2024年高考圓錐曲線復(fù)習(xí)題

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1.過雙曲線/一卷=1的右支上的一點P作一直線/與兩漸近線交于4、B兩點,其中尸是

的中點.

（1）求雙曲線的漸近線方程；

（2）若尸縱坐標(biāo)為2時，求直線/的方程；

（3）求證:|。4|?|。8|是一個定值.

【分析】（1）求出雙曲線的b,由雙曲線的漸近線方程為），=±-工，即可得到所求：

a

（2）令），=2代入雙曲線的方程可得。的坐標(biāo)，再由中點坐標(biāo)公式，設(shè)A（〃?，2m）,B

（〃，-2n）,可得A,8的坐標(biāo)，運用點斜式方程，即可得到所求直線方程；

（3）設(shè)尸（,《）,和），A（〃?，2〃?），B（〃，-2/7）,代入雙曲線的方程，運用中點坐標(biāo)公

式，求得加，”，運用兩點的距離公式，即可得到走值.

【解答】解：（1）雙曲線/一。=1的〃=1,b=2,

可得雙曲線的漸近線方程為y=±4,

a

即為y=±2x；

（2）令y=2可得刈2=if[=2,解得刈=遮，（負(fù)的舍去），

設(shè)4Cm,2m）,BCn,-2〃），

由P為A8的中點，可得加+〃=2&，2m-2/2=4,

解得m=V24-1,n=A/2-1,

即有A（V2+1,2>[24-2）,

可得PA的斜率為k=：富釜=2N/2,

則直線/的方程為廣2=2a（x-V2）,

即為y=2或x-2為所求；

（3）證明：設(shè)戶（刈，和），即有刈2一軍=1,

設(shè)A（m,2m）,B（〃,-2〃），

由P為A8的中點，可得"I+〃=2AO,2m-2〃=2yo,

解得〃?=刈+?o,〃=加一切，

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則|0川?|08|=+4M|=5卜〃川=5|(AO+(刈一之沖)|

2

=5|加一v*_|=5為定值.

【點評】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程的運用，同時考查直線方程

的運用，以及中點坐標(biāo)公式的運用，屬于中檔題.

2.在平面直角坐標(biāo)系X5中，C(-2,0),D(2,0),曲線E上的動點戶滿足伊

=472,直線/過D交曲線E于A、B兩點.

(1)求曲線E的方程：

(2)當(dāng)AC_LAB時，人在x軸上方時，求4、8的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)直線/的斜率為2時，求三角形C/小的面積.

【分析】(1)利用橢圓的定義確定點P的軌跡是橢圓，然后利用待定系數(shù)法求解橫圓的

方程即可；

(2)設(shè)人(期，yo)()o>0),利用向曷:垂直的坐標(biāo)表示列式得到xo,和的關(guān)系式，結(jié)合

點A在橢圓上，求出點A的坐標(biāo)，然后求出直線AB的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求四點8

的坐標(biāo)即可；

(3)求出直線/的方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到韋達(dá)定理，利用弦長公式求出|A劇，由

點到直線的距離公式求解點。到直線/的距離，然后由三角形的面積公式求解即可.

【解答】解：(1)因為|PC|+|PD|=4&>|CD|=4,

則點〃的軌跡是以C。為左右焦點的橢圓，

%2y2

設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為一；4--=1(a>b>0),

則a=2>/2,c=2,

所以b=Va2—c2=2,

42y2

故曲線E的方程為7■+==1；

84

(2)設(shè)4(xo,yo)(yo>O),則-+處-=1,

84

又力。=(-2--y0),AD=(2-x0,一%)，

因為AC_LAB,且點人B,D在同一條直線/上，

所以ACLA。，

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2224

故力C?AD=(-2-%o)(2-x0)+y0=^o+y0-=0,

XQ2y02

聯(lián)立方程組飛"+丁=1,解得y02=4,

22

vx0+y0-4=0

因為)Y)〉。，則yo=2,

代入x()2+為2-4=0中，可得刈=0,

所以點A的坐標(biāo)為(().2),

因為4(0,2),D(2,0),

YV

所以直線AB的方程為；4--=1,

聯(lián)立方程組:解得172或號Z2-

故點5的坐標(biāo)為-1)；

(3)由題意可知，直線/的方程為y=2(x-2),即2x-y-4=0,

Ny2

聯(lián)立方程組9+彳=1,解得9』-32X+24=0,

2x—y-4=0

則4=322-4X9X24=160>0,

設(shè)A(XI>VI),B(.12,V2),

8

-

則與+小=夸，XjX23

故|48|=V1+22,J(Z+孫)2-4勺%2=V5xJ(等尸一孥=

又點C到直線/的距離為d=|2；(-2)一0二4|二竿，

所以SMBC另

17201v8/5

=2X-9-X—

16/10

--9-'

【點評】本題考查了動點軌跡方程的求解，橢圓定義的應(yīng)用以及橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，

弦長公式的應(yīng)用，直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，在解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題

時，一般會聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，利用韋達(dá)定理和“設(shè)而不求”的方法進行研究，

屬于中檔題.

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3.已知雙曲線％2一1=1的左、右頂點分別為A、B,曲線C是以A、8為短軸的兩端點且

離心率為W的橢圓，設(shè)點〃在第一象限且在雙曲線上，直線AP與橢圓相交于另一點T.

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(1)求曲線C的方程：

(2)設(shè)點P、7的橫坐標(biāo)分別為XI,X2，證明：X1X2=1：

(3)設(shè)△7^B與△POB(其中0為坐標(biāo)原點)的面積分別為Si與S2,且曲?而410,

求*-S/的取值范圍.

y2久2

【分析】(1)設(shè)橢圓的方程為f+77=1,a>b>Q,依題意可得A(-1,0),B(I,

azbz

0),推出〃=1,又橢圓的離心率為77,解得。2,即可得出答案.

2

(2)設(shè)點尸(xi,y\),T(X2?yz)(xi>0,>7>0,/=1,2),直線AP的斜至為k(k>0),

則直線AP的方程為y=A(x+1),聯(lián)立橢圓的方程，蟀得X2,同理可得占二"，進而

可得X=X2=1.

(3)由(2)易=(一1一%1，-yj,前二(一1一%2，一為)，由易?而工1。，得1V

Xi<V3,再計算Si,S2,結(jié)合基本不等式得SJ-S2?的取值范圍.

V2X2

【解答】解：(1)設(shè)橢圓的方程為J+77=1,a>b>0,

a2b2

依題意可得A(-1,0),B(1,0),所以〃=1,

因為橢圓的離心率為f，

所以然=/=a，1=.即J=4,

y2

所以橢圓方程為—+/9=1.

4

(2)證明：設(shè)點尸(A1,)，1),7(X2,月)(x/>0,y>0,i=l,2),直線AP的斜至為

k(&>0),

則直線AP的方程為y=&(x+1),

y=k(x+1)

聯(lián)立方程組/+4=1整理，得(4+正)『+2-+爐-4=0,

4

4-A2

解得x=?1或％=——弓

4+r

所以必=袋，

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同理可得，巧="，

所以X「X2=1.

（3）由（2）PA=（-1—x1,—%），PB=（-1-%2，一丫2），

因為易?而<10,

所以（―1-%i）（l—%i）+y?410，

即+比<11,

因為點P在雙曲線上，則與一4=1,

所以"一4411,即好￡3,

因為點P是雙曲線在第一象限