重難點13幾何最值問題2種題型

（將軍飲馬與螞蟻爬行，16種模型）

錄

重難點題型突破

題型01將軍飲馬

題型02螞蟻爬行

重難點題型突破

兩點位于線段兩側

兩點位于線段間側

＞（兩點之間線段最粕）

一點位于西線段的內側

一線段位于兩線段的內側【模型一專助訓練】

一點位于兩線段的外側'【模型—專項訓練】

-（垂線段最短）【模型三專項訓練】

一點位于兩線段的內側【模型四專項訓練】

幾

【模型五與模型六專項訓練】

何兩點在冏側，求的最大值

PA-PBI，在三角形中兩邊、【模型七與模型八專項訓練】

”1之差疝手港三邊）

最兩點在異側，求IPA-PBI的最大值【模型九專暝訓練】

【模型十與模型十一專項訓練】

值

在直線L上求一點P.線段垂直平分線上的點

2求IPA-PBI的最小值到線段兩端距離相等

種I，平行四邊形的性質+兩

類將軍過橋（2種）點之間殘隹金短

型

16螞蟻沿著長方體去面距行

種

【模型一專I頁訓練】

模螞蟻沿著圓柱表面爬行

【咦型二專項訓練】

型螞誕蜂蜜回題【模型三專項訓練】

螞蟻爬樓梯同題【模型四專項訓練】

【模型五專項訓練】

媽蟻爬圓鋌問題

題型01將軍飲馬

模型的概述：唐朝詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望燎火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含

著一個有趣的數學問題：將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發，走到河邊讓戰馬飲水后再到B點宿營.

問如何行走才能使總的路程最短.

模型一.模型四的理論依據：兩點之間線段最短.

模型一（兩點在河的異側）：將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發，走到河邊讓戰馬飲水后再到B點宿

營，將在何處渡河使行走距離最短并求最短距離.

方法：如右圖，連接AB,與線段L交于點M,在M處渡河距離最短，最短距離為線段AB的長.

【將軍飲馬之模型一專項訓練】

1.（2021.海南海I1?統考一模）如圖，在△48。中，AB=AC,分別以點A、4為圓心，以適當的長為半徑作

弧，兩弧分別交于E，尸，作直線E凡。為的中點，M為直線七廠上任意一點.若BC=4,△力BC面枳

為10,則8M+MD長度的最小值為（）

【答案】D

【分析】由基本作圖得到得后產垂直平分AB,則M3=M4,所以8M+MO=MA+M。，連接M4、D4,如圖，

利用兩點之間線段最短可判斷MA+MD的最小值為AD,再利用等腰三角形的性質得到AD1.BC,然后利用

三角形面積公式計算出AD即可.

【詳解】解：由作法得F尸垂直平分A用

：.MB=MA,

：.BM+MD=MA+MD,

連接MA、DA,如圖，

?：MA+MD>AD（當且僅當M點在4。上時取等號）,

J.MA+MD的最小值為AQ,

?：AB=AC,D點為BC的中點,

/.AD±BC,

yShABC=^BC-AD=W,

.?.4D=也=5,

長度的最小值為5.

故選：D.

【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，利用軸對稱求線段和的最小值，三角形的面積，兩點之

間，線段最短，掌握以上知識是解題的關鍵.

2.（2023?山東棗莊?校考模擬預測）如圖所示，正方形的面積為12,△48E是等邊三角形，點E1在正

方形A8CD內，在對角線力C上有一點P,使PD+PE的和最小，則這個最小值為（）

AD

BC

A.4V3B.2V3C.V6D.V3

【答案】B

【分析】連接8。，PB,根據點8與。關于AC對稱，得出P0=P8,從而得出PD+PE=PB+PEZBE,

即PO+PE最小值為值為BE的長，求出BE的長即可.

【詳解】解：連接3D,PB,如圖所示：

??加邊形力也。為正方形,

???點B與D關于4c對稱,

：.PD=PB,

:?PD+PE=PB+PE之BE,

???PD+PE最小值為BE的長,

???正方形4BCD的面積為12,

：,AB=712=2V3,

又是等邊三角形，

：.BE=AB=2V3,

???PD+PE最小值為2次，故B正確.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了正方形的性質，軸對稱的性質，等邊三角形的性質，解題的關鍵是根據軸對稱的

性質得出8E的長為PD+PE的最小值.

3.(2020?山東泰安?中考真題)如圖，點A,8的坐標分別為4(2,0)萬(0,2),點C為坐標平面內一點，BC=1,

A.V2+1B.五+三C.2V24-1D.272

【答案】B

【分析】如圖所示，取AB的中點N,連接ON,MN.根據三角形的三邊關系可知OMVON+MN,則當

ON與MN共線時，OM=ON+MN最大，再根據等腰直角三角形的性質以及三角形的中位線即可解答.

