2023八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊第二章實(shí)數(shù)1認(rèn)識(shí)無理數(shù)教學(xué)實(shí)錄（新版）北師大版授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)授課班級(jí)授課人數(shù)授課地點(diǎn)授課時(shí)間設(shè)計(jì)思路本節(jié)課以“認(rèn)識(shí)無理數(shù)”為主題，通過復(fù)習(xí)有理數(shù)和實(shí)數(shù)的概念，引導(dǎo)學(xué)生理解無理數(shù)的定義和性質(zhì)。課程設(shè)計(jì)注重理論與實(shí)踐相結(jié)合，通過實(shí)例分析和課堂互動(dòng)，幫助學(xué)生掌握無理數(shù)的表示方法，并能夠進(jìn)行簡單的無理數(shù)運(yùn)算。教學(xué)過程中，注重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力，通過無理數(shù)的概念引入，讓學(xué)生理解數(shù)系的連續(xù)性和完備性。發(fā)展邏輯推理能力，通過無理數(shù)與有理數(shù)的比較，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用演繹推理來探究無理數(shù)的性質(zhì)。提升數(shù)學(xué)建模能力，通過實(shí)際問題中的無理數(shù)應(yīng)用，使學(xué)生學(xué)會(huì)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。增強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，通過無理數(shù)的運(yùn)算練習(xí)，提高學(xué)生的計(jì)算技巧和準(zhǔn)確性。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)，

①理解無理數(shù)的概念，能夠區(qū)分無理數(shù)和有理數(shù)；

②掌握無理數(shù)的表示方法，包括開方開不盡的數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)；

③熟悉無理數(shù)的性質(zhì)，如無理數(shù)的平方根、立方根等。

2.教學(xué)難點(diǎn)，

①理解無理數(shù)的產(chǎn)生背景和意義，幫助學(xué)生建立數(shù)系觀念；

②無理數(shù)與有理數(shù)的運(yùn)算，特別是無理數(shù)乘除法的計(jì)算技巧；

③無理數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為無理數(shù)問題進(jìn)行解決。教學(xué)資源-軟硬件資源：多媒體教學(xué)設(shè)備（投影儀、計(jì)算機(jī)）、實(shí)物教具（如圓、直尺、三角板等）

-課程平臺(tái)：學(xué)校內(nèi)部教學(xué)網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)

-信息化資源：無理數(shù)相關(guān)的教學(xué)課件、視頻講解、在線練習(xí)題庫

-教學(xué)手段：課堂板書、小組討論、實(shí)際問題解決案例分享教學(xué)過程一、導(dǎo)入新課

（1）同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了有理數(shù)和實(shí)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，今天我們來認(rèn)識(shí)一個(gè)新的概念——無理數(shù)。

（2）首先，請大家回顧一下有理數(shù)和實(shí)數(shù)的概念，思考一下它們之間的關(guān)系。

二、新課講授

（1）引入無理數(shù)的概念

-同學(xué)們，我們知道實(shí)數(shù)包括有理數(shù)和無理數(shù)。那么，什么是無理數(shù)呢？請同學(xué)們結(jié)合自己的理解，用簡單的語言描述一下。

-學(xué)生回答后，教師總結(jié)：無理數(shù)是不能表示為兩個(gè)整數(shù)比的數(shù)，也就是無限不循環(huán)小數(shù)。

-示例：根號(hào)2（√2）是無理數(shù)，因?yàn)樗菬o限不循環(huán)小數(shù)。

（2）無理數(shù)的表示方法

-我們可以通過開方來表示無理數(shù)。例如，√2是一個(gè)無理數(shù)，它是根號(hào)下的2的開方。

-同學(xué)們，請嘗試用開方的方法表示出以下無理數(shù)：√3、√5、√7。

-學(xué)生嘗試后，教師講解：根號(hào)下的數(shù)越大，無理數(shù)的位數(shù)就越多，計(jì)算時(shí)要注意精度。

（3）無理數(shù)的性質(zhì)

-無理數(shù)有哪些性質(zhì)呢？請同學(xué)們分組討論，并嘗試總結(jié)出無理數(shù)的性質(zhì)。

-學(xué)生分組討論后，教師總結(jié)：無理數(shù)不能表示為有限小數(shù)或循環(huán)小數(shù)；無理數(shù)的平方和立方根也是無理數(shù)；無理數(shù)與有理數(shù)相乘或相除的結(jié)果可能是無理數(shù)或有理數(shù)。

-示例：√2×√2=2（有理數(shù)），√2÷√2=1（有理數(shù)），√2+√2=2√2（無理數(shù)）。

（4）無理數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用

-同學(xué)們，我們剛才學(xué)習(xí)了無理數(shù)的性質(zhì)，那么無理數(shù)在實(shí)際問題中有什么應(yīng)用呢？請舉例說明。

-學(xué)生舉例后，教師講解：無理數(shù)在幾何學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。例如，圓的周長和直徑的比例π就是一個(gè)無理數(shù)，它揭示了圓的性質(zhì)。

三、課堂練習(xí)

