三角函數及解直角三角形知識點《三角函數及解直角三角形》1(三角函數定義:如圖Rt?ABC中，?C,90?，A的對邊asinA,sinA,正弦:;c斜邊b，A的鄰邊cosA,cosA,余弦:;斜邊ca，A的對邊tanA,tanA,正切:;，A的鄰邊b根據定義，寫出?B的三個三角函數值sinB,cosB,tanB,___________;____________;_______________;BcaACb2(三角函數之間關系1)同角三角函數關系(sinA22tanA,;sinA，cosA,1cosA22tanB,模仿寫出:____________;sinB，cosB,1(2)互余角三角函數關系(A，B,90)sinA,cosBcosA,sinB;一個角的正弦等于它余角的余弦;一個角的余弦等于它的余角的正弦3(特殊角的三角函數值0?、30?、45?、60?、90?三角函數30?45?60?sin,cos,tan,4(會設計并根據三角函數關系計算15?、75?角的三角函數BDCA5(根據表格中數據總結正弦、余弦、正切的增減性當0???90?時，,sin隨的增大而_______;cos隨的增大而_______;tan隨的增大而_______,,,,,,6(已知一個三角函數值，求其他三角函數值。(根據三角函數關系)2例題:sinA,，求cosA、tanA5注意:(1)正弦、余弦、正切、都是在直角三角形中給出的，要避免應用時對任意的三角形隨便套用定義;(2),,,,不是,,,與,的乘積，是三角形函數記號，是一個整體。“,,,,”表示一個比值，其他三個三角函數記號也是一樣的;(3)銳角三角函數值與三角形三邊長短無關，只與銳角的大小有關。(4)當,??α?,,?時，,?,,,α?,，,?;,,α?,。(解直角三角形的定義及應用7(1)仰角:視線在水平線上方的角;俯角:視線在水平線下方的角。視線鉛垂線水平線仰角俯角視線hhl(2)坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即。坡度一i,l1:mi,1:5般寫成的形式，如等。把坡面與水平面的夾角記作(叫做坡角)，那么,h。i,,tan,l(3)指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90?的水平角，叫做方向角。如圖,OA、、OC、OD的方向角分別是:北偏東45?(東北方向)，南偏東45?(東南方向)，OB南偏西45?(西南方向)，北偏西45?(西北方向)。(4)解非直角三角形的方法對于非直角三角形，往往要通過作輔助線構造直角三角形來解，作輔助線的一般思路是:作垂線構成直角三角形;利用圖形本身的性質，如等腰三角形頂角平分線垂直于底邊。(5)解直角三角形的實際應用的步驟審題?分析題意，理解實際問題的意義，看懂題目給出的示意圖或自己畫出的示意圖，找出要解的直角三角形;?把實際問題中的數量關系，轉移到直角三角形的各元素上，找出已知元素和未知元素;?根據已知元素和未知元素之間的關系，選擇合適的三角函數關系式。解題注意精確度答注意答的完整及注明單位(6)解斜三角形所根據的定理(在?ABC中)abc,,正弦定理:,2R.(R是?ABC外接圓半徑).sinAsinBsinC222222222余弦定理:c,a，b,2abcosC;b,c，a,2cacosB;a,c，b,2bccosA.如圖，在?ABC中，證明上面公式中的一個即可CBA111S,absinC,bcsinA,acsinB三角形的三角函數計算面積:,ABC222在下面圖形中證明上面面積公式中的一個即可CBA(7)解直角三角形應用常見基本圖形AA26322145?30?45?60?CBB1CD313DA22130?45?BC1D-13AA632323260?45?60?30?BC1DB213-1CD例題講解例題1:計算210-1(1)sin45?，sin60?,2cos45?;(2)(1，)-,1-sin30?,1，();22211-30(3)sin60?，;(4)2,(，π),cos60?,.20031,tan60:1,25例題2:已知sinα+cosα=，求sinα?cosα的值43例題3:α為銳角，若sinα,,求α的范圍23α為銳角，若cosα,,求α的范圍2例題4:已知45?,α,90?,化簡1,2sin,cos,,例題5:如圖所示，A、B兩城市相距100km.現計劃在這兩座城市間修筑一條高速公路(即?和B城市的北偏西45?的方向線段AB)，經測量，森林保護中心P在A城市的北偏東30上.已知森林保護區的范圍在以P點為圓心，50km為半徑的圓形區域內.請問:計劃修筑的這條高速公路會不會穿越保護區.為什么,(結果保留根號)例題6:如圖，AB，DC分別表示甲、乙兩建筑物的高，AB?BC，DC?BC，從點B測得點D的仰角α為60?，從點A測得點D的仰角β為30?，已知甲建筑物高AB,36m。1)求乙建筑物的高DC;((2)求甲、乙兩建筑物之間的距離BC(結果保留根號)。例題7:如圖，點E是矩形ABCD中CD邊上一點，?BCE沿BE折疊為?BFE,點F落在AD上.(1)求證:?ABE??DFE12)若sin?DFE,，求tan?EBC的值.(3FDAECB,例題8:已知:四邊形ABCD中，?A,60，CB?AB，CD?AD，CB,2，CD,1.求:AC的長.DCAB例題9:已知:如圖，要測量山AB的高，在和B同一直線上的C，D處,分別測得對A的仰角的度數為n和m，CD,a.試寫出表示AB的算式.,例題10:已知:?ABC中，?A,45，AB,6，BC,2，求AC及?ACB.(福建省初中數學聯賽題)12例題11:已知:二次方程mx,(m,2)x，(m,1),0兩個不相等的實數根，恰好是直角4三角形兩個銳角的正弦值.求:這個直角三角形的斜邊與斜邊上的高的比.練習試題321(如圖，?ABC中，cosB,，sinC,，則?ABC的面積是【】5221A(B(12C(14D(2122(如圖所示，河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是1:3，堤高BC=5m，則坡面AB的長度是【】33A(10mB(10mC(15mD(5m23(如果?ABC中，sinA,cosB,，則下列最確切的結論是【】2A.?ABC是直角三角形B.?ABC是等腰三角形C.?ABC是等腰直角三角形D.?ABC是銳角三角形sinB4(在?ABC中，?A,120?，AB,4，AC,2，則的值是【】5732121A(B(C(D(145714ABCDMMCD5(如圖，是一張寬的矩形臺球桌，一球從點(點在長邊上)出發沿mMNBCABMCn,，,CMN,PP虛線射向邊，然后反彈到邊上的點.如果，.那么點B與點的距離為.AAC6(在一次夏令營活動中，小明同學從營地出發，要到地的北偏東60?方向的處，BC他先沿正東方向走了200m到達地，再沿北偏東30?方向走，恰能到達目的地(如圖)，BC、那么，由此可知，兩地相距m.7(如圖，以O為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線OM交于點A，再以A為圓心，AO長為半徑畫弧，兩弧交于點B，畫射線OB，則cos?AOB的值等于_________(58(如圖,在Rt?ABC中，?ACB=90?,CD?AB,垂足為D.若AC=,BC=2,則sin?ACD的值為【】25255A.B.C.D.33529(如圖