【詳解】解：如圖所示，取AB的中點N,連接ON,MN,三角形的三邊關系可知OMVON+MN,則當

ON與MN共線時，OM=ON+MN最大，

???4(2,0),8(0,2),

則AABO為等腰直角三角形，

.\AB=VO/12+OB2=2^2,N為AB的中點，

???0348=&,

又,；M為AC的中點，

，MN為△ABC的中位線，BC=1,

貝I」=：

.\OM=ON+MN=V2

2

AOM的最大值為企+，

【點睛】本題考杳了等腰直角三角形的性質以及三角形中位線的性質，解題的關鍵是確定當ON與MN共

線時，OM=ON+MN最大.

4.（2022?安徽蚌埠?統考一模）如圖，中，AB1DC,AB=8,BC=6,F是△A3C內部的一個動

點，滿足=則線段CP長的最小值為（）

B.2C.2V13-6D.2713-4

【答案】D

【分析】結合題意推導得乙4P8=90。，取AB的中點O,以點。為圓心，48為直徑作圓，連接OP：根據

直角三角形斜邊中線的性質，得OP=OA=OB=\AB=4；根據圓的對稱性，得點P在以A8為直徑的。0

上，根據兩點之間直線段最短的性質，得當點。、點P、點C三點共線時，PC最小；根據勾股定理的性質

計算得OC,通過線段和差計算即可得到答案.

【詳解】v/-ABC=90°,

Z.ABP+Z.PBC=90°,

vZ.PAB=乙PBC,

???￡BAP+乙ABP=90°,

.%Z.APB=90°,

取A3的中點0,以點。為圓心，為直徑作圓，連接OP,

OP=0A=OB=-AB=4

2

.?.點。在以人8為直徑的O0上，連接OC交。。于點P,

當點。、點巴點C三點共線時，PC最小

在RtaBCO中，

vZ.OBC=90°,BC=6,OB=4,

0C=y]BO2+BC2=V42+62=2V13,

APC=OC-OP=2713-4

二PC最小值為2g-4

故選：D.

【點睛】本題考查了兩點之間直線段最短、圓、勾股定理、直角三角形斜邊中線的知識；解題的關鍵是熟

練拿握圓的對稱性、兩點之間直線段最短、直角三角形斜邊中線的性質，從而完成求解.

5.(202()?廣東深圳?南山實驗教育美團南海中學校考一模)如圖8。在4B的同側，4。=2,BD=8,AB=8,

點M為A8的中點，若2CM。=12。。，則的最大值是.

【答案】14

【分析】如圖，作點人關于CW的對稱點/V,點8關于力M的對稱點夕，證明△/VM9為等邊三角形，即可

解決問題.

【詳解】解：如圖，作點A關于CM的對稱點4,點8關于OM的對稱點夕.

?:4CMD=120°,

Z.AMC+Z.DMB=60°,

???LCMA'4-Z-DMB'=60°,

???iA'MB'=60°,

???MAf=MB',

.??A4'M8'為等邊三角形

???CD<CA'+A!B'+B'D=CA+AM-^-BD=14,

???CD的最大值為14,

故答案為14.

【點睛】本題考查等邊三角形的判定和性質，兩點之間線段最短，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，學

會利用兩點之間線段最短解決最值問題

模型二（兩點在河的同側）：將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發，需先走到河邊讓戰馬飲水后再到B

點宿營，將在何處渡河使行走距離最短并求最短距離.

方法：如右圖，作點B關于直線L的對稱點B，，連接AB\與直線L的交點即為所求的渡河點，最短距離為

線段AB，的長.

【將軍飲馬之模型一專項訓練】

1.（2022.湖南湘潭?校考模擬預測）如圖，菱形草地ABCD中，沿對■角線修建60米和80米兩條道路（力。＜8。），

“、N分別是草地邊BC、。。的中點，在線段8。上有一個流動飲水點P,若要使PM+PN的距離最短，則最

短距離是米.

B

【答案】50

【分析】作M關于BD的對稱點Q,連接NQ,交于〃，連接M7,當P點與尸重合時，MP+NP=MP'+NP'=

NQ的值最小，根據菱形的性質和勾股定理求出BC長，即可得出答案.

【詳解】解：作M關于8D的對稱點Q,連接NQ,交BD于PL連接MPM

當P點與P'重合時，MP+NP=MP'+NP'=NQ的值最小，

???四邊形力BCD是菱形，

AC1BD,乙QBP=4MBP,

即Q在48上，

VMQ1BD,

???AQIMQ,

M為BC中點,

Q為力B中點，

?：N為CD中點,四邊形ABCD是菱形，

ABQWCD,BQ=CN,

四邊形BQNC是平行四邊形，

:.NQ=BC,

設4。與80的交點為點0,

?.?四邊形力BCD是菱形，

.'.ACA.BD,0。=二力（？=30米，08=230=40米,

BC=y/OB2+OC2=50米，

??.PM+PN的最小值是50米.

故答案為：50.

【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，平行四邊形的性質和判定，菱形的性質，勾股定理的應用，

解此題的關鍵是能根據軸對稱找出P的位置.

