第PAGE"pagenumber"pagenumber頁，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁第PAGE"pagenumber"pagenumber頁，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁河南省安陽市文源高級中學2025屆高三第一次模擬考試數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．在復數范圍內方程的兩個根分別為，，則（

）A．1 B． C． D．2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．3．的內角的對邊分別為，若，則（

）A． B．3 C．2 D．4．的展開式中的系數為（

）A．15 B．20 C． D．5．在某次游戲中，甲、乙分別用弓箭對準同一個弓箭靶，兩人同時射箭．已知甲、乙中靶的概率分別為0.5，0.4，且兩人是否中靶互不影響，若弓箭靶被射中，則只被甲射中的概率為（

）A． B． C． D．6．已知是空間中的兩條直線，是兩個平面，則（

）A．若，則是異面直線B．若，則C．若，則D．若，則7．已知，且，則（

）A． B． C． D．8．“北斗”衛星系統的全面建成標志著我國的探測領域進入一個新的階段.單個衛星的探測可簡化為如圖所示，地球可近似看做圓心為，半徑的球體，為衛星所在位置，陰影部分為觀測的空間范圍.已知衛星的觀測范圍為地球表面的可觀測區域與之間的空間體積（單位：），過作地球的兩條切線，當兩切線夾角最大時記為最大觀測角，可觀測地球表面積（單位：）滿足，則當時，（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．若，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．10．設分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓上第一象限內任意一點，分別表示直線的斜率，則（

）A．存在點，使得 B．存在點，使得C．存在點，使得 D．存在點，使得11．已知數列的前項和為，且，則（

）A．數列是遞增數列 B．數列是遞增數列C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知向量，則.13．設是各項均為正數的等比數列的前n項和，若，則．14．已知函數的圖象在區間內的最高點對應的坐標為，則集合中元素的個數為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)證明：；(2)若，△ABC的面積為，求b．16．已知等比數列的公比，且，數列滿足，且.(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和.17．如圖，在中，點在邊上，且，為邊的中點.是平面外的一點，且有.

(1)證明：；(2)已知，，，直線與平面所成角的正弦值為.（i）求的面積；（ii）求三棱錐的體積.18．已知橢圓與雙曲線的焦點與的焦點間的距離為.(1)求與的方程；(2)過坐標軸上的點可以作兩條與的公切線.（i）求點的坐標.（ii）當點在軸上時，是否存在過點的直線，使與均有兩個交點？若存在，請求出的方程；若不存在，請說明理由.19．在某場乒乓球比賽中，甲、乙兩運動員進入到了比賽決勝局，且在該局中的比分為10:10，接下來比賽規則如下:兩人輪流各發一個球，誰贏此球誰就獲得1分，直到有一方得分超過對方2分時即可獲得該局的勝利.已知甲先發球，且甲此球取勝的概率為0.6.比賽既是實力的較量，也是心態的比拼，以后每球比賽，若上一球甲獲勝則甲在下一球比賽中獲勝的概率為0.8，若上一球乙獲勝則甲在下一球比賽中獲勝的概率為.(1)求甲以的比分贏得比賽的概率;(2)若要使甲運動員以后每球比賽獲勝的概率都大于0.6，求的范圍;(3)若，設甲運動員在第球比賽中獲勝的概率為，數列滿足，求證:.（參考知識:當時，若，則.）

