初高中數學銜接教材

編者的話

高中數學難學，難就難在初中教材與高中教材之間剃度過大，因此我們要認真搞好初高

中數學教學的銜接，使初高中的數學教學具有連續性和統一性。

現有初高中數學教材存在以下“脫節”：

1、絕對值型方程和不等式，初中沒有講，高中沒有專門的內容卻在使用；

2、立方和與差的公式在初中已經刪去不訓、而高中還在使用；

3、因式分解中，初中主要是限于二次項系數為1的二次三項式的分解，對系數不為1的

涉及不多，而且對三次或高次多項式的分解幾乎不作要求；高中教材中許多化簡求值都要用

到它，如解方程、不等式等；

4、二次根式中對分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中數學中函

數、不等式常用的解題技巧；

5初中教材對二次函數的要求較低，學生處于了解水平。而高中則是貫穿整個數學教材

的始終的重要內容；配方、作簡圖、求值域（取值范圍）、解二次不等式、判斷單調區間、求

最大最小值、研究閉區間上的函數最值等等是高中數學所必須掌握的基本題型和常用方法；

6、二次函數、二次不等式與二次方程之間的聯系，根與系數的關系（韋達定理）初中不

作要求，此類題目僅限于簡單的常規運算，和難度不大的應用題，而在高中數學中，它們的

相互轉化屢屢頻繁，且教材沒有專門講授，因此也脫節；

7、圖像的對稱、平移變換初中只作簡單介紹，而在高中講授函數時，則作為必備的基本

知識要領；

8、含有參數的函數、方程、不等式初中只是定量介紹了解，高中則作為重點，并無專題

內容在教材中出現，是高考必須考的綜合題型之一；

9、幾何中很多概念（如三角形的四心：重心、內心、外心、垂心）和定理（平行線等分

線段定理、平行線分線段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已經刪除，大都沒

有去學習；

1（）、圓中四點共圓的性質和判定初中沒有學習。高中則在使用。

另外，象配方法、換元法、待定系數法、雙十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化,

甚至老師根本沒有去延伸發掘，不利于高中數學的學習。

高一數學相對于初中數學而言，邏輯推理強，抽象程度高，知識難度大。初中畢業生以

較高的數學成績升入高中后，不適應高中數學教學，學習成績大幅度下降，出現了嚴重的兩

極分化，心理失落感很大，過去的尖子生可能變為學習后進生，甚至，少數學生對學習失去

了信心。初中數學教學內容作了較大程度的壓縮、上調，中考難度的下調、新課程的實驗和

新教材的教學，使高中數學在教材內容以及高考中都對學生的能力提出了更高的要求，使得

原來的矛盾更加突出。高中教材從知識內容上整體數量較初中劇增；在知識的呈現、過程和

聯系上注重邏輯性，旦數學語言抽象程度發生了突變，教材敘述比較嚴謹、規范而抽象。知

識難度加大，且習題類型多，解題技巧靈活多變，計算繁冗復雜，體現了“起點高、難度大、

容量多”的特點。其次，初中難度降低，有中考試卷的難度降低作保障；而高中由于受高考

的限制，教師都不敢降低難度，造成了高中數學實際難度并沒有降低。

因此，從一定意義上講，調整后的教材不僅沒有縮小初高中教材內容的難度差距，反而

加大了。如現行初中數學教材在內容上進行了較大幅度的調整，難度、深度和廣度大大降低

了，那些在高中學習中經常應用到的知識，如十字相乘法、分組分解法等內容，都轉移到高

一階段補充學習。這樣初中教材就體現了“淺、少、易”的特點，但卻加重了高一數學的份

量。在初中，教師講得細，類型歸納得全，練得熟，考試時，學生只要記準概念、公式及教

師所講例題類型，一般均可對號入座取得中考好成績。而高考要求則不同，有的高中教師往

往用高三復習時應達到的類型和難度來對待高一教學，造成了輕過程、輕概念理解、重題量

的情形，造成初、高中教師教學方法上的巨大差異，中間乂缺乏過渡過程，至使新生普遍適

應不了高中教師的教學方法。

高中許多知識僅憑課堂上聽懂是遠遠不夠的，還需要認真消化。這就要求學生具有較強

的閱讀分析能力和自學理解能力。因此，在初、高中數學教學銜接中，教師要有意識地指導

學生閱讀數學課本，通過編擬閱讀提綱，幫助學生理解和掌握數學概念，對某些簡單章節內

容的教學，可組織閱讀討論，以培養學生的自學理解能力以及獨立鉆研問題的曳好習慣，引

導學生主動參與觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動，使學生形成有效的學習

策略。

新的課程改革，難免會導致很多知識的脫節和漏洞。本書當然也沒有詳盡列舉出來。我

們會不斷的研究新課程及其體系，將不遺余力地找到新的初高中數學教材體系中存在的不足,

加以補充和完善。

我們的目標是使所有的學生在努力之后，都能搞到相應的果實，所以我們要不惜時間與

精力，進行初高中數學教學的銜接，讓“銜接教學”更好地為高一新生鋪設一條成功的路。

目錄

第一章數與式

1.1數與式的運算

1.1.1乘法公式............................................................3