2(2021下?河南省直轄縣級單位八年級統考期末)如圖，在直角坐標系中，點4(2,2),C14,4)是第

一象限角平分線上的兩點，點B的縱坐標為2,且=在y軸上取一點。，連接4B,BC,AO,CD,

使得四邊形48C。的周長最小，則這個周長的最小值為一.

【答案】4+2同

【分析】根據點的坐標和平行線的性質得到N/3AC=45。，從而得到N8=90。，得出AC=8C=2,作C關于)，

軸的對稱點C,連接AC交)，軸于則此時，四邊形相C。的周長最小，這個最小周長的值=A/3+4C+AC,

過根據勾股定理即可得到結論.

【詳解】解：???點A(2,2),點8的縱坐標為2,

軸，

???。。是笫一象限的角平分線

/.ZBAC=45°,

VC4=CB,

NAC8=NBAC=45。，

/.ZB=90°,

VC(4,4)

：.B(4,2),

???/W=3C=2,

作C（4,4）關于y軸的對稱點。（-4,4）,

連接AC交），軸于

則此時，四邊形A8C。的周長最小，且CD二C。，

則這個最小周長的值:A8+8C+AC,

VC（-4,4）,4（2,2）

:、AC=V62+22=2V10,

:.四邊形ABCD的最小周長值=AB+BC+ACf=4+2x/10,

故答案為：4+2同

【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，坐標與圖形的性質，勾股定理，解題的關鍵是學會利用軸對稱

解決最短問題.

3.（2022下?廣東湛江?八年級統考期末）如圖，正方形/WCO的邊長為4,點M在DC上，且。M=l,N是

AC上一動點，則ON+MN的最小值為（）

A.4B.4V2C.ZV5D.5

【答案】D

【分析】由正方形的對稱性可知點8與。關于一直線AC對稱，連接BM交ACJ-M,M即為所求在RtABCM

中利用勾股定理即可求出4M的長即可.

【詳解】???四邊形A4c。是正方形，

???點8與。關于直線AC對稱，

:.DN=BN,

連接B。，BM交AC于V,連接0M,

???當B、N、M共線時，DN+MN有最小值,則8M的長即為。W+MN的最小值，

??/C是線段5。的垂直平分線，

又「CO=4,DM=l

：,CM=CD-DM=4-\=3,

在RtABCM中，BM=y/CM2+BC2=V324-42=5

故DN+MN的最小值是5.

故選：D.

【點睛】本題考查的是軸對稱-最能路線問題及正方形的性質，先作出。關于直線AC的對稱點，由軸對稱

及正方形的性質判斷出。的對稱點是點B是解答此題的關鍵.

4.(2022?湖北黃石?統考中考真題)如圖，等邊△/18C中，48=10,點七為高力。上的一動點，以8E為邊作

等近△BEF,連接。戶，CF,則.產R+FO的最小值為.

【答案】30。/30度5V3

【分析】①△力BC與ABE尸為等邊三角形，得到B4=BC,BE=BF,Z.ABE=^CBF,從而證△BAE三4

8CF(S4S),最后得到答案.

②過點。作定直線。r的對稱點G,連CG,證出AOCG為等邊三角形，CF為OG的中垂線，得到FO=FG,

FB+FD=FB+FG>BG,再證△BCG為直角三角形，利用勾股定理求出8G=56，即可得到答案.

【詳解】解：①???△48C為等邊三角形，

=BC,AD1BC,

：.Z-BAE=-^BAC=30°,

2

??ZBE尸是等邊三角形，

?：LEBF=匕ABC=60°,BE=BF,

：.LABE=4ABe-乙EBC=60°-Z-EBC,

乙C3F=乙EB卜'-乙EBC=6U"-LEBC,

：.LABE=乙CBF,

在和△BCF中

（BA=BC

\^ABE=乙CBF

IBE=BF

J.LBAE三/（SHS）,

得，BAE=Z-BCF=30°：

故答案為：30°.

②（將軍飲馬問題）

過點。作定直線C尸的對稱點G,連CG,

???△OCG為等邊三角形，C/為DG的中垂線，FD=FG,

：.FB+FD=FB+FG,

連接BG,

:?FB+FD=FB+FG>BG,

又DG=DC=^BC,

???ABCG為直角三角形，

VFC=10,CG=5,

；?BG=5V3,

???F8+F。的最小值為5次.

故答案為：56.

A

G

【點睛】此題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定及性質，將軍飲馬，線段垂直平分線的判定及

性質，勾股定理等內容，熟練運用將軍飲馬是解題的關鍵，具有較強的綜合性.

5.（2022上?福建莆田?八年級莆田二中校考期末）如圖，在中，^ACB=90°,AC=BC,點C在直

線MN上/8CN=30°,點P為MN上一動點，連接AP,BP.當AP+BP的值最小時，/C8P的度數為度.