參考答案1．【答案】D【詳解】根據題意可得，，即，當，時，，，當，時，，，綜上，.故選：D.2．【答案】D【詳解】因為，，所以，所以．故選：D．3．【答案】C【詳解】在中，，由余弦定理，得，即.故選：C.4．【答案】C【詳解】二項式展開式的通項公式為，由，得，所以其展開式中的系數為.故選：C5．【答案】B【詳解】設事件“甲中靶”，“乙中靶”，“弓箭靶被射中”，則，，所以，，．所以．所以．故選：B．6．【答案】D【詳解】對于A，若，，當時，則，所以不是異面直線，故A錯誤；對于B，若，當，也滿足題意，不一定，故B錯誤；對于C，若，則或為異面直線，故C錯誤；對于D，若，根據線面垂直性質，則，故D正確；故選：D.7．【答案】B【詳解】由，可得，即，即，則，解得，又，即，則，故，故選：B.8．【答案】B【詳解】設過點作地球的兩條切線在成最大觀測角時的兩切點分別為的中點為，以為圓心，為直徑的圓記為圓，圓錐的體積為，可觀測區域各點與球心相連所成的立體圖形的體積為，圓錐的體積為，則.由，得，故，所以，，可得圓的半徑為，則圓的面積為，則.，則，設球的表面積為，體積為，則，由得，，所以.故選：B.9．【答案】ACD【詳解】∵，則，，∴，即，A正確；例如，，，，，顯然，B錯誤；由得，，∴，即，C正確；易知，，，，∴，D正確；故選ACD．10．【答案】ABD【詳解】由已知得：，對于A，由為橢圓上第一象限內任意一點可得，，A正確；對于B，由，得以為直徑的圓與橢圓有4個交點，因而存在點使得，B正確；對于C，由為橢圓上第一象限內任意一點可得，又由可得，解得，與矛盾，C錯誤；對于D，由已知，因為，而，所以，所以存在點，使得，D正確．故選ABD．11．【答案】ABD【詳解】由，可得，所以，所以，由0，知，所以，可得，所以A，B正確；由，可得，即，所以C錯誤；令函數，則，當時，；當時，，所以在區間上單調遞減，在上單調遞增，故，所以，當且僅當時等號成立，由，可得，因為，所以，當時，，所以，即，所以D正確.故選：ABD.1、已知數列的條件，解決函數問題，解決此類問題一把要利用數列的通項公式，前項和公式，求和方法等對于式子化簡變形，注意數列與函數的不同，數列只能看作是自變量為正整數的一類函數，在解決問題時要注意這一特殊性；2、解決數列與不等式的綜合問題時，若是證明題中，則要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等，若是含參數的不等式恒成立問題，則可分離參數，轉化為研究最值問題來解決.12．【答案】【詳解】因為，所以，所以故答案為：13．【答案】13【詳解】設數列的公比為q，由題意，顯然，且，則，解得，所以．故答案為：1314．【答案】10【詳解】作出函數在區間上的圖象，如圖，根據函數的單調性，此時．又當時，，所以當時，，部分函數圖象如圖，由圖象可得，，，…，，，，，…，，即，即，解得，即2，3，4，…，10，11，故集合中的元素個數為．故答案為：10.15．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由已知，得，由正弦定理，得，即，即．由，得，所以．由正弦定理，得．（2）因為，所以①．由余弦定理，得，即．由（1），得，所以，化簡，得，代入①，得，所以．16．【答案】(1)，(2).【詳解】（1）由題意得，而，解得，所以.由，得數列為等差數列，則，解得，又，則，因此數列的公差為，所以.（2）由（1）知，則，于是，兩式相減得，所以.17．【答案】(1)證明見解析；(2)（i）；（ii）.【分析】（1）由空間向量的運算可得，，再由線面垂直的判定定理與性質定理即可證明；（2）（i）由余弦定理求，根據同角的平方關系求出，再由三角形面積公式即可求解；（ii）由（i）得即為與平面所成角，根據及即可求解.【詳解】（1）因為E為邊AB的中點，所以.又，即，即.，所以.又因為，所以，即.因為平面，所以平面.因為平面，所以.

（2）（i）由余弦定理可得，所以，所以.（ii）由（1）可知，平面，所以即為與平面所成角.因為，所以，，所以，得.設到平面的距離為，點到直線的距離為，則.因為，又，所以.18．【答案】(1)(2)（i）或或或；（ii）不存在，理由見解析【詳解】（1）由題意可得，解得.所以.（2）（i）顯然公切線的斜率存在且不為0，設公切線，聯立得，則，即①聯立得，則，即②聯立①②得，所以公切線為或.公切線的交點即點的坐標，由，解得，由，解得，由，解得，，解得，綜上所述：或或或.（ii）當點在軸上時，，假設存在直線與均有兩個交點，由（i）知，不等式組無解，所以不存在過點的直線與均有兩個交點.19．【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析.【詳解】（1）記第一球比賽甲運動員獲勝的事件為，第二球比賽甲運動員獲勝的事件為，由題意知：，且，∴.即甲以的比分贏得比賽的概率為.（2）記甲運動員在第球比賽中獲勝的概率為，則，則,可知數列是首項為，公比為的等比數列，則有，,①當時，，