1.1.2分式................................................................4

1.2分解因式..........................................................5

第二章二次方程、二次函數與二次不等式

2.1一元二次方程

2.1.1根的判別式........................................................11

2.1.2根與系數的關系.....................................................13

2.2二次函數

2.2.1二次函數y=ax?+bx+c的圖像和性質...................................19

2.2.2二次函數的三種表達方式.............................................25

2.3一元二次不等式的解法................................................28

第三章相似形、三角形

3.1相似形

3.1.1平行線分線段成比例定理...........................................33

3.1.2相似三角形形的性質與判定.........................................36

3.2三角形

3.2.1三角形的四心、......................................................40

3.2.2幾種特殊的三角形...............................................43

課后練習與習題答案........................................................46

1.1數與式的運算

1.1.1乘法公式

我們在初中已經學習過了下列一些乘法公式：

(1)平方差公式(a+b)(a-b)=a?-b2；

(2)完全平方公式(。±人)2=。2±2。人+〃。

我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式:

(1)立方和公式(a+b)(cr-ab+b2)=+Z?3；

(2)立方差公式(ci-b)(a~+ab+b2)=-by；

(3)三數和平方公式(〃+/?+c)2=a2+Z72+c2+2(ab+be+ac)；

(4)兩數和立方公式(a+=a3+301b+3ab?+b3；

(5)兩數差立方公式(a-b)3=a3—3a2b+3ab2—b3<.

對上面列出的五.個公式，有興趣的同學可以自己去證明。

例1計算：(x+l)(x-l)(x2-X+1)(X2+X+1)o

解法一：原式二(x2-l)[(x2+1)2-X2=(x2-l)(x4+x2+l)=x6-1o

解法二：原式二(X+l)(f-工+1)*-1)*2+工+1)=％3+])(/-])二不6—1。

例2已知a+/?+c=4,a/?+Z;c+ac=4,求4+從十。？的值。

解：a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+be+ac)=8。

練習：

1.填空：(1)-a2--b2=(-b+-a)()：

9423

(2)(4〃？+)2=16/??2+4m+()；

(3)(f/+2/?-c)2=672+4Z?2+c24-()o

2.選擇題：(1)若d+Lnr+Z是一個完全平方式，則上等于()

2

A、nr—fn2C、—m2D、—tri1

4316

(2)不論。，〃為何實數，。2+/一2〃一4h+8的值()

A、總是正數B、總是負數C、可以是零D、可以是正數也可以是負數

1.1.2分式

AA

1.分式的意義：形如A的式子，若4中含有字母,且則稱史為分式。

BB

當.好。時，分聯具有下列基本性質:AAxMAA-rM

BBxMBB-rM

a

2.繁分式：像上“這樣，分了或分母中又含有分式的分式叫做繁分式。

c+d

八十p

若5x+4_A

例1—,求常數A3的值。

x(x+2)xx+2

?.A,BA(x+2)+Bx(A+8)x+2A5x+4.A+B=5,A=2

解:?---1--------)?V解得

xx+2x(x+2)x(x+2)+2)2A=4,8=3

111計算：111

例2（1）試證:（其中〃是正整數）；（2）-----J--------+H

〃(〃+1)n〃+11x22x3--------9x10

（1）證明：??,」I(〃--+-1-)-一--〃二----1--，??----1---二——1匚（其中〃是正整數）成立。

nn+1〃（〃+1）+〃（〃+1）nn+\

（2）解：由（1）可知_L+_L++1=*）+（昌++（"W

1x22x39x10

練習:

]1—L)：

1.對任意的正整數

〃(〃+2)n〃+2

11I1

2.計算:-----+-------+------

1x32x43x59x11

1.2分解因式

因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法，另外還應

了解求根法及待定系數法C

1、提取公因式法

例1分解因式：(1)a2(b-5)+a[^-b)(2)d+9+3f+3]

解：(1)〃20_5)+〃(5—〃)二〃2(〃_5)_〃(卜_5)=〃(〃_5)(〃_|)

(2)/+9+3f+3工二(丁+3f)+(3x+9)=x“x+3)+3(x+3)二(工+3)，+3)。

或『+9+3x~+3x—(/+3x~+3x+1)+8—(x+1)'+8—(x+1)3+2，

=[(x4-l)+2][(x4-l)2-(x4-l)x2+22]=(X4-3)*2+3)

練習：

一、填空題：1、多項式61)，一2Q，2+4工)2中各項的公因式是0

2、m(x-y)十〃(y—x)-(x-y)^。

3、m(x-yJ+心-x)2=(x-y)2?。

4、in(x-y_z)+心+z_x)=(%_y_z)?<>

5、m(x-y-z)-x+y+z=(x-y-z)?°

6、-13出72/一3943〃工5分解因式得o

7.計算99,+99=

二、判斷題：(正確的打上“錯誤的打上"X”)

1、2a2b-4ab2=2ab(a-b)()2、am+bin+tn=m(a+Z?)()

3、-3/+6/_]5入.=—3G+2x—5)()4、x”+/i=/i(x+l)()

2、公式法

例2分解因式：（1）一/+i6(2)國+2)，)2_(1_?

解：(1)-+16=42-(a2)2=(4+a2)(4-r/2)=(4+a2)(2+a)(2-a)

(2)(3x+2y)2-(x-y)2=(3x+2y+為一)’)(3/+2y-x+y)=(4x+y)(2x+3y)

練習

22223

一、a-2ab+b,a-b,/一/7的公因式是。

二、判斷題：(正確的打上“J”，錯誤的打上“X”)

1、-x2-().()[=(-x]-(O.l)2=f-x+0.1Y-x-0.1>|()

9(3J'，(3八3)

2、9a2-Sb2=(3力-(4/7)2=(3a+4b)(3a-4b)()

3、25a2-16/7=(5?+4/?)(5t/-4/?)()

4、-x2-y2=-(x2-y2)=-(x+y)(x-y)()

5、a2-(/?+c)2=(a+b+c)(a-b+c)()

五、把下列各式分解

1、-9(/w一〃I十(〃？+2、3x2--

3

3、4-(丁-4克+214、X4-2X2+1

3、分組分解法

222

例3分解因式：(1)x-xy+3y-3x(2)2x+xy^-y-4x+5>-60

角不：(1)J-xy+3y-3x=(——盯)+(3?-3x)=x(x-y)-3(x-y)=(x-y)e(x-3)

x2-xy+3y-3x=(x2-3x)4-(-?^+3y)=x(x-3)-y(x-3)=(x-3)?(x-y)

(2)2x2+xy—y2-4x+5y—6=2廠+(y—4)x—+5y—6

=2x2+(y-4)x-(y-2)(y-3)=(2x-y+2)(x+y-3)o

或2x2+xy7-y2-4x+5y-6=(2x2+肛一)尸)一(4x-5y)-6=(2x-y)(x+y)-(4x-5y)-6

二(2x—y+2)(x+y—3)0

練習：

用分組分解法分解多項式

(1)x1-y2+a~-b~+2ax+2by(2)a2-4ab+4b2-6a+\2b+9

4、十字相乘法

例4分解因式：

(1)x2—3x+2；(2)x2+4x—12；(3)x2-(a+b)xy+aby2；(4)碎一l+x-y。

解：(1)如圖1.1-1,將二次項/分解成圖中1勺兩個x的積，再將常數項2分解成一1

與一2的乘積，而圖中的對角線上的兩個數乘積的和為一3x,就是3x+2中的一次項，所

以，有工2—3x+2=(x—1)(x—2)o

說明：今后在分解與本例類似的二次三項式時，可以直接將圖1.1-1中的兩個X用1

來表示(如圖1.1—2所示)。X_]

(2)由圖1.1-3,得1+4工-12=(工一2)(x+6)c1

圖I.1-5

(3)由圖L1—4,得?-(a+b)xy+aby2=(x-ay){x-by)

