四川省資陽市2024年中考數學試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．3的相反數為（）A．﹣3 B． C． D．3【答案】A【解析】【解答】解：3的相反數為-3.故答案為：A.【分析】求一個數的相反數就是在這個數的前面添上“-”號，由此可求出已知數的相反數.2．下列計算正確的是（）A．a3+a2＝a5 B．a3﹣a2＝a C．（a2）3＝a5 D．a5÷a2＝a3【答案】D【解析】【解答】解：A、a3+a2不能合并同類項，故A錯誤，不符合題意；

B、a3-a2不能合并同類項，故B錯誤，不符合題意；

C、（a2）3=a6，故C錯誤，不符合題意；

D、a5÷a2＝a3，故D正確，符合題意；故答案為：D.【分析】只有同類項才能合并，可對A、B作出判斷；利用冪的乘方，底數不變，指數相乘，可對C作出判斷；利用同底數冪相除，底數不變，指數相減，可對D作出判斷.3．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體是（）A．長方體 B．棱錐 C．圓錐 D．球體【答案】A【解析】【解答】解：∵此幾何體的主視圖和左視圖是大小相等的矩形，俯視圖是正方形，

∴這個幾何體是長方體.故答案為：A.【分析】主視圖，左視圖，俯視圖是分別從幾何體的正面，左面，上面看，所得的平面圖形，觀察已知幾何體的三視圖的性質，可得到原幾何體的名稱.4．6名學生一周做家務的天數依次為4，4，5，7，7，7，這組數據的中位數和眾數分別為（）A．5，4 B．6，5 C．6，7 D．7，7【答案】C【解析】【解答】解：從小到大排列為：4，4，5，7，7，7，

∵處于最中間的兩個數是5和7，

∴這組數據的中位數是，

∴這組數據的中位數是6；

∵7出現了3次，是這組數據中出現次數最多的數，

∴這組數據的眾數是7；故答案為：C.【分析】求中位數的方法是：把數據先按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數（或兩個數的平均數）為中位數；若一組數據有n個數，按大小順序排列后，當n是奇數時，第個數是中位數；若n是偶數時，第個數和第+1個數的平均數是中位數；眾數是一組數據中出現次數最多的數據，即可求解.5．在平面直角坐標系中，將點（﹣2，1）沿y軸向上平移1個單位后，得到的點的坐標為（）A．（﹣2，0） B．（﹣2，2） C．（﹣3，1） D．（﹣1，1）【答案】B【解析】【解答】解：將點（﹣2，1）沿y軸向上平移1個單位后，得到的點的坐標為（-2，1+1）即（-2，2）.故答案為：B.【分析】在平面直角坐標系中，點A（a，b），若將點A向上或向下平移m個單位，再向右或向左平移n個單位，則平移后的點的坐標為A1（a±n，b±m），據此可求出平移的點的坐標.6．如圖，AB∥CD，過點D作DE⊥AC于點E．若∠D＝50°，則∠A的度數為（）A．130° B．140° C．150° D．160°【答案】B【解析】【解答】解：∵DE⊥AC，

∴∠CED=90°，

∴∠C=90°-∠D=90°-50°=40°，

∵AB∥CD，

∴∠A+∠C=180°，

∴∠A=180°-40°=140°.故答案為：B.【分析】利用垂直的定義可證∠CED=90°，再利用直角三角形的兩銳角互余可求出∠C的度數，然后利用兩直線平行，同旁內角互補，可求出∠A的度數.7．已知一個多邊形的每個外角都等于60°，則該多邊形的邊數是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】【解答】解：設此多邊形的邊數為n，根據題意得

60°n=360°，

解之：n=6，

∴此多邊形是6邊形.故答案為：C.【分析】設此多邊形的邊數為n，利用任意多邊形的外角和為360°及這個多邊形的每個外角都等于60°，可得到關于n的方程，解方程求出n的值.8．若m，則整數m的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【解答】解：∵，，

∴即，

∴整數m=3.故答案為：B.【分析】利用估算無理數的大小，可知，據此可得到m的值.9．第14屆國際數學教育大會（ICME﹣14）會標如圖1所示，會標中心的圖案來源于我國古代數學家趙爽的“弦圖”．如圖2所示的“弦圖”是由四個全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一個小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH＝1：3，則sin∠ABE＝（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：∵如圖2所示的“弦圖”是由四個全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一個小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD，