（1）請同學(xué)們完成以下練習(xí)題，并嘗試用無理數(shù)的概念和性質(zhì)來解答。

-練習(xí)題1：計(jì)算√18+√2的值。

-練習(xí)題2：判斷以下數(shù)是否為無理數(shù)：1/3、√8、π/2。

-練習(xí)題3：求下列無理數(shù)的平方：√5、√7。

四、課堂總結(jié)

（1）同學(xué)們，今天我們學(xué)習(xí)了無理數(shù)的概念、表示方法和性質(zhì)，以及無理數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

（2）請同學(xué)們總結(jié)一下，今天我們學(xué)到了哪些重點(diǎn)內(nèi)容？

-學(xué)生總結(jié)后，教師補(bǔ)充：重點(diǎn)內(nèi)容包括無理數(shù)的概念、表示方法、性質(zhì)和應(yīng)用。

五、課后作業(yè)

（1）請同學(xué)們完成以下課后作業(yè)，鞏固今天所學(xué)知識(shí)。

-課后作業(yè)1：閱讀課本第二章“實(shí)數(shù)1”的相關(guān)內(nèi)容，加深對(duì)無理數(shù)的理解。

-課后作業(yè)2：收集生活中與無理數(shù)相關(guān)的實(shí)例，并進(jìn)行分析。

-課后作業(yè)3：完成課本第二章“實(shí)數(shù)1”的習(xí)題，鞏固所學(xué)知識(shí)。

六、教學(xué)反思

（1）本節(jié)課通過實(shí)例講解、課堂練習(xí)和課后作業(yè)，使學(xué)生掌握了無理數(shù)的概念、表示方法和性質(zhì)。

（2）在教學(xué)過程中，注重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，提高學(xué)生的計(jì)算技巧和準(zhǔn)確性。

（3）針對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，教師適時(shí)進(jìn)行講解和輔導(dǎo)，確保每個(gè)學(xué)生都能跟上教學(xué)進(jìn)度。

（4）課后，教師將收集學(xué)生的作業(yè)，針對(duì)存在的問題進(jìn)行個(gè)別輔導(dǎo)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。拓展與延伸1.提供與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的拓展閱讀材料：

-《數(shù)學(xué)之美》：這本書以通俗易懂的語言介紹了數(shù)學(xué)的基本概念和原理，包括無理數(shù)的起源和發(fā)展，適合對(duì)數(shù)學(xué)有興趣的學(xué)生閱讀。

-《幾何原本》：歐幾里得的《幾何原本》是歷史上最早系統(tǒng)的幾何學(xué)著作，其中包含了對(duì)無理數(shù)的初步探討，對(duì)于希望深入了解數(shù)學(xué)史的學(xué)生來說是一本好書。

-《π的故事》：這本書講述了π的歷史、性質(zhì)和應(yīng)用，特別是π作為無理數(shù)的特性，對(duì)于激發(fā)學(xué)生對(duì)無理數(shù)興趣的學(xué)生來說非常合適。

2.鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行課后自主學(xué)習(xí)和探究：

-學(xué)生可以嘗試自己證明一些無理數(shù)的性質(zhì)，比如證明√2+√3是無理數(shù)。

-探究無理數(shù)在數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用，例如在幾何學(xué)中的圓周率π，在物理學(xué)中的自然常數(shù)e，以及在天文學(xué)中的應(yīng)用。

-通過數(shù)學(xué)軟件（如Geogebra、MATLAB等）繪制無理數(shù)的圖形，比如繪制√2的近似圖形，觀察其無限不循環(huán)的特性。

-研究無理數(shù)在金融數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，例如在計(jì)算復(fù)利時(shí)的連續(xù)復(fù)利公式e^(rt)中，e是一個(gè)無理數(shù)。

-分析無理數(shù)在日常生活問題中的應(yīng)用，比如如何估算無理數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際長度或面積。

-學(xué)生可以組成小組，選擇一個(gè)與無理數(shù)相關(guān)的課題，進(jìn)行深入的研究和討論，最后以報(bào)告或演示的形式展示研究成果。內(nèi)容邏輯關(guān)系①無理數(shù)的概念

①無理數(shù)的定義：不能表示為兩個(gè)整數(shù)比的數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù)。

②無理數(shù)的表示方法：通過開方、無限不循環(huán)小數(shù)等表示。

③無理數(shù)的性質(zhì)：不能表示為有限小數(shù)或循環(huán)小數(shù)；無理數(shù)的平方和立方根也是無理數(shù)；無理數(shù)與有理數(shù)相乘或相除的結(jié)果可能是無理數(shù)或有理數(shù)。

②無理數(shù)的運(yùn)算

①無理數(shù)乘法：無理數(shù)乘以有理數(shù)或無理數(shù)的結(jié)果可能是無理數(shù)或有理數(shù)。

②無理數(shù)除法：無理數(shù)除以有理數(shù)或無理數(shù)的結(jié)果可能是無理數(shù)或有理數(shù)。

③無理數(shù)加減法：無理數(shù)加減無理數(shù)的結(jié)果是無理數(shù)。

③無理數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用

①圓周率π的應(yīng)用：在幾何學(xué)中，圓的周長和直徑的比例π是一個(gè)無理數(shù)。

②自然常數(shù)e的應(yīng)用：在物理學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)中，自然常數(shù)e是一個(gè)重要的無理數(shù)。

