/廣西壯族自治區2025屆高三下學期二月聯合調研測試數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則（

）A． B．C． D．2．已知復數滿足（其中為虛數單位），則（

）A．1 B．2 C． D．53．已知，則的值為（

）A． B． C． D．4．已知向量，都是單位向量，若，則向量，的夾角的大小為（

）A． B． C． D．5．設，則的大小關系為（

）A． B． C． D．6．遼寧省博物館收藏的商晚期饕餮紋大圓鼎(如圖1)出土于遼寧省略左縣小波汰溝．此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分別飾單層獸面紋，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕．它的主體部分可以近似地看作是半球與中空無蓋圓柱的組合體(忽略鼎壁厚度)，如圖2所示．已知球的半徑為R，圓柱的高近似于半球的半徑，則此鼎主體部分的容積與外表面積之比約為（

）A． B． C． D．7．過點的直線與圓相交于兩點，那么當取得最小值時，直線的方程是（

）A． B． C． D．8．已知，函數和的圖像如圖所示，其中是這兩個函數共同的零點，是其中一個函數的零點，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．2024年10月央行再次下調人民幣存款利率，存款利率下調是為了刺激經濟增長?促進投資和消費而采取的一種貨幣政策.下表為某銀行近年來幾個時間發布的人民幣一年定期存款利率：時間2018年4月2019年4月2020年4月2021年6月2022年9月2024年7月2024年10月利率1.351.501.751.751.551.351.10關于表中的7個數據，下列結論正確的是（

）A．極差為0.25 B．平均數不大于1.5C．分位數與分位數相等 D．中位數為1.7510．已知函數，則（

）A．有兩個極值點B．有一個零點C．點是曲線的對稱中心D．直線是曲線的切線11．在圓錐中，已知高，底面圓的半徑為為母線的中點，根據圓錐曲線的定義，下列四個圖中的截面邊界曲線分別為圓、橢圓、雙曲線及拋物線，下面四個選項，正確的是（

）A．圓的面積為 B．橢圓的長軸長為C．雙曲線兩漸近線的夾角正切值為 D．拋物線的焦點到準線的距離為三、填空題（本大題共3小題）12．在的展開式中，常數項是．（用數字作答）13．已知△的角的對邊分別為且，若，，則.14．已知函數，若，則最大值為四、解答題（本大題共5小題）15．已知等差數列前項的和為，且，(1)求數列的通項公式；(2)若，求數列的前項和.16．近年來，政府相關部門引導鄉村發展旅游業的同時，鼓勵農戶建設溫室大棚種植高品質農作物.為了解某農作物的大棚種植面積對種植管理成本的影響，甲?乙兩名同學一起收集了6家農戶的數據，進行回歸分析，得到兩個回歸模型：模型①；模型②.對以上兩個回歸方程進行殘差分析，得到下表：種植面積畝234579每畝種植管理成本/百元252421221614模型①估計值25.2723.6221.9717.0213.72殘差0.380.28模型②估計值26.8420.1718.8317.3116.46殘差0.833.17注：表中.(1)將以上表格補充完整，判斷哪個模型擬合效果更好，并簡要說明理由；(2)視殘差的絕對值超過1.5的數據為異常數據，針對（1）中擬合效果較好的模型，剔除異常數據后，重新求其經驗回歸方程.參考公式：.17．如圖（1），在平面四邊形中，，，過點作，垂足為．如圖（2），把沿折起，使得點A到達點處，且．(1)證明：．(2)若點為的中點，求直線與平面所成角的正弦值．18．已知函數．(1)求函數的極值；(2)設，曲線在處的切線為l．（i）證明：除切點外，曲線恒在l的上方；（ii）若，且，證明：．19．已知橢圓的離心率為，左、右頂點分別為，.(1)求橢圓的方程；(2)過點的直線交橢圓于點（異于），設直線的斜率分別為.（i）證明為定值，并求出該定值；（ii）設為直線和的交點，記的面積分別為，求的最小值.