∴EF=HE，AH=BE，

∵EF：AH＝1：3，

∴HE：AH=1：3，

∴BE：AE=3：4，

設BE=3x，則AE=4x，

在Rt△ABE中，

，

∴.故答案為：C.【分析】利用正方形的性質和全等三角形的性質可證得EF=HE，AH=BE，再利用已知條件：EF：AH＝1：3，可推出BE：AE=3：4，設BE=3x，則AE=4x，在Rt△ABE中，利用勾股定理可表示出AB的長；然后利用正弦的定義可求出sin∠ABE的值.10．已知二次函數yx2+bx與yx2﹣bx的圖象均過點A（4，0）和坐標原點O，這兩個函數在0≤x≤4時形成的封閉圖象如圖所示，P為線段OA的中點，過點P且與x軸不重合的直線與封閉圖象交于B，C兩點．給出下列結論：①b＝2；②PB＝PC；③以O，A，B，C為頂點的四邊形可以為正方形；④若點B的橫坐標為1，點Q在y軸上（Q，B，C三點不共線），則△BCQ周長的最小值為5．其中，所有正確結論的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【解答】解：∵二次函數yx2+bx與yx2﹣bx的圖象均過點A（4，0）和坐標原點O，

∴，

解之：b=2，故①正確；

∵，

∴兩拋物線的形狀相同，大小相等，

∴兩函數解析式為，，

∴兩拋物線的頂點坐標分別為（2，2）和（2，-2），

∴兩個頂點關于x軸對稱，

∴兩個函數圖象關于x軸對稱，

如圖，

∵點P為線段OA的中點，

∴這兩個函數在0≤x≤4時形成的封閉圖象關于點P成中心對稱圖形，

∴PB=PC，故②正確；

如圖，當點B和點C為兩拋物線的頂點時

，∵兩拋物線的頂點坐標分別為（2，2）和（2，-2），且兩拋物線關于x軸對稱，

∴OA垂直平分BC，

∴OB=OC，AB=AC，

∵點P為OA的中點，

∴BC垂直平分OA，

∴OB=AB，OC=AC，

∴OB=AB=OC=AC，

∴四邊形ABOC是菱形，

∵兩拋物線的頂點坐標分別為（2，2）和（2，-2），點A（4，0）

∴BP=OP=AP=2，

∴△OBP和△APB是等腰直角三角形，

∴∠OBP=∠ABP=45°，

∴∠ABO=∠OBP+∠ABP=45°+45°=90°，

∴四邊形ABOC是正方形，故③正確；

作點B關于y軸的對稱點B'，連接CB'交y軸于點Q，連接BQ，

∴BQ=B'Q，

∵△BCQ的周長為BQ+BC+CQ，

∴△BCQ的周長為B'Q+CQ+BC≥CB'+BC，

∵BC是定值，

∴BQ+CQ的最小值就是B'C，

∴△BCQ的周長的最小值為CB'+BC；

∵點B的橫坐標為1，

∴，

∴點B，

∴點B'

∵OP=OA=2，點B和點C關于點P對稱，

∴點C的橫坐標為3，

當x=3時，，

∴點C，

∴，

，

∴△BCQ的周長的最小值為，故④正確；

∴正確結論的個數為4個.

故答案為：D.【分析】將點A的坐標代入兩個函數解析式的一個，可得到關于b的方程，解方程求出b的值，可對①作出判斷；

將b的值代入函數解析式，可得到兩函數解析式，可知兩拋物線的形狀相同，大小相等，同時可求出兩個拋物線的頂點坐標，利用函數解析式及頂點坐標可知兩個函數圖象關于x軸對稱，由點P為線段OA的中點，這兩個函數在0≤x≤4時形成的封閉圖象關于點P成中心對稱圖形，可知點B，C關于點P對稱，可證得PB=PC，可對②作出判斷；

由兩拋物線的頂點坐標分別為（2，2）和（2，-2），且兩拋物線關于x軸對稱，可證BC和OA互相垂直平分，利用垂直平分線的性質可推出OB=AB=OC=AC，即可得到四邊形ABOC是菱形；再利用兩拋物線的頂點坐標及點A的坐標，可證得BP=OP=AP=2，由此可推出△OBP和△APB是等腰直角三角形，據此可得到∠ABO=90°，然后利用有一個角是直角的菱形是正方形，可對③作出判斷；

