第PAGE"pagenumber"pagenumber頁，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁第PAGE"pagenumber"pagenumber頁，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁重慶市（康德卷）2025屆高三第一次聯合診斷檢測數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知，則“的解集為”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知為坐標原點，點，將繞點逆時針方向旋轉得到，則的模等于（

）A．2 B． C． D．44．已知平行六面體的體積為1，若將其截去三棱錐，則剩余部分幾何體的體積為（

）A． B． C． D．5．若，則（

）A． B． C． D．6．已知的角的對邊分別為，若，則（

）A． B． C．1 D．7．已知雙曲線的右焦點為，，是其一條漸近線上的兩點，且，若的面積等于，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．48．已知數列的通項，若且，使得，則的取值個數為（

）A．個 B．個 C．個 D．無數個二、多選題（本大題共3小題）9．某科研院所共有科研人員200人，統計得到如下數據：

研究學科性別數學物理化學生物合計女1510243180男45401817120合計60504248200欲了解該所科研人員的創新能力，決定抽取40名科研人員進行調查，那么（

）A．若按照研究學科進行分層抽樣（比例分配），則數學學科科研人員一定被抽取12人B．若按照性別進行分層抽樣（比例分配），則男性科研人員可能被抽取20人C．若按照簡單隨機抽樣，則女性科研人員一定被抽取10人D．若按照簡單隨機抽樣，則可能抽出的均為數學學科科研人員10．聲音源于物體振動所產生的、能夠激發聽覺的波動．為了有效地消除噪聲，人類研發了主動降噪的技術，該技術的原理是通過電子設備模擬產生一種與目標噪聲頻率，振幅完全相同，但相位恰好相反（即相位差為的奇數倍）的聲音，理論上就可以和噪聲完全抵消．某一目標噪聲的數學模型函數是，則可以作為降噪模擬聲的數學函數模型有（

）A． B．C． D．11．在平面直角坐標系中，已知點，若滿足（為正常數）的動點的軌跡為，則下列說法正確的是（

）A．，使得曲線經過原點B．，曲線既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形C．當時，面積的最大值為D．當時，曲線圍成的面積大于曲線圍成的面積三、填空題（本大題共3小題）12．已知，若復數，則．13．已知圓分別是上的動點，則的最大值為．14．若函數有且僅有一個零點，且，則實數的取值集合為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數．(1)當時，求在處的切線方程；(2)已知為整數，若在上單調遞減，且在上單調遞增，求．16．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，點在棱上，且直線與所成的角為．(1)證明：點為棱的中點；(2)求直線與平面所成角的正弦值．17．已知拋物線，過點的直線與拋物線交于、兩點，在軸上方，，均垂直于的準線，垂足分別為，．(1)當時，求直線的方程；(2)已知為坐標原點，證明：．18．年月日國家市場監督管理總局第次局務會議審議通過《食品安全抽樣檢驗管理辦法》，自年月日起實施．某地市場監管部門對當地一食品廠生產的水果罐頭開展固形物含量抽樣檢驗，按照國家標準規定，在一瓶水果罐頭中，固形物含量不低于為優級品，固形物含量低于且不低于為一級品，固形物含量低于為二級品或不合格品．(1)現有瓶水果罐頭，已知其中瓶為優級品，瓶為一級品．（ⅰ）若每次從中隨機取出瓶，取出的罐頭不放回，求在第次抽到優級品的條件下，第次抽到一級品的概率；（ⅱ）對這瓶罐頭依次進行檢驗，每次檢驗后不放回，直到區分出瓶罐頭的等級時終止檢驗，記檢驗次數為，求隨機變量的分布列與期望；(2)已知該食品廠生產的水果罐頭優級品率為，且各件產品是否為優級品相互獨立，若在次獨立重復抽檢中，至少有次抽到優級品的概率不小于（約為），求的最小值．19．由邊長為，，2的等腰直角三角形出發，用兩種方法構造新的直角三角形：①以原三角形的短直角邊為新三角形的短直角邊，原三角形的斜邊為新三角形的長直角邊②以原三角形的長直角邊為新三角形的短直角邊，原三角形的斜邊為新三角形的長直角邊．設，由方法①，②均可得到，接下來繼續使用上述兩種方法，得到三角形序列其中，，是直角三角形的三條邊，且，為斜邊)，滿足對于任意，有，(1)設，求的通項公式；(2)若，求；(3)證明：在直角三角形序列中，若，則．

