關于的對稱點M，則與是等圓，連接，設與交點為N，由翻折后的弧與相切，且切點E在直徑上，則，，得到四邊形是菱形，利用勾股定理，垂徑定理解答即可．；（3）過點作垂足為，過點作垂足為，連接，，根據正方形的性質，勾股定理，垂徑定理，等腰三角形的性質，解答即可．【小問1詳解】解：是等腰三角形．理由如下：，且弧與弧是等圓中的弧，，∴是等腰三角形．【小問2詳解】解：作出點O關于的對稱點M，則與是等圓，連接，設與交點為N，由翻折后的