(4).一1+x-y=:vy+(x—y)—1=(x—1)(片1)(如圖1.1—5所示)。

練習

一、填空題：1、把下列各式分解因式：

(1)X2+5X-6=o(2)X2-5X+6=,

(3)x2+5x+6=o(4)x2-5^-6=,

(5)x2~(ci+l)x+a=o(6)x2-1lx+18=。

(7)6x2+7x+2=o(8)4，/-12陽+9=<

(9)5+7x-6x2=o(10)12x2+.v)j-6y2=>

2、x2-4x+=(x+3)(x+)

3、若Y+〃工+/?=(/+2)(工一4)則a=,b=?

二、選擇題：(每小題四個答案中只有一個是正確的)

1、在多項式(1)X2+7X+6(2)X2+4x+3(3)x2+6x+8(4)x2+7x+10,(5)x2+15x+44

中，有相同因式的是()

A、只有(1)(2)B、只有(3)(4)

C、只有(3)(5)D、(1)和(2)；(3)和(4)；(3)和(5)

2、分解因式/+8"-33〃得()

A、((7+1l)(a-3)B、(〃+13)(々一3〃)C、(a-\\b)(a-3b)D、(〃一1?)(。+3〃)

3、(a+〃y+8(a+/?)-20分解因式得()

A、(々+/?+10)(o+b-2)(a+〃+5)(a+Z?-4)

C、(a+Z?+2)(a+〃—10)D^(a+/?+4)(a+Z?—5)

4、若多項式J-3x+〃可分解為(上一5、%一〃)，貝|J〃、人的值是()

A、a=10,b=2B、a=10,b=—2C、a=-\0,b=—2D、a=—\0,b=2

5、若V+g-10=(x+〃乂x+其中a、〃為整數，則機的值為()

A、3或9B、±3C、±9D、±3或±9

三、把下列各式分解因式

16(2p-^)2-11(^-2/7)+32、ay-5a2b+6ab2

3、2y2-4y-64、b4-2b2-S

5、關于X的二次三項式"2+。工+。(3/0)的因式分解。

若關于X的方程依2+Z?x+c=0("0)的兩個實數根是芭、X,,

則二次三項式。/+從+?。工0)就可分解為4(工-%)(X-.12)。

例5把下列關于x的二次多項式分解因式：⑴X2+2X-1；(2)X2+4x3-4/o

解：(1)令f+2x—1=0,貝ij解得玉=-1+行，4=-1-桓,

?X~+2,X—1二［■￥-(-1+(-1-=(X+I-^2)(%+1+V2)o

(2)令/十4冷，-4y2=0,貝IJ解得X=(-2+20)y,不=(一2—2五)y,

???x2+4沖-4y2=[%+2(1-揚川[x+2(1+揚川0

練習1.選擇題：多項式2/-Q，-15y2的一個因式為()

(A)2x-5y(B)x-3y(C)x+3y(D)x-5y

2.分解因式：

(1)/+6x+8(2)8成一〃

(3)^-2x-l(4)4(x-y+\)+y(y-2x)

習題1.2

1.分解因式：

(1)/+1=

(2)4X4-13X2+9；

(3)h2+c2+lab+2ac+2bc；

(4)3/+5盯一2y2+工+9P一4。

2.在實數范圍內因式分解:

(1)x~—5x+3；(2)x2—2A/2X—3；

(3)3x2+4盯一y2；(4)(X2-2X)2-7(X2-2X)+12O

3.分解因式：x2-\-x—o

2.1一元二次方程

2.1.1根的判別式

情境設置：可先讓學生通過具體實例探索二次方程的根的求法，如求方程的根：

(1)A2+2A—3=0；(2)A2+2A+1=0；(3)/十2八十3=0o}

用配方法可把一元二次方程。/+以+。=0(a￥0)變為(x+2)2=〃一41(?①

2a4cr

丁@#0,/.4a>0o于是

(1)當毋一4ac>0時，方程①的右端是一個正數，因此，原方程有兩個不相等的實數

根出乩王；(2)當力2—4四=0時，方程①的右端為零，因此，原方程有兩個等

，2a

的實數根/=抬=-2;(3)當斤一4四<0時，方程①的右端是一個負數，而方程①的左

2a

邊1+2)2一定大于或等于零，因此，原方程沒有實數根。

2a

由此可知，一元二次方程。/+力x+c=o(aw。)的根的情況可以由N—4初來判定，

我們把療一4ac叫做一元二次方程。/+/+。=0我W0)的根的判別式,通常用符號“△”