【答案】15

【分析】如圖，作8關于MN的對稱點。，連接4P+BP的值最小，則MN交40于P,由軸對

稱易證=/COP,結合=30。證得△?<?￡）是等邊三角形，可得力C=C￡）,結合已知根據等腰三角

形性質可求出乙CDP,即可解決問題.

【詳解】如圖，作8關于MN的對稱點。，連接AD,BD,CD,

???4P+8P的值最小，

則MN交4。于尸，由軸對稱可知：

CB=CD,PB=PD,

???Z.CBD=乙CDB,乙PBD=乙PDB,

:.Z.CBP=乙CDP,

vZ.BCN=30°,

:.乙BCD=2乙BCN=60°,

???△8C0是等邊三角形，

.?AC=BC,

???AC=CD,

???Z.CAD=Z.CDA,

vZ.ACB=90°,乙BCD=60°,

???￡CAD=Z,CDA=1(180°-Z.ACB-乙BCD)=15°,

???Z.CBP=Z-CDP=15°,

故答案為：15.

【點睛】本題考查等邊三角形判定和性質、軸對稱的性質、最短路徑問題、等腰三角形的性質；熟練掌握

相關性質的聯系與運用，會利用最短路徑解決最值問題是解答的關鍵.

6.(2020?全國?九年級專題練習)如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于4(1,0)、8(4,0),與y軸交于點C(0,3),

點。為。C的中點，點仄尸分別為乃軸正半軸和拋物線對稱軸上的動點，連接DE、EF、CF,求四邊形CDE尸周

長最小時點E、F的坐標.

【答案】當四邊形CDEF周長最小時，點￡的坐標《,0),點F的坐標為(J,：).

【分析】作點。關于軸的乂寸稱點D',作點C關于拋物線對稱軸的對稱點L,連接C，。，交對稱軸于點F,交

》軸于點￡求出直線的解析為、二卷》一會進一步可得出結論.

【詳解】如圖，作點。關于工軸的對稱點。'，作點。關于拋物線對稱軸的對稱點U,連接交對稱軸于點

F,交工軸于點E.由對稱知C'F=CF,D'E=DE,

V

此時四邊形COE尸的周長為CO+DE+EF+CF=CD+D'E+EF+C'F=CD+CD'.

二此時四邊形CDEF的周長最小，最小值為CD+CD'.

???4(1,0),8(4,0),

???拋物線對稱軸為直線x=去

C<5,3).

???。為。。的中點，???0(0W).

設直線OD'的解析式為y=kx+b.

5k+b=3\k=—

{公工:解得欠一叱

二直線C。的解析為、=Q—右

令廠0,貝1反=京.?.點E的坐標為住,0).

令x=|,則y=n.??點F的坐標為(I，》

.??當四邊形CDEF周長最小時，點E的坐標0,0)，點F的坐標為G3).

【點睛】此題考查了待定系數法求函數解析式，四邊形與二次函數的結合，線段的和差最值與二次函數的

結合，將不共線的線段轉化為共線為解題關鍵.

7.(2015?貴州貴陽?統考中考真題)如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=4,AD=I2,將矩形紙片折疊，使點

C落在AD邊上的點M處，折痕為PE,此時PD=3.

（2）在AB邊上有一個動點E且不與點A,B重合.當AF等于多少時，^MEF的周長最小？

（3）若點G,Q是AB邊上的兩個動點，且不與點A,B重合，GQ=2.當四邊形MEQG的周長最小時，

求最小周長值.（計算結果保留根號）

【答案】（1）5；（2）與（3）7+5幻.

【分析】（1）由折疊的性質和矩形性質以得PD=PH=3,CD=MH=4,ZH=ZD=90°,利用勾股定理可計算

出MP的長：

（2）如圖1,作點M關于AB的對稱點M：連接M，E交AB于點F,利用兩點之間線段最短可得點F即為

所求，過點E作EN_LAD,垂足為N,貝ijAM二AD-MP-PD=4,所以AM=AM，=4,再證明ME=MP=5,利

用勾股定理計算出MN=3,NMZ=11,得出△AFM's^NEM，，利用相似比即可計算出AF；

（3）如圖2,由（2）知點M，是點M關于AB的對稱點，在EN上截取ER=2,連接M，R交AB于點G,

再過點E作EQ〃RG,交AB于點Q,易得QE=GR,而GM=GM1于是MG+QE=M，R,利用兩點之間線段

最短可得此時MG+EQ最小，于是四邊形MEQG的周長最小，在RtAMRN中，利用勾股定理計算出MfR

得出，從而得到四邊形MEQG的最小周長值.

