9.2.4總體離散程度的估計(jì)9.3統(tǒng)計(jì)案例公司員工的肥胖情況調(diào)查分析「學(xué)習(xí)目標(biāo)」1.通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)差、方差和極差的運(yùn)算,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).2.通過(guò)生活中具體的統(tǒng)計(jì)案例模型,培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).知識(shí)梳理自主探究「知識(shí)探究」平均距離、方差與標(biāo)準(zhǔn)差師生互動(dòng)合作探究探究點(diǎn)一平均數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的概念[例1]數(shù)據(jù)的信息除了通過(guò)各種統(tǒng)計(jì)圖表來(lái)加以整理和表達(dá)之外,還可以通過(guò)一些統(tǒng)計(jì)量來(lái)表述.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差這些統(tǒng)計(jì)量反映了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)或離散程度,下列表述不正確的是(

)A.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)刻畫(huà)了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)B.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)一定出現(xiàn)在原數(shù)據(jù)中C.極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差刻畫(huà)了一組數(shù)據(jù)的離散程度D.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、標(biāo)準(zhǔn)差單位與原數(shù)據(jù)單位保持一致√解析:刻畫(huà)一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量有平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等,A正確;刻畫(huà)一組數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計(jì)量有極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等,C正確;平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、標(biāo)準(zhǔn)差單位與原數(shù)據(jù)單位保持一致,D正確;平均數(shù)、中位數(shù)不一定出現(xiàn)在原數(shù)據(jù)中,B不正確.故選B.方法總結(jié)(1)眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量,平均數(shù)是最重要的量.(2)由于平均數(shù)與每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)有關(guān),所以任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變,這是中位數(shù)、眾數(shù)都不具有的性質(zhì).(3)眾數(shù)考查各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率,其大小只與這組數(shù)據(jù)中的部分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān).當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時(shí),其眾數(shù)往往更能反映問(wèn)題.(4)方差和標(biāo)準(zhǔn)差反映的是一組數(shù)據(jù)的集中與離散程度.一般地,標(biāo)準(zhǔn)差和方差越小說(shuō)明數(shù)據(jù)越集中、越穩(wěn)定,反之越離散.[針對(duì)訓(xùn)練](多選題)甲、乙兩名同學(xué)6次的數(shù)學(xué)成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖,則下列說(shuō)法正確的是(

)√√探究點(diǎn)二平均數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算角度一分層隨機(jī)抽樣的方差成績(jī)y456789頻數(shù)3711964方法總結(jié)[針對(duì)訓(xùn)練](1)某學(xué)校高一、高二年級(jí)共1000人,其中高一年級(jí)400人,現(xiàn)按照年級(jí)進(jìn)行比例分配的分層隨機(jī)抽樣調(diào)查學(xué)生身高,得到高一、高二兩個(gè)年級(jí)的樣本平均數(shù)分別為165cm,170cm和樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為3,4,則總體方差s2等于(

)A.18.5 B.19.2 C.19.4 D.20√√角度二利用方差性質(zhì)計(jì)算方差[例3]已知樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x100的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差均為4,則數(shù)據(jù)-x1-1,-x2-1,…,-x100-1的平均數(shù)與方差分別為(

)A.-5,4 B.-5,16 C.4,16 D.4,4√解析:由題意知樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x100的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差均為4,則x1,x2,…,x100的方差為16,則-x1,-x2,…,-x100的平均數(shù)為-4,方差為(-1)2×16=16,故-x1-1,-x2-1,…,-x100-1的平均數(shù)為-4-1=-5,方差為16.故選B.方法總結(jié)[針對(duì)訓(xùn)練]已知一組數(shù)據(jù)x1,x2,x3,x4,x5的平均數(shù)是2,方差是3,則對(duì)于以下數(shù)據(jù):2x1+1,2x2+1,2x3+1,2x4+1,2x5+1,下列選項(xiàng)正確的是(