作點B關于y軸的對稱點B'，連接CB'交y軸于點Q，連接BQ，利用軸對稱的應用-最短距離問題可知△BCQ的周長的最小值為CB'+BC；利用點B的橫坐標，可得到點B和點B'的坐標，再利用對稱性可得到點C的橫坐標，再求出點C的縱坐標，可得到點C的坐標；然后利用平面直角坐標系中，兩點之間的距離公式，分別求出BC，B'C的值，即可得到△BCQ周長的最小值，可對④作出判斷；綜上所述可得到正確結論的個數.二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分）11．若（a﹣1）2+|b﹣2|＝0，則ab＝．【答案】2【解析】【解答】解：∵（a﹣1）2+|b﹣2|＝0，

∴a-1=0且b-2=0，

解之：a=1且b=2，

∴ab=1×2=2.故答案為：2.【分析】利用幾個非負數之和為0，則每一個數都為0，可得到關于a，b的方程組，解方程組求出a、b的值，然后代入求出ab的值.12．2024年政府工作報告提出，我國今年發展主要預期目標是：國內生產總值增長5%左右，城鎮新增就業1200萬人以上……將數“1200萬”用科學記數法表示為．【答案】1.2×107【解析】【解答】解：∵1萬=104，

∴1200萬=1.2×107.故答案為：1.2×107.【分析】根據科學記數法的表示形式為：a×10n，其中1≤|a|＜10，此題是絕對值大于10的數，因此n=整數數位-1（注意：1萬=104）.13．一個不透明的袋中裝有6個白球和m個紅球，這些球除顏色外無其他差別．充分攪勻后，從袋中隨機取出一個球是白球的概率為，則m＝．【答案】9【解析】【解答】解：∵一個不透明的袋中裝有6個白球和m個紅球，從袋中隨機取出一個球是白球的概率為，

∴

解之：m=9.故答案為：9.【分析】由題意可知有6個白球，球的總個數為（6+m）個，再根據從袋中隨機取出一個球是白球的概率為，可得到關于m的方程，解方程求出m的值.14．小王前往距家2000米的公司參會，先以v0（米/分）的速度步行一段時間后，再改騎共享單車直達會議地點，到達時距會議開始還有14分鐘，小王距家的路程S（單位：米）與距家的時間t（單位：分鐘）之間的函數圖象如圖所示．若小王全程以v0（米/分）的速度步行，則他到達時距會議開始還有分鐘．【答案】5【解析】【解答】解：由題意可知步行的速度v0=800÷10=80米/分，

∴2000÷80=25分鐘，

∴若小王全程以v0（米/分）的速度步行，則他到達時距會議開始的時間為14+16-25=5分鐘.故答案為：5.【分析】利用函數圖象可知步行800米用時10分鐘，可求出步行的速度v0，再利用路程÷速度等于時間，可求出步行2000米用的時間，然后利用圖象及再改騎共享單車直達會議地點，到達時距會議開始還有14分鐘，列式計算即可求解.15．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．以點A為圓心，AD長為半徑作弧交AB于點E，再以AB為直徑作半圓，與交于點F，則圖中陰影部分的面積為．【答案】【解析】【解答】解：連接AF，EF，過點F作FH⊥AB于點H，∵以點A為圓心，AD長為半徑作弧交AB于點E，

∴AD=AE=AF=2，

∵再以AB為直徑作半圓，與交于點F，

∴AE=BE=2，AE=EF，

∴AF=AE=EF=2，

∴△AEF是等邊三角形，

∴∠FAE=∠AEF=60°，AH=1，

∴FH=AH·tan∠FAE=AH·tan60°=

∴S扇形FAE=，

S弓形AF=，

∴S陰影部分=S半圓AB-S扇形FAE-S弓形AF=

故答案為：.【分析】連接AF，EF，過點F作FH⊥AB于點H，利用已知條件可證AF=AE=EF=2，可得到△AEF是等邊三角形，利用等邊三角形的性質可證得∠FAE=∠AEF=60°，AH=1，利用解直角三角形求出FH的長；再利用扇形的面積公式及三角形的面積公式可求出扇形FAE，弓形AF的面積；然后根據S陰影部分=S半圓AB-S扇形FAE-S弓形AF，代入計算可求出結果.16．在△ABC中，∠A＝60°，AC＝4．若△ABC是銳角三角形，則邊AB長的取值范圍是．【答案】2＜AB＜8【解析】【解答】解：如圖，∵△ABC是銳角三角形，

當∠ABC=90°時，

∴∠ACB=90°-∠A=90°-60°=30°，

∴；

當∠ACB'=90°時，

∴∠B'=90°-∠A=90°-60°=30°，

∴AB'=2AC=2×4=8，

∴若△ABC是銳角三角形，則邊AB長的取值范圍是2＜AB＜8.