【詳解】解：（1）???四邊形ABCD為矩形，

/.CD=AB=4,ZD=90°,

???矩形ABCD折疊，使點C落在AD邊上的點M處，折痕為PE,

???PD=PH=3,CD=MH=4,ZH=ZD=90°,

AMP=V32+42=5；

（2）如圖I,作點M關于AB的對稱點MS連接MT交AB于點F,則點F即為所求，過點E作EN1AD,

垂足為N,

VAM=AD-MP-PD=!2-5-3=4,

???AM=AM'=4,

???矩形ABCD折疊，使點C落在AD邊上的點M處，折痕為PE,

，NCEP=NMEP,而NCEP二NMPE,

，NMEP=NMPE,

AME=MP=5,在RtAENM中，MN=VME2-EN2=y/52-42=3,

VAFX/ME,

???△AFM's^NEM',

.AM

??條即務箏

AM

解得AF=||,

即AF三時，△MEF的周長最小;

（3）如圖2,由（2）知點M，是點M關于AB的對稱點，在EN上截取ER=2,連接MR交AB于點G,

再過點E作EQ〃RG,交AB于點Q,

VER=GQ,ER〃GQ,

???四邊形ERGQ是平行四邊形,

，QE=GR,

VGM=GM\

???MG+QE=GM，+GR=M，R,此時MG+EQ最小，四邊形MEQG的周長最小,

在RtAM'RN中，NR=4-2=2,M^Vll2+22=5V5,

VME=5,GQ=2,

???四邊形MEQG的最小周長值是7+5V5.

H

考點：1.幾何變換綜合題；2.動點型；3.最值問題；4.翻折變換（折疊問題）；5.綜合題；6.壓軸題.

8.12022.山東煙臺.統考一模）問題提出：在一平宜河岸/同側有A,B兩個村莊，A,8至心的距離分別是4km

和3km,AB=akm（a>1）,現計劃在河岸/上建一抽水站P,用輸水管向兩個村莊供水.如何鋪設使得管

道長度較短？

方案設計:某班數學興趣小組設計了兩種鋪設管道方案：圖1是方案一的示意圖，設該方案中管道長度為由,

且di=PB+8H(km)(其中BP_U于點。)；圖2是方案二的示意咨圖，設該方案中管道長度為d?，且d?=

P力+PB(km)(其中點H與點A關于/對稱，A8與/交于點P).

⑴在方案一中，心=km(用含。的式子表示)；

(2)在方案二中，組長小宇為了計算為的長，作了如圖3所示的輔助線，請你按小宇同學的思路計算，

d2=km(用含。的式子表示).

(3)①當a=4時,比較大小：豈d2(填或"V")；

②當。=7時，比較大小：由d2(填“>”、"=”或"V")；

(4)請你參考方框中的方法指導，就。(當a>1時)的所有取值情況進行分析，要使鋪設的管道長度較短，

應選擇方案還是方案二？

方法指導

當不易直接比較兩個正數機與〃的大小時，可以對它們的平方進行比較：

Vm2-n2=(m+n)(m-n),m+n>0,

(m2-與(m-n)的符號相同.

當戊2一九2>。時，m_n>o,即m>71；

當加2一九2=0時，w_n=o,即h1二n；

當m2一九2<0時，m-n<Qf即m<7l；

【答案】⑴a+3

(2)Va2+48

(3)?<：?>

(4)見解析

【分析】(1)由題意可以得知管道長度為d尸P5+84(5?),根據于點尸得出尸5=3,故可以得出出

的值為。+3.

(2)由條件根據勾股定理可以求IHK8的值，由軸對稱可以求H4K的值，在心AKBA由勾股定理可以求

出的值不詬就是管道長度.

(3)①把4=4代入d尸a+3和dz川a?十48就可以比較其大小;

②把a=7代入力=〃+3和4=傘阡麗就可以比較其大小；

（4）分類進行討論當力＞力，d產"2,4〈力時就可以分別求出。的范圍，從而確定選擇方案.

【詳解】（1）解：???如圖1,由題意得:d產PB+BA=a+3；

(2)因為5K2=/-1,

A'^=BK2+A'K2=a2-1+72=?2+48,

所以42=夜2+48,

故答案為：Va24-48；

(3)①當。=4時，di=7,4=8,d/d2；

②當a=7時，4=10,d?=回,th>d2X

故答案為：V，>;

(4)dr-d22=(〃+3)2-(Va2+48)2=6a-39.

①當6小39>0,即時，力2以2>(),

???力"2>0，

:.d]>d2；

②當6〃-39=0,即〃二￡時，42-心2=0,

??d]-d2=0.

；"尸d2；

2

③當6a-39V0,即“V4時,dr-d2＜0,

工辦公＜0，

:.d/Vd2

綜上可知：當時，選方案二；

當。當時，選方案一或方案二；

當葭時，選方案一.

【點睛】本題考查了軸對稱的性質的運用，最短路線問題數學模式的運用，勾股定理的運用，數的大小的

比較方法的運用，綜合考查了學生的作圖能力，運用數學知識解決實際問題的能力，以及觀察探究和分類

討論的數學思想方法.

模型三：如圖，將軍同部隊行駛至P處，準備在此駐扎，但有哨兵發現前方為兩河AB、BC的交匯處，為

防止敵軍在對岸埋伏需派偵察兵到河邊觀察，再返回P處向將軍匯報情況，問偵察兵在AB、BC何處偵查

才能最快完成任務并求最短距離.