參考答案1．【答案】A【詳解】，故，故選：A2．【答案】C【詳解】根據可得，故，故選：C3．【答案】C【詳解】.故選：C4．【答案】B【詳解】向量，都是單位向量，則∵，則即，則∴，又所以故選：B．5．【答案】C【詳解】，而，故，，而，故，故，故選：C.6．【答案】D【詳解】由球的半徑為R，則圓柱體的高為R此鼎主體部分的容積約為：此鼎主體部分外表面積約為：所以此鼎主體部分的容積與外表面積之比約為：故選：D7．【答案】C【詳解】由題意得圓的標準方程為，則圓心.過圓心與點的直線的斜率為.當直線與垂直時，取得最小值，故直線的斜率為，所以直線的方程為，即，故選：C．8．【答案】A【詳解】由是函數的零點，可得，即，，取（正半軸的第一個零點）可得；又是函數的零點，由，得，，取（正半軸的第四個零點）得，所以，.故選：A.9．【答案】BC【詳解】把這7個數據按照從小到大的順序排列：，，，，，，.選項A：極差為，A錯誤.選項B：平均數為，B正確.選項C：，，故分位數與分位數都是1.35，C正確.選項D：中位數為第四個數即，D錯誤.故選：BC.10．【答案】ABC【分析】利用導數研究函數的單調性，結合極值點的概念、零點的存在性定理即可判斷AB；根據奇函數圖象關于原點對稱和函數圖象的平移變換即可判斷C；根據導數的幾何意義即可判斷D.【詳解】A：，令得或，令得，所以在，上單調遞增，上單調遞減，所以時取得極值，故A正確；B：因為，，，所以函數只在上有一個零點，即函數只有一個零點，故B正確；C：令，該函數的定義域為，，則是奇函數，是的對稱中心，將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，所以點是曲線的對稱中心，故C正確；D：令，可得，又因為，當切點為時，切線方程為，當切點為時，切線方程為，故D錯誤.故選ABC.11．【答案】ABD【詳解】對于A，依題意，截面圓的半徑為底面圓半徑的一半，則圓的面積為，A正確；對于B，如下圖軸截面中，作于，則長軸長，又，則，B正確；

對于C，如下圖，與面垂直且過M的平面內，建立平面直角坐標系，坐標原點、點P與底面距離相等，均為2，則，雙曲線與底面一個交點，設雙曲線為，且，則，解得，所以其中一條漸近線為，若其傾斜角為，則，所以兩條漸近線夾角正切值為，C錯誤；

對于D，如下圖，建立平面直角坐標系，設拋物線與底面圓的一個交點為H，則，點，設拋物線方程為，則，解得，所以拋物線的焦點到準線的距離為，D正確.

故選：ABD12．【答案】【詳解】因為的展開式的通項公式為，令，可得，所以展開式中常數項為，故答案為：.13．【答案】【詳解】因為，，代入，，則可得：.故答案為：.14．【答案】【詳解】由題意，，注意到，，當時，令，解得或，令，解得，不滿足,，當時，令，解得或，令，解得，不滿足，，當時，函數成立，符合條件，所以，即.令，則，令，則，令，則，所以在單調遞增，在單調遞減，所以.故答案為：.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，，所以，解得，所以.（2）由（1）可得所以.16．【答案】(1)表格見解析，模型①擬合效果更好.(2)【詳解】（1）當時，當時，，完成表格如下：注：表中.種植面積畝234579每畝種植管理成本/百元252421221614模型①估計值25.2723.6221.9720.3217.0213.72殘差0.381.680.28模型②估計值26.8422.3920.1718.8317.3116.46殘差1.610.833.17模型①的殘差平方和為5.0994，模型②的殘差平方和為24.4832，因為，即模型①的殘差平方和比模型②的殘差平方和小，所以模型①擬合效果更好.（2）由題意及（1）可知，模型①中僅第四組數據殘差的絕對值超過1.5，故應剔除第四組數據，剔除后，則，，則，所以所求經驗回歸方程為.17．【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）依題意，，而，平面，則平面，又平面，則，由，，得，，連接，則，而，平面PCE，因此平面，又平面，所以．（2）由（1）知兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，所以，設平面的一個法向量為，則，取，得，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．18．【答案】(1)極大值為，無極小值；(2)（i）證明見詳解；（ii）證明見詳解.【詳解】（1），，令，可得，當時，單調遞增；當時，單調遞減；所以當時，有極大值，并且極大值為，函數無極小值；（2）（i）因為函數，所以，設曲線在處的切線的斜率為k，則，又，則曲線在處的切線方程為，即，設函數，則，當時，單調遞減；當時，單調遞增；則，所以，故除切點外，曲線恒在l的上方；（ii）分別令，且滿足，由（i）知，令，當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以，令，可得