故答案為：2＜AB＜8.【分析】利用銳角三角的定義，分情況討論：當∠ABC=90°時，利用直角三角形的兩銳角互余可求出∠ACB的度數，利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，可求出AB的長；當∠ACB'=90°時，利用直角三角形的兩銳角互余可求出∠B'的度數，利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，可求出AB'的值，從而可得到邊AB長的取值范圍.三、解答題（本大題共8個小題、共86分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17．先化簡，再求值：（1），其中x＝3．【答案】解：當時，原式.【解析】【分析】先將括號里的分式通分計算，同時將分子分母分解因式，再將分式除法轉化為乘法運算，約分化簡，然后將x的值代入化簡后的代數式進行計算.18．我國古詩詞源遠流長．某校以“賞詩詞之美、尋文化之根、鑄民族之魂”為主題，組織學生開展了古詩詞知識競賽活動．為了解學生對古詩詞的掌握情況，該校隨機抽取了部分學生的競賽成績，將成績分為A，B，C，D四個等級，并繪制成如圖所示的兩幅不完整的統計圖：（1）本次共抽取了▲名學生的競賽成績，并補全條形統計圖；（2）若該校共有2000人參加本次競賽活動，估計競賽成績為B等級的學生人數；（3）學校在競賽成績為A等級中的甲、乙、丙、丁這4名學生里，隨機選取2人參加經典誦讀活動，用畫樹狀圖或列表法求出甲、乙兩人中恰好有1人被選中的概率．【答案】（1）400

解：∴D等級的人數為：400﹣120﹣160﹣80＝40（名），補全條形統計圖如下：（2）2000×＝800（人），答：估計競賽成績為B等級的學生人數為800人；（3）畫樹狀圖如下：，共有12種等可能的結果，其中甲、乙兩人中恰好有1人被選中的結果有8種，∴甲、乙兩人中恰好有1人被選中的概率為．【解析】【解答】解：（1）本次抽取的學生人數為：80÷20%＝400（名）

故答案為：400.

【分析】（1）觀察兩統計圖，用C等級的人數÷C等級的人數所占的百分比，列式計算可求出本次抽取的學生人數；再利用條形統計圖求出D等級的人數；然后補全條形統計圖.

（2）利用該校學生的總人數×競賽成績為B等級的學生人數所占的百分比，列式計算即可.

（3）由題意可知，此事件是抽取不放回，列出樹狀圖，再根據樹狀圖可得到所有等可能的結果數和甲、乙兩人中恰好有1人被選中的情況數，然后利用概率公式進行計算.19．2024年巴黎奧運會將于7月26日至8月11日舉行，某經銷店調查發現：與吉祥物相關的A，B兩款紀念品深受青少年喜愛．已知購進3個A款比購進2個B款多用120元；購進1個A款和2個B款共用200元．（1）分別求出A，B兩款紀念品的進貨單價；（2）該商店決定購進這兩款紀念品共70個，其總費用不超過5000元，則至少應購買B款紀念品多少個？【答案】（1）設出A，B兩款紀念品的進貨單價分別為x，y．則，解得，答：A，B兩款紀念品的進貨單價分別為80元和60元．（2）設購買m件B種紀念品，（70﹣m）件A種紀念品，根據題意，得60m+80（70﹣m）≤5000，解得m≥30，答：至少應購買B款紀念品30個．【解析】【分析】（1）此題的等量關系為：3×A款的進貨單價-2×B款的進貨單價=120；1×A款的進貨單價+2×B款的進貨單價=200；再設未知數，列方程組，然后求出方程組的解，最后作答即可.