數學描述：如圖在直線AB、BC上分別找點M、N,使得APMN周長最小.

方法：如右圖，分別作點P關于直線AB、BC的對稱點P，P“，連接PP”,與兩直線的交點即為所求點

M、N,最短距離為線段的長.

【將軍飲馬之模型三專項訓練】

1.(2020.全國?九年級專題練習)如圖，在四邊形4?。。中，ZF=ZD=90°,E,尸分別是。。上的點,

連接4E,AF,EF.

(1)如圖①，AB=AD,￡BAD=120°,Z.EAF=60°.求證：EF=BE+DF；

圖③

(2)如圖②，乙BAD=120°,當周長最小時，求+的度數;

(3)如圖③，若四邊形力BCD為正方形，點E、尸分別在邊8C、CD上，R^EAF=45°,若BE=3,DF=2,

請求出線段"的長度.

【答案】(1)見解析；(2)Z.AEF+LAFE=120°；(3)EF=5.

［分析】（1）延長F0至I］點G,使DG=BE,連接力G,首先證明^ABEADG,則有力E=AG,Z-BAE=^DAG,

然后利用角度之間的關系得出/ENF=乙FAG=60°,進而可證明△EAF6GAF,則EF=FG=DG+DF,

則結論可證；

（2）分別作點A關于BC和CO的對稱點4,A〃，連接44〃，交BC于點E,交CD于點人根據軸對稱的性質

有#E=AE,A"F=AF,當點A、E、F、有在同一條直線上時,AA〃即為△AEF周長的最小值,然后利用

Z-AEF+Z-AFE=/.EA'A+Z.EAA'+Z,FAD+2力〃求解即可；

（3）旋轉△力"至44”的位置，首先證明△PAF=△E",則有EF=",最后利用”=PF=PD+DF=

8E+0F求解即可.

【詳解】（1）證明：如解圖①，延長尸。到點G,使0G=8E,連接力G,

G

在A/18E和△/1DG中，

(AB=ADf

4BE=乙ADG,

(BE=DG,

.-.AABEADG(SAS).

:.AE=AG,乙BAE=乙DAG,

v/.BAD=120°,LEAF=60°,

???/.BAE+LFAD=/-DAG+Z-FAD=60°.

Z.EAF=Z.FAG=60°,

在AEAr和△GA/中，

(AE=AG,

\z.EAF=/-GAF,

(AF=AF,

.-.AEAF=△GAF(SAS).

:.EF=FG=DG+DF,:.EF=BE+DF；

(2)解：如解圖，分別作點A關于BC和CO的對稱點A,8"，連接A4”,交BC于點E,交CO于點F.

由對稱的性質可得4E=AE，AnF=AF,

.?.此時4力E尸的周長為AE+EF+AF=A'E+EF+A'F=A4〃.

???當點4、E、F、4〃在同?條直線上時,AA〃即為周長的最小值.

???Z.DAB=12UZ

A/.AA'E+Z-A"=180°-120°=60°.

???z.EA'A=Z.EAA'.Z-FAD=44〃，/.EA'A+Z.EAA'=Z-AEF,AFAD+Z.A"=ZZ1FF,

:.Z.AEF+/-AFE=Z.EArA+Z,EAA'+4FAD+44〃=2（44力'￡+4力〃）=2X60°=120°；

（3）解：如解圖，旋轉△ABE至NADP的位置,

AZ.PAE=Z,DAE+/.PAD=Z.DAE+乙EAB=90°,

AP=AE,Z.PAF=/.PAE-Z-EAF=90°-45°=45°=Z.EAF.

在AP力尸和i中，

（AP=AE,

4P4F=/.EAF,

IAF=AF,

PAF三△EAF（SAS）.

EF=FP.

EF=PF=PD+DF=BE+DF=3+2=5.

【點睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質，軸對稱的性質，掌握全等三角形的判定及性質是解題的

關鍵.

2.（2019下?河南南陽?七年級統考期末）（1）【問題解決】已知點P在乙4。8內，過點P分別作關于。/1、。8的

對稱點Pi、P2.

①如圖I,若乙AOB=25。，請直接寫出NP10P2=；

②如圖2,連接HP?分別交。力、0B于C、0,若乙。P。=98°,求乙/1。8的度數；

③在②的條件下，若乙CPD=a度（90<aV180）,請直接寫出41。8=度（用含a的代數式表示）.

（2）【拓展延伸】利用“有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形”這個結論，解答問題：如圖3,在ZL4BC

中，Z.BAC=30。，點P是zL48c內部一定點，AP=8,點E、尸分別在邊48、力C上，請你在圖3中畫出使dP"

周長最小的點E、F的位置（不寫畫法），并直接寫出ZJPEF周長的最小值.

【答案】（I）【問題解決】①50°；②NA08=41°；③4力。8=90°-：由（2）【拓展延伸】如圖，見解析；

4PE/周長最小值為8.