來表示。

綜上所述，對于一元二次方程+〃工+c=o?#0),有

(1)當△>()時，方程有兩個不相。/+1+。=0等的實數根x=上業—±!￡；

,2a

(2)當△=()時，方程有兩個相等的實數根，占=心=-2；

2a

(3)當AV0時，方程沒有實數根。

例1判定下列關于火的方程的根的情況(其中a為常數)，如果方程有實數根，寫出方

程的實數根。

(1)X2-3X4-3=0；(2)x2-ax-l=0；

(3)x2—QX+(。-1)=0；(4)x2—2x+w=0。

解：⑴???A=32-4X1X3=-3VO,???方程沒有實數根。

(2)該方程的根的判別式△=/—4X1X(—1)=才+4>0,所以方程一定有兩個不等

ci+\lcr+4a-y/a2+4

的實數根斗=,x?=

22

(3)由于該方程的根的判別式為△=/-4乂1><仁一1)=才-43+4=仁一2)2,

所以，①當a=2時，△=(),所以方程有兩個相等的實數根小=尼=1;

②當aW2時，A>0,所以方程有兩個不相等的實數根％=1,尼=》一1。

(4)由于該方程的根的判別式為A=22—4XlXa=4—4a=4(l—a),所以

①當△>(),即4(1-a)>0,即JVI時，方程有兩個不相等的實數根毛+

②當A=0.即a=1時，方程有兩個相等的實數根跖=%=1：

③當△<(),即a>l時，方程沒有實數根。

說明：

在第3,4小題中，方程的根的判別式的符號隨著a的取值的變化而變化，于是，在解題

過程中，需要對。的取值情況進行討論，這一方法叫做分類討論。

分類討論這一思想方法是高中數學中一個非常重要的方法，在今后的解題中會經常地運

用這一方法來解決問題。

2.1.2根與系數的關系（韋達定理）

若一元二次方程〃/一力支+。=0（d#0）有兩個實數根X"=

則有內十勺二

-b+\lb2-4ac-b-y/b2-4acb2-(Z?2-4ac)4acc

所以，一元二次方程的根與系數之間存在下列關系：

如果+人工+。=0（日#0）的兩根分別是2，4，那么為+羽=一2,%1.x2=—O這

a~a

一關系也被稱為韋達定理c

特別地，對于二次項系數為1的一元二次方程產+0上+q=0,若與，￡是其兩根，由韋

達定理可知，X1+x2=—pt'X2=Qf即夕=一（匹+w），

所以，方程/+夕X+q=0可化為1―（3+X2）X+演.工2=0,由于修，工2是一元二次方

程1+FY+Q=0的兩根，所以，乂，/2也是一元二次方程—一（陽+七）X+2?了?=0。因此有

以兩個數X1,為根的一元二次方程（二次項系數為1）是V—（內+工2）工+用工2=°。

所以，方程的另一個根為一女的值為一7。

例2已知方程5/+h-6=0的一個根是2,求它的另一個根及衣的值。

分析：由于己知了方程的一個根，可以直接將這一根代入，求出左的值，再由方程解出

另一個根。但由于我們學習了韋達定理，又可以利用韋達定理來解題，即由于已知了方程的

一個根及方程的二次項系數和常數項，于是可以利用兩根之積求出方程的另一個根，再由兩

根之和求出4的值。

解法一：???2是方程的一個根，???5X22+4X2-6=0,???4=-7。

所以，方程就為5/—7x—6=0,解得七=2,x2=--a

解法二：設方程的另一個根為吃，則2與=一9，???馬=一之。

55

由（一之）+2=—￡得k=-7°所以，方程的另一個根為一？，衣的值為一7。

555

例3已知關于x的方程丁+2（加一2）、+/+4=0有兩個實數根，并且這兩個實數根的平

方和比兩個根的積大21,求朋的值。

分析：本題可以利用韋達定理，由實數根的平方和比兩個根的積大21得到關于/〃的方

程，從而解得/〃的值。但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩個實數根，因此,

其根的判別式應大于零。

解：設%,當是方程的兩根，由韋達定理，得%+%=—2(〃?-2),為?九2="+4。

222

VX1+x2—x1-x2=21,(xt+x2)-3再,與=21,