)A.平均數(shù)是4,方差是6B.平均數(shù)是4,方差是7C.平均數(shù)是5,方差是7D.平均數(shù)是5,方差是12解析:由于數(shù)據(jù)x1,x2,x3,x4,x5的平均數(shù)是2,方差是3,故數(shù)據(jù)2x1+1,2x2+1,2x3+1,2x4+1,2x5+1的平均數(shù)是2×2+1=5,方差是22×3=12.故選D.√角度三頻率分布直方圖中的方差計(jì)算[例4]文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱(chēng)號(hào),作為普通市民,既是文明城市的最大受益者,更是文明城市的主要?jiǎng)?chuàng)造者.某市為提高市民對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí),舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競(jìng)賽,從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本,將樣本的成績(jī)(滿分100分,成績(jī)均為不低于40分的整數(shù))分成六段:[40,50),[50,60),…,[90,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中a的值,并估計(jì)樣本成績(jī)的第80百分位數(shù);解:(1)由每組小矩形的面積之和為1,所以(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1,解得a=0.030,成績(jī)落在[40,80)內(nèi)的頻率為(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65.落在[40,90)內(nèi)的頻率為(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)×10=0.9.故第80百分位數(shù)在[80,90)內(nèi),設(shè)第80百分位數(shù)為m,由0.65+(m-80)×0.025=0.80,得m=86,故第80百分位數(shù)的估計(jì)值為86.方法總結(jié)[針對(duì)訓(xùn)練]在一次考試中,為了了解各學(xué)科的成績(jī)情況,從所有考生中隨機(jī)抽出20名考生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,其中數(shù)學(xué)學(xué)科成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示,據(jù)此估計(jì),在本次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)的方差為

.(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)

110探究點(diǎn)三利用方差、標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行決策[例5]某教育集團(tuán)為了辦好人民滿意的教育,每年年底都隨機(jī)邀請(qǐng)8名教育學(xué)專(zhuān)家對(duì)集團(tuán)內(nèi)甲、乙兩所學(xué)校進(jìn)行辦學(xué)質(zhì)量評(píng)估(評(píng)分最高分110,最低分0,分?jǐn)?shù)越高說(shuō)明辦學(xué)質(zhì)量越高,分?jǐn)?shù)越低說(shuō)明辦學(xué)質(zhì)量越低).去年測(cè)評(píng)的數(shù)據(jù)如下:甲校98,110,97,108,100,103,86,98;乙校108,101,94,105,96,93,97,106.(1)分別計(jì)算甲、乙兩所學(xué)校去年辦學(xué)質(zhì)量評(píng)估測(cè)評(píng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù);(2)分別計(jì)算甲、乙兩所學(xué)校去年辦學(xué)質(zhì)量評(píng)估的方差;(3)根據(jù)以上數(shù)據(jù),你認(rèn)為這兩所學(xué)校哪所學(xué)校辦學(xué)質(zhì)量評(píng)分比較高?解:(3)由(1)(2)知甲、乙兩所學(xué)校辦學(xué)質(zhì)量評(píng)分的平均數(shù)相同、中位數(shù)相同,而乙學(xué)校辦學(xué)質(zhì)量評(píng)分的方差小于甲學(xué)校辦學(xué)質(zhì)量評(píng)分的方差,所以乙學(xué)校辦學(xué)質(zhì)量評(píng)分比較高.方法總結(jié)(1)在實(shí)際問(wèn)題中,僅靠平均數(shù)不能完全反映問(wèn)題,還要研究偏離平均數(shù)的離散程度(即方差與標(biāo)準(zhǔn)差).(2)方差(標(biāo)準(zhǔn)差)刻畫(huà)一組數(shù)據(jù)離平均數(shù)波動(dòng)的幅度大小.方差(標(biāo)準(zhǔn)差)較大,數(shù)據(jù)的離散程度較大;方差(標(biāo)準(zhǔn)差)較小,數(shù)據(jù)的離散程度較小.[針對(duì)訓(xùn)練]甲、乙兩名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn),現(xiàn)分別從他們?cè)谂嘤?xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績(jī)中隨機(jī)抽取9次,記錄如下:甲82

81

79

78

95

88

93

84

85乙92

95

80

75

83

80

90

85

85(1)求甲成績(jī)的80%分位數(shù);解:(1)將甲的成績(jī)從低到高排列如下:78,79,81,82,84,85,88,93,95,因?yàn)?×80%=7.2不是整數(shù),所以選擇第8個(gè)數(shù)作為80%分位數(shù),即93.(2)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度考慮,你認(rèn)為選派哪名學(xué)生參加合適?請(qǐng)說(shuō)明理由.「當(dāng)堂檢測(cè)」1.在一次連續(xù)10次的射擊中,甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員所射中環(huán)數(shù)的平均數(shù)一樣,但方差不同,則下列說(shuō)法正確的是(

)A.因?yàn)樗麄兯渲协h(huán)數(shù)的平均數(shù)一樣,所以他們水平相同B.雖然射中環(huán)數(shù)的平均數(shù)一樣,但方差較大的,潛力較大,更有發(fā)展前途C.雖然射中環(huán)數(shù)的平均數(shù)一樣,但方差較小的,發(fā)揮較穩(wěn)定,更有發(fā)展前途D.雖然射中環(huán)數(shù)的平均數(shù)一樣,但方差較小的,發(fā)揮較不穩(wěn)定,忽高忽低√解析:由方差的意義可知