參考答案1．【答案】B【詳解】因為集合，因此.故選：B.2．【答案】A【詳解】因為不等式的解集為，所以，所以，所以“的解集為”是“”的充分不必要條件.故選：.3．【答案】A【詳解】因為點，繞點逆時針方向旋轉得到，所以，故選：A..4．【答案】D【詳解】設點到平面的距離為，的面積為，顯然有，所以，因此剩余部分幾何體的體積為，故選：D5．【答案】B【詳解】因為，所以.又因為.故選：B.6．【答案】D【詳解】因為，由正弦定理得，所以.故選：D.7．【答案】B【詳解】

設，是漸近線上的兩點，右焦點到漸近線的距離為，所以的面積為，又，所以，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為2.故選：.8．【答案】C【詳解】令，即，由題意可得為方程的兩個不等正整數解，由韋達定理可得，可知為負整數，因為，所以，共個．故選：C.9．【答案】AD【詳解】對于選項A：按學科分層抽樣，則數學學科抽樣比為，則數學學科抽取人數為人，故A正確；對于選項B：按性別分層抽樣，男性抽樣比為，則男性科研人員被抽到的人數為人，故選項B錯誤.對于選項C：若按照簡單隨機抽樣，則每個人被抽到的概率都相等，則女性科研人員不一定被抽取10人，選項C錯誤；對于選項D:若按照簡單隨機抽樣，則每個人被抽到的概率都相等，則可能抽出的均為數學學科科研人員，故選項D正確；故選：AD10．【答案】AB【詳解】由題意可知，可以作為降噪模擬聲的數學函數模型為，，或，，AB選項滿足題意，故選：AB.11．【答案】ABD【詳解】由題意，軌跡的方程為：①選項A：取，①即為，曲線經過原點．A正確．選項B：用代替方程不變，用代替方程也不變，同時用代替，代替方程也不變.所以曲線關于軸，軸和原點對稱．B正確．選項C：當時，①即為．若，則的面積為；若，由曲線的對稱性，不妨設，則，所以，此時的面積大于．C錯誤．選項D：當時，由，得．曲線：上任意一點滿足．所以曲線“包含于”曲線，兩條曲線的公共點僅有，曲線圍成的面積大于曲線圍成的面積．D正確．故選：ABD12．【答案】【詳解】因為，所以.故答案為：13．【答案】10【詳解】圓，圓心，，圓，圓心，，因為分別是上的動點，則的最大值為.故答案為：10.14．【答案】【詳解】由題可知：函數有且僅有一個正零點，又當時，不妨令，則，所以．當時，，由，，所以．此時函數沒有零點；當時，，令，，，當時，，，所以，即在上恒成立，則在單調遞增，當時，，，則，又，所以在上的值域為當時，，令，，由在上單調遞減，在上單調遞減，所以也在上單調遞減，當時，，，則，又，所以在上的值域為若只有一個正零點，即與在有且僅有一個交點，由上述分析可得的取值范圍為：或．故答案為：．15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）的定義域為．當時所以在處的切線方程為．（2）令．由題意，當時當時只需即解得：因為為整數，所以．16．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）以為原點，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標系．不妨設，則．設，則，可得，由題意可得，整理可得，解得，所以點為棱的中點．（2）由（1）可得：，設平面的法向量為，則，令，則，可得．設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．17．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）

由題意，為拋物線的焦點．設．設直線的方程為：，代入，得：．則①，②．因為，所以，即③．由①③得：．又由②，解得．因為，所以．直線的方程為．（2）由題意，．因為，所以在線段上．同理，在線段上．因為，所以與相似，從而，即．18．【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）分布列見解析，(2)【詳解】（1）（ⅰ）設第次抽到優級品為事件，第次抽到一級品為事件，則．（ii）根據題意可知的取值可能為、、、．則，，，．則的分布列為：所以．（2）設在次抽檢中至少有次抽到優級品的概率為，則，其中，因為，所以在單調遞增．注意到，所以，故的最小值為．19．【答案】(1)；(2)；(3)證明見詳解.【詳解】（1）;，由，，，由且，，，，均為偶數，得，又，其中，所以有，所以有，則;（2）若;;，因為，所以是奇數，則;;，又，所以是偶數，所以，同理有，，，，，所以，則有