③無理數(shù)在日常生活問題中的應(yīng)用：如估算無理數(shù)的實(shí)際長度或面積。課堂1.課堂評(píng)價(jià)：

（1）提問評(píng)價(jià)：

-通過提問的方式，了解學(xué)生對(duì)無理數(shù)概念的理解程度。例如，提出問題：“什么是無理數(shù)？請舉例說明。”通過學(xué)生的回答，判斷其對(duì)無理數(shù)定義的掌握情況。

-在講解無理數(shù)的性質(zhì)時(shí)，提出問題：“無理數(shù)與有理數(shù)相乘或相除的結(jié)果可能是什么？”通過學(xué)生的回答，了解其對(duì)無理數(shù)性質(zhì)的理解程度。

（2）觀察評(píng)價(jià)：

-觀察學(xué)生在課堂上的參與度，如是否積極舉手發(fā)言、是否能準(zhǔn)確回答問題等，了解學(xué)生的課堂表現(xiàn)。

-觀察學(xué)生在課堂練習(xí)中的表現(xiàn)，如是否能夠熟練運(yùn)用無理數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，了解學(xué)生的實(shí)際操作能力。

（3）測試評(píng)價(jià)：

-設(shè)計(jì)針對(duì)性的測試題，如選擇題、填空題、計(jì)算題等，對(duì)學(xué)生的知識(shí)掌握情況進(jìn)行評(píng)估。

-在課后進(jìn)行小測驗(yàn)，檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)無理數(shù)概念、性質(zhì)和運(yùn)算的掌握程度。

2.作業(yè)評(píng)價(jià)：

（1）作業(yè)批改：

-對(duì)學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行認(rèn)真批改，確保作業(yè)的正確性和完整性。

-對(duì)于作業(yè)中的錯(cuò)誤，及時(shí)指出并給予糾正，幫助學(xué)生掌握正確的解題方法。

（2）作業(yè)點(diǎn)評(píng)：

-對(duì)學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，肯定其優(yōu)點(diǎn)，指出不足之處，并提出改進(jìn)建議。

-鼓勵(lì)學(xué)生在作業(yè)中發(fā)揮創(chuàng)意，提出不同的解題思路。

（3）作業(yè)反饋：

-及時(shí)反饋學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，讓學(xué)生了解自己的進(jìn)步和不足。

-對(duì)于學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生，給予個(gè)別輔導(dǎo)，幫助他們克服學(xué)習(xí)障礙。

（4）作業(yè)展示：

-定期展示學(xué)生的優(yōu)秀作業(yè)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和競爭意識(shí)。

-邀請學(xué)生分享自己的解題思路和方法，促進(jìn)學(xué)生的共同進(jìn)步。課后作業(yè)1.作業(yè)題目：請計(jì)算以下無理數(shù)的平方根。

-√18

-√27

-√50

-答案：√18=3√2，√27=3√3，√50=5√2

2.作業(yè)題目：判斷以下數(shù)是否為無理數(shù)。

-1/3

-√8

-2.424242...

-答案：1/3是有理數(shù)，√8是無理數(shù)，2.424242...是有理數(shù)（因?yàn)樗且粋€(gè)循環(huán)小數(shù)）

3.作業(yè)題目：請將以下無理數(shù)表示為分?jǐn)?shù)形式。

-√3/2

-√5/3

-答案：√3/2不能表示為分?jǐn)?shù)形式，因?yàn)樗且粋€(gè)無理數(shù)；√5/3也不能表示為分?jǐn)?shù)形式，同樣是一個(gè)無理數(shù)

4.作業(yè)題目：計(jì)算以下無理數(shù)乘法。

-√2×√3

-√5×√10

-答案：√2×√3=√6，√5×√10=√50=5√2

5.作業(yè)題目：計(jì)算以下無理數(shù)除法。

-√3÷√2

-√6÷√3

-答案：√3÷√2=√6/2，√6÷√3=√2

6.作業(yè)題目：請將以下無理數(shù)加減法的結(jié)果化簡。

-√2+√3

-√5-√10

-答案：√2+√3不能化簡，因?yàn)樗菬o理數(shù)；√5-√10不能化簡，因?yàn)樗彩菬o理數(shù)

7.作業(yè)題目：請將以下無理數(shù)表示為小數(shù)，并說明它們是無限不循環(huán)小數(shù)還是無限循環(huán)小數(shù)。

-√2

-√10

-答案：√2是無限不循環(huán)小數(shù)，因?yàn)樗荒鼙硎緸橛邢扌?shù)或循環(huán)小數(shù)；√10也是無限不循環(huán)小數(shù)，同樣不能表示為有限小數(shù)或循環(huán)小數(shù)

8.作業(yè)題目：請證明以下無理數(shù)加法的結(jié)果是無理數(shù)。

-√2+√3

-答案：假設(shè)√2+√3是有理數(shù)，那么可以表示為a/