【分析】（1）①連接OP,由點P關于直線OA的對稱點Pi，點P關于直線OB的對稱點P2,可得NP04=

乙匕。力，乙POB=Z.P2OBt再由/匕。。2=4P04+Z-P^A+^POB+Z,P2OB=2（APOA+^POB）=2Z.AOB,

即可求得NAOB的度數；②由乙CPD=98。，根據三角形的內角和定理可得41+△2=82。；由軸對稱的性

質得，乙P]=乙3,乙P2=乙4,再由三角形外角的性質可得乙2=乙01+△3=243,Z.1=+乙4=244,

所以43+乙4二/乙1+42）=41°,即可求得乙MPN=139°；由軸對稱的性質可得4PM0=Z.PNO=90°,

由四邊形的內角和為360。即可求得440B=41°：③類比②的方法即可解答；（2）作點P關于邊AB的對

稱點Pi，再作點P關于邊AC的對稱點P2,連結匕P2,分別交AB、AC于點E、F,此時4PEF的周長最

小，最小為RP2的長，由①的方法求得NP[AP2=60。，P[A=P2A,再由“有一個角是60。的等腰三角形是等邊

三角形”即可判定^RAP?是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可得匕P2=AP=8,由此即可得/PE尸周長最

小值為8.

【詳解】（1）①連接OP,

p.\

o

圖1P?

???點p關于直線OA的對稱點P1，點P關于直線OB的對稱點P2,

Z.POA=z.P1OA,Z.POB=Z-P2OB,

：,z.P1OP2=/.POA+^OA+Z.POB+Z.P2OB=2(4P04+4POB)=2Z.AOB=50°,

故答案為50。；

②如圖2,

?:乙CPD=98°,

?"1+42=82°,

乙

由軸對稱的性質得，P]=43,zP2=44,

Vz2=々P]4-z.3=2z3,zl=zP2+44=2/4,

/.z3+z4=1(zl+z2)=41o,

工乙MPN=Z3+Z-CPD+Z4=98°+41°=139°,

由軸對稱的性質得，乙PMO=乙PNO=90。，

：.LAOB=360°-Z,PMO-Z.PN0-乙MPN=41°；

③"OB=90°-1a.

如圖2,

■:乙CPD=a,

Azi+Z2=180°-a,

由軸對稱的性質得，乙Pi=43,zP2=Z4,

Vz2=乙Pi+43=243,zl=LP2+z4=244,

???z3+z4=1(zl+z2)=i(1800-a),

:,乙MPN=Z3+乙CPD4-Z4="180°-a)+a=90°+1a，

由軸對稱的性質得，Z-PMO=^-PNO=90°,

：.LAOB=360°-Z-PMO-"NO-乙MPN=360。-90。-90°-(90。+|a)=90°-|a；

故答案為NAOB=90。-ga；

(2)如圖所示，4PEF的周長最小，周長最小值為8.

①畫點P關于邊AB的對稱點尸1，

②畫點P關于邊AC的對稱點尸2，

③連結Pi。2，分別交AB、AC于點E、F,

此時4PEF的周長最小，周長最小值為8.

【點睛】本題考查了軸對稱作圖及最短路徑問題，熟練線段垂直平分線的性質是解決本題的關鍵，解題時

注意數形結合思想的應用.

3.（2021上?江蘇南京?九年級校聯考期中）如圖，在四邊形ABCD中，NBCZ）=50。，ZB=ZD=90°,在

BC、CO上分別取一點“、N,使AAMN的周長最小，則NM4N=。.

A

----------------------------------------Q

【答案】80

【分析】作點A關于AC、CD的對稱點A/、4,根據釉對稱確定最短路線問題，連接4、A2分別交BC、

DC于點M、M利用三角形的內角和定理列式求出NA/+/A2,再根據軸對稱的性質和角的和差關系即可得

NMAN.

【詳解】如圖，作點A關于8C、C。的對稱點A/、A2,連接A/、A2分別交AC、DC于點、M、N,連接AM、

AN,則此時△AMN的周長最小，

VZ5CD=50°,ZB=ZD=90°,

???NBAO=36(T-90°-90°-50°=130°,

AZ4/+Z^2=180°-130°=50’，

???點A關于8C、CO的對稱點為4八A2,

：.NA=NA2,MA=MAh

/.ZA2=ZNAD,NA/=NM4B,

???NNAQ+NMA3=NA/+N42=5O°，

:?/MAN=NBAD-JNAD\/MAB)

=130°-50°

=80。,

故答案為：80.

【點睛】本題考查了軸對稱的最短路徑問題，利用軸對稱將三角形周長問題轉化為兩點間線段最短問題是

解決本題的關鍵.

模型四如圖，深夜為防止敵軍在對岸埋伏，將軍又派一隊偵察兵到河邊觀察，并叮囑觀察之后先去存糧位

置點Q處查看再返回P處向將軍匯報情況，問偵察在AB、BC何處偵查才能最快完成任務并求最短距離.