（2）此題的等量關系為：購進A款的數量+購進B款的數量=70；購進這兩款紀念品共70個：總費用≤5000；設購買m件B種紀念品，可得到關于m的不等式，然后求出不等式的最小整數解即可.20．如圖，已知平面直角坐標系中，O為坐標原點，一次函數y＝kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數y的圖象相交于A（m，4），B（4，n）兩點．（1）求一次函數的解析式；（2）若點C（t，t）在一次函數的圖象上，直線CO與反比例函數的圖象在第三象限內交于點D，求點D的坐標，并寫出直線CD在圖中的一個特征．【答案】（1）解：兩點在反比例函數圖象上，，在一次函數的圖象上，，解得，一次函數解析式為；（2）由題意可知，直線CD的解析式為，聯立得，解得，點，直線CD與直線AB互相垂直.【解析】【分析】（1）根據點A、B都在反比例函數圖象上，分別將點A、B的坐標代入反比例函數解析式，可求出m、n的值，可得到點A、B的坐標；再將點A、B的坐標分別代入一次函數解析式，可得到關于k、b的方程組，解方程組可求出k、b的值，可得到一次函數解析式.（2）利用點C的坐標（橫縱坐標都相等），可求出直線CO的函數解析式，將直線CO的函數解析式和反比例函數解析式聯立方程組，求出方程組的解，可得到點D的坐標；再觀察直線CD和直線AB兩函數解析式的k的值，可得到直線CD和直線AB的位置關系.21．如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，點D在⊙O外，延長DC，AB相交于點E，過點D作DF⊥AB于點F，交AC于點G，DG＝DC．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為6，點F為線段OA的中點，CE＝8，求DF的長．【答案】（1）證明：連接OC，∵DG＝DC，∴∠DGC＝∠DCG，∵∠DGC＝∠AGF，∴∠DCG＝∠AGF，∵DF⊥AB，∴∠AFG＝90°，∴∠A+∠AGF＝90°，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠DCG+∠ACO＝90°，∴∠DCO＝90°，∵OC是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）解：由(1)知，，∵OC＝6，CE＝8，∵OA＝6，點F為線段OA的中點，∴EF＝13，∵∠DFE＝∠OCE＝90°，∠E＝∠E，∴△OCE∽△DFE，【解析】【分析】（1）連接OC，利用等邊對等角及對頂角的性質可推出∠DCG＝∠AGF，利用垂直的定義可證得∠AFG=90°，利用直角三角形的兩銳角互余，可推出∠A+∠AGF＝90°；再利用等腰三角形的性質可推出∠DCG+∠ACO＝90°，即可證得OC⊥DE，利用切線的判定定理可證得結論.

（2）利用切線的性質可知∠OCE=90°，利用勾股定理求出OE的長，同時利用線段中點的定義可求出OF的長，根據EF=OF+OE可求出EF的長；再利用有兩組對應角分別相等的兩三角形相似，證得△OCE∽△DFE，利用相似三角形的對應邊成比例可求出DF的長.22．如圖，某海域有兩燈塔A，B，其中燈塔B在燈塔A的南偏東30°方向，且A，B相距海里．一漁船在C處捕魚，測得C處在燈塔A的北偏東30°方向、燈塔B的正北方向．（1）求B，C兩處的距離；（2）該漁船從C處沿北偏東65°方向航行一段時間后，突發故障滯留于D處，并發出求救信號．此時，在燈塔B處的漁政船測得D處在北偏東27°方向，便立即以18海里/小時的速度沿BD方向航行至D處救援，求漁政船的航行時間．（注：點A，B，C，D在同一水平面內；參考數據：tan65°≈2.1，tan27°≈0.5）【答案】（1）由題意得，∠ACB＝∠ABC＝30°，∴AB＝AC＝海里，過A作AH⊥BC于H，如圖：

∴∠AHC＝∠AHB＝90°，CH＝BH，∴CH＝BH＝AB＝×＝8（海里），∴BC＝16海里，答：B，C兩處的距離為16海里；（2）解：過D作DG⊥BC于G，在Rt中，，在Rt中，，，，(海里)，(海里)，(海里)，漁政船的航行時間為(小時).【解析】【分析】（1）利用已知條件：燈塔B在燈塔A的南偏東30°方向，C處在燈塔A的北偏東30°方向及平行線的性質可證得∠ACB＝∠ABC＝30°，利用等角對等邊可求出AC的長；過A作AH⊥BC于H，利用垂直的定義和等腰三角形三線合一的性質可證得∠AHC＝∠AHB＝90°，CH＝BH，利用解直角三角形求出CH、BH的長，即可得到BC的長.（2）過D作DG⊥BC的延長線于G，在Rt△BDG和Rt△CDG中，利用解直角三角形分別表示出BG、CG的長，根據BC=BG-CG，代入可得到關于DG的方程，解方程求出DG的長，從而可求出BG的長；然后利用勾股定理求出BD的長，即可求出漁政船的航行時間.23．（1）【觀察發現】如圖1，在△ABC中，點D在邊BC上．若∠BAD＝∠C，則AB2＝BD?BC，請證明；（2）【靈活運用】如圖2，在△ABC中，∠BAC＝60°，點D為邊BC的中點，CA＝CD＝2，點E在AB上，連接AD，DE．若∠AED＝∠CAD，求BE的長；（3）【拓展延伸】如圖3，在菱形ABCD中，AB＝5，點E，F分別在邊AD，CD上，∠ABC＝2∠EBF，延長AD，BF相交于點G．若BE＝4，DG＝6，求FG的長．【答案】（1）證明：∵∠BAD＝∠C，∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA，∴，∴AB2＝BD?BC；（2）解：過點C作CF⊥AB于點F，過點D作DG⊥AB于點G，則∠AFC＝∠AGD＝90°，

