第十一章分形

機械工程學院李智分形11.3自相似維數11.4盒維數11.5關聯維數自相似維數一般將維數理解為圖形中確定一個點的位置所需要的最少的獨立坐標數。如：直線的維數是1；圓、橢圓等平面圖形的維數是2；立方體、球等立體圖形的維數是3。分數維在一定程度上可以反映圖形的復雜性。由于分數維的引進，線和面，面和體之間的絕對界限變得模糊了。如：KochCurve。自相似維數—KochCurveL0=1L1=4/3L2=(4/3)2L3=(4/3)3L4=(4/3)4L5=(4/3)5自相似維數自相似集：設A是度量空間（RD，d）上的有界子集，如果A可以分成N（>1）相等且與A相似的部分，則稱A為自相似集。自相似維數：如果每部分與A的相似比為，則稱D為自相似集的自相似維數。自相似維數例1N=n2，r=（1/n），D=2自相似維數例2.求Cantor集的自相似維數。N=2n，r=（1/3)n自相似維數例3求KochCurve的自相似維數N=4n，r=（1/3)n自相似維數例4求1/5Cantor集的維數

N=3n，r=（1/5)n，D=log3/log5其他類型的Cantor集，如：(2n-1)Cantor集、廣義Cantor集、拓撲Cantor集等等。閉集S稱為拓撲Cantor集，如果S滿足：①集合S不含有連通子集②集合S不含有孤立點集由于Cantor集是自密集、無處稠密集。顯然，Cantor集是拓撲Cantor集。盒維數盒維數是由前蘇聯著名數學家Kolmogorov提出的，它也是由覆蓋作為基礎的。盒維數定義假定要考慮的圖形是D維Euclid空間RD中的有界集合，用半徑為的D維球覆蓋其集合時，設是球個數的極小值，盒維數可用下式定義：盒維數例5求Cantor集的盒維數由于Cantor集可以被Sn所覆蓋，其中Sn是由2n個長度為(1/3)n的區間組成。如果選取=(1/3)n，需要2n個這樣的區間覆蓋Cantor集。即：盒維數例6非自相似的分形舉例。首先將一個正方形均勻切成9塊，再隨意丟棄其中的一塊，重復以上過程，便可得到圖11.4.2。求此圖的盒維數。Hausdorff維數假定D>0，用直徑<ε,（ε>0）的可數個球覆蓋集合E，設球直徑為d1，d2……，則D維的Hausdorff測度為當測度從0向無限大遷移時，我們稱D是集合E的Hausdorff維數，也可表示成DH。關聯維數假定試驗中測得的一組數據列為、、…、、…其中xi是第i時刻測量得到的實驗值。由于這是一組與時間有關的數據，且是按時間順序測量的，所以稱為“時間順序”。例如第i秒時，布朗粒子離某一中心(參考點)的距離為xi，由于不知道實際的相空間的維數，于是先用這些數據支起一個n維空間。重構這個m維的“嵌入空間”的辦法很多。例如m=10，可把關聯維數作為10維空間中的一個矢量y1，然后將上面數據序列右移一個數據，把作為10維空間的第二矢量

y2，依此辦法繼續下去，于是便構造出一大批矢量

y1，y2，y3…。將他們中任意兩矢量只差的絕對值記為

它為矢量yi與yj端點，任意給出一個實數

r，把rij<r數目記為

N1(r)，而把

的數目記為

N2(r)，顯然，總的點對數目

把距離rij小于r的點對在所有點對中所占的比例記作

C(r)，關聯維數C(r)是一個重要的參數，它描述相空間中吸引子上兩點之間的距離小于r的概率，又稱關聯函數。當數據量太大時，可以通過計算機來完成。C(r)的計算結果與r的取值有關。如果r取值太大，那么一切點對距離都不會超過r，這時

,取對數后有。這樣的r值當然無法反映系統內部性質，沒有意義；如果r取值太小，那么所有的點對

，這時，于是，這樣的r值同關聯維數樣也不能反映系統內部的性質，因而也沒有意義。也就是說，r的取值范圍（即尺度變換）受到大小兩端的限制。適當地調整r的取值范圍，可能在一段r區間內有將其和前面維數的定義相比，該式中的指數v是一種維數，進而定義關聯維數為關聯維數求關聯維數的方法如圖4-5所示只需在曲線上求出直線段部分（僅顯示出曲線中的直線）的斜率即可。關聯維數例7求Lorenz吸引子的關聯維數，其中r=28，σ=10，b=8/3。關聯維數例8logistic映射xn+1=rxn(1-xn)，r=3.5699456..分析：由于r=3.5699456..，根據第十章可知吸引子是混沌的。通過數值計算可知，吸引子構成一個類似于Cantor集的集合，即：當n>>1時，吸引子具有2n的周期。圖11.5.4給出了當n比較小時的情形。關聯維數左圖中的點表示周期為2n的穩定循環，右圖給出了其對應的x值。當n充分大時，不同的點之間的間隔長度將取決于點的位置，從而導致不同點之間的間隔存在差異，使得該集合趨近于一個拓撲Cantor集，并且近似于一個自相似集。即使對于同一個r處的“分岔”，在不同點處間隔也可能不同。關聯維數關于極限集的關聯維數，Grassberger和Procaccia做了大量的研究工作。顯然，關聯維數小于其盒維數dbox=0.538。多重分形從例11.5.2中已經得知logistic映射在不同的點處間隔可能不同，這不同于1/3Cantor集，其自相似因子為1/3。這樣便不能通過維數來描述logistic映射的特性，或者需要找到能夠反映維數變化的分布函數來描述該模型。通常稱這種集合為多重分形。多重分形多重分形對于分形集F上的測度u，我們將分形集F劃分為尺度為δ的若干個單元，當這些區域足夠小時，該區域的分布可以看成是均勻的，用ui表示第i個單元中測度u的值，它與尺度δ之間存在如下標量關系ui∝δai則稱ai為Holder指數，又稱為奇異性指數，它控制概率密度的奇異性。若存在若干個單元具有相同的Holder指數，它們的測度可用u(a)表示。用f(a)表示這些具有相同的Holder指數