方法：如右圖，分別作點P、點Q關于直線AB、BC的對稱點P，Q\連接P，Q二與兩直線的交點即為所

求點M、N,最短距離為線段（PQ+P'Q'）的長.

【將軍飲馬之模型四專項訓練】

I.（2021.全國.九年級專題練習）如圖，點4（小3）、B（b,I）都在雙曲線）=：上，點C、。分別是x,y

軸上的動點，則四邊形A8C。的局長最小值為

【詳解】思路引領：先把人點和B點的坐標代入反比例函數解析式中，求出〃與力的值，確定出A與8坐

標，再作A點關于），軸的對稱點P,4點關于x軸的對稱點Q,根據對稱的性質得到。點坐標為（-1,3）,

。點坐標為（3,-1）,0Q分別交x軸、y軸于。點、。點，根據兩點之間線段最短，此時四邊形布8Q的

周長最小，然后利用兩點間的距離公式求解可得.

答案詳解：分別把點力（小3）、8（〃，1）代入雙曲線y=%導：。=1,b=3,

則點A的坐標為（1,3）、4點坐標為（3,1）,

如圖，作A點關于y軸的對稱點P，3點關于x軸的對稱點Q,

則點P坐標為（-I,3）,Q點坐標為（3,-1）,

連接尸Q分別交x軸、丁軸于。點、。點，此時四邊形44co的周長最小，

四邊形A8C。周長=Q4+OC+a+A8

=DP+DC+CQ+AB

=PQ+AB

二《（一1-3產+（3+1尸+J（1-3》+（3-

=472+2V2

=6&,

故答案為：6企.

2.（2023下?陜西西安?七年級高新一中校考階段練習）如圖，正方形718。。中，點G是邊上一定點，點E、

尸、〃分別是邊A。、AB.CD上的動點,若CG=；8c=1,貝ij四邊形EFG”的周長最小時GW=____

4

【答案】372

【分析】如圖，作點G關于CD的充稱點Gi，作點Gi關于AD的對稱點G2,作點G關于48的對稱點G3,連接G2G3

交48「點尸，交力。丁點E,連接EG】，交CD『點"，連接，G、FG,四邊形EFGH的周長最小，求出此時GF即

可.

【詳解】解：如圖，作點G關于C0的對稱點Gi，作點Gi關于AD的對稱點G2,作點G關于45的對稱點G3,

連接G2G3交力8于點匕交力。于點E,連接EG】，交CD于點H,連接HG、FG,四邊形EFGH的周長最小，

由對■稱的性質知，GH=GiH,

：.HG+EH=GXH+EH>EG^當E、H、G1三點共線時"G+EH=EGi值最小；

同理可得：GH+EH+EF+FG>G2G3,當G2、E、F、G3四點點共線時G，+EH+E尸+FG=G2G3值最

小；

-：CG=\BC=1,正方形48C0是正方形；

4

:.BC=CD=4,AD||BC,乙BCD=90°

由對稱的性質知，CGi=CG=1,BG3=8G=3,G1G3=2BC=8,GXG2=2CD=8,/-G3GXG2=90°,

/.ZG3=ZG2=45°,

*：FG=FG3,

???△FGG3是等腰直角三角形，

：,BF=BG=^GG3=3.

：.CF=\/BF2+BG2=辦+32=3>/2

故答案為：3A/2.

【點睛】本題考查了軸對稱的性質，正方形性質，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理等知識，利用

作軸對稱圖形解決最值問題是解題關鍵.

3.12023上?黑龍江大慶?九年級校考期中)如圖，以矩形CMBC的頂點。為原點，。4所在的直線為x軸，OC所

在的直線為y軸，建立平面直角坐標系.已知。4=3,OC=2,點E是AB的中點，在。4上取一點D,將^BDA

沿BO翻折，使點4落在BC邊上的點尸處.

(1)直接寫出點E、F的坐標:

(2)連接E尸交3D于點G,求1的面積.

(3)在％軸、y軸上是否分別存在點M、N,使得四邊形MNFE的周長最小？如果存在，求出周長的最小值和直

線MN的函數解析式；如果不存在，請說明理由.

【答案】⑴E(3,1)：F(1,2)

(2)A8GE的面積為彳

(3)在=軸、y軸上存在點M、M使得四邊形M/V”七.的周長最小；

四邊形MNFE的周長最小為5+代；直線MN的函數解析式：y=--X+-

44

【分析】(I)根據04=3,0C=2,點E是力8的中點，即可得到點E的坐標；利用折疊性質可得8F=8/1=2,

CF=1,即可得到點尸的坐標；

(2)利用折疊性質可以得到48=AD=BF=DF=2,DF||BE,從而得到^DFG-△BEG,-=—=

EGBE1

利用比例性質可以得到箓=利用同高可以得到要吐=7,根據，BEF=1即可求出AUG，?的面積：

(3)如圖，作點E關于％軸的對稱點為E',點尸關于y