∴CF∥DG，∠BAC＝60°，為BC的中點，∴△BDG∽△BCF，∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA，∵∠AED＝∠CAD，∴∠AED＝∠CDA，∴∠AED+∠BED＝∠ADC+∠ADB＝180°，∴∠BED＝∠BDA，∵∠DBE＝∠ABD，∴△BED∽△BDA，∴，即，解得：；（3）解：連接BD，∵四邊形ABCD為菱形，∴，AD＝AB＝BC＝5，AD∥BC，∵∠ABC＝2∠EBF，∴∠ABD＝∠CBD＝∠EBF，∴∠EBF﹣∠DBF＝∠CBD﹣∠DBF，即∠DBE＝∠CBF，∵AD∥BC，∴∠CBF＝∠G，∴∠DBE＝∠G，∵∠DEB＝∠BEG，∴△BED∽△GEB，∴，∵DG＝6，∴EG＝DE+6，∴，

解得：DE＝2，負值舍去，∴EG＝2+6＝8，∴AE＝AD﹣DE＝3，∵AE2+BE2＝32+42＝52＝AB2，∴△ABE為直角三角形，∠AEB＝90°，∴∠BEG＝180°﹣90°＝90°，∴在Rt△BEG中根據勾股定理得：，∴，∵AD∥BC，∴△DFG∽△CFB，∴即，解得：．【解析】【分析】（1）圖形中隱含公共角∠ABD＝∠CBA，再利用有兩組對應角分別相等的兩三角形相似，可證得△ABD∽△CBA，利用相似三角形的對應邊成比例，可證得結論.（2）過點C作CF⊥AB于點F，過點D作DG⊥AB于點G，可推出CF∥DG，∠BAC=60°，利用解直角三角形求出CF，AF的長；利用線段中點的定義可求出BD的長，由DG∥CF，可證得△BDG∽△BCF，利用相似三角形的性質可求出DG的長，利用勾股定理求出BG的長，即可得到BF、AB的長；再利用兩組對應角分別相等的兩三角形相似去證明△BED∽△BDA，利用相似三角形的對應邊成比例可求出BE的長.

（3）連接BD，利用菱形的性質可證，AD＝AB＝BC＝5，AD∥BC，結合已知可推出∠DBE＝∠CBF，利用平行線的性質可推出∠DBE＝∠G，利用兩組對應角分別相等的兩三角形相似，可證得△BED∽△GEB，利用相似三角形的性質可求出DE的長，可得到EG、AE的長，再根據勾股定理的逆定理可證得∠AEB=∠BEG=90°，在Rt△BEG中利用勾股定理求出BG的長，據此可表示出BF的長；再由AD∥BC，可推出△DFG∽△CFB，利用相似三角形的性質可求出FG的長.24．已知平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線yx2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸的正半軸交于C點，且B（4，0），BC＝4．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點P是拋物線在第一象限內的一點，連接PB，PC，過點P作PD⊥x軸于點D，交BC于點K．記△PBC，△BDK的面積分別為S1，S2，求S1﹣S2的最大值；（3）如圖2，連接AC，點E為線段AC的中點，過點E作EF⊥AC交x軸于點F．拋物線上是否存在點Q，使∠QFE＝2∠OCA？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由．【答案】（1）解：∵B（4，0），∴OB＝4，把，代入函數解析式得：解得：，（2）解：∵B（4，0），C（0，4），∴設直線BC的解析式為：y＝kx+4（k≠0），把B（4，0）代入，得：k＝﹣1，∴y＝﹣x+4，設，則，，，，，當時，的最大值為；（3）解：令，解得：x1＝﹣2，x2＝4，∴A（﹣2，0），∵C（0，4），點E為AC的中點，∴E（﹣1，2），

連接CF，如圖：

∵FE⊥AC，∴AF＝CF，∴∠AFE