即［―2(-2)了一3(/+4)=21,化簡，得病一16/〃-17=0,解得/〃=—1,或〃/=17。

當/〃=—1時，方程為/+6工+5=0,A>0,滿足題意；

當/〃=17時，方程為1+30工+293=0,A=302-4X1X293<0,不合題意，舍去。

綜上，勿=17。

說明：(1)在本題的解題過程中，也可以先研究滿足方程有兩個實數根所對■應的/〃的范

圍，然后再由“兩個實數根的平方和比兩個根的積大21”求出力的值，取滿足條件的勿的值

即可。

(2)在今后的解題過程中，如果僅僅由韋達定理解題時，還要考慮到根的判別式A是

否大于或大于零。因為，韋達定理成立的前提是一元二次方程有實數根。

例4已知兩個數的和為4,積為一12,求這兩個數。

分析：我們可以設出這兩個數分別為x,H利用二元方程求解出這兩個數。也可以利

用韋達定理轉化出一元二次方程來求解。

解法一：設這兩個數分別是x,y,則F十k4⑴解得：???47，，

xy=-12(2)［y=6,

r=6

?2一’因此，這兩個數是一2和6。

%=-2.

解法二：由韋達定理可知，這兩個數是方程f—4x—12=0的兩個根。

解這個方程，得匹=-2,々=6。所以，這兩個數是一2和6。

說明：從上面兩種解法我們不難發現，解法二(直接利用韋達定理來解題)要比解法一簡捷。

例5若X］和工2分別是一元二次方程2/+5.V—3=0的兩根。

⑴求七一廠|的值；⑵求」r的值；⑶龍J+xJ。

不看

57

解：;西和0分別是一元二次方程2/+5x—3=0的兩根，???%+工2=-彳，-二。

22

(1),?,|2=x『+x~—2X]x2=(X]+X2)—4x)x2=(--)-4x(--)=—4-6=—,

竺+3

_4_37

29T

4

322J

(3)Xj+=(x,+x22)(-T,-x2+X2)=(^1+x2)[(Xj+Xj)-3Xj-x2]

=(一』)X[(_』)2_3X(_2)]=一變。

2228

說明：一元二次方程的兩根之差的絕對值是一個重要的量，今后我們經常會遇到求這一

個量的問題，為了解題簡便，我們可以探討出其一般規律：

設乂和房分別是一元二次方程。/+〃+。=0(aWO),

則—+而F,x、=-b-\Jb2-4ac

2a

-b+y/h1-4ac-h-\Jb2-4ac2db2-4ac_yjb2-4ac_&

2a2a\a\\a\

于是有下面的結論：

若占和占分別是一元二次方程*+6%+c=O(aWO),則|x~x1=(其中A=/r-4ac)o

t2\a\

今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對值時，可以直接利用上面的結論。

例6若關于x的一元二次方程--x+a—4=0的一根大于零、另一根小于零，求實數

a的取值范圍。

解：設后，Z是方程的兩根，則%?%=8—4V0,且△=(―1)'—4(<a—4)>0。

17

由①得dV4,由②得彳。的取值范圍是aV4。

練習

L選擇題：

(1)方程h+3^=0的根的情況是()

(A)有一個實數根(B)有兩個不相等的實數根(C)有兩個相等的實數根(D)沒有實數根

(2)若關于x的方程(2〃7+l)x+〃?=O有兩個不相等的實數根，則實數〃z的取值

范圍是()

(A)m<—(B)m>——(C)m<—,且mWO(D)ni>——,且mW()

4444

2.填空：

(1)若方程/-3]—1=0的兩根分別是乂和的，則'+'=?

石x?

(2)方程加+x—2〃=0(腎0)的根的情況是。

(3)以一3和1為根的一元二次方程是o

3.若+8a+i6+|〃-11=0,當左取何值時，方程+6=0有兩個不相等實數根?

4.已知方程X?—3x—1=0的兩根為K和￡，求(X1-3)(%―3)的值。

習題2.1

A組

1.選擇題：(1)已知關于工的方程/+攵1-2=0的一個根是1,則它的另一個根是()

(A)-3(B)3(C)-2(D)2

(2)下列四個說法：其中正確說法的個數是()個(A)1(B)2(C)3(D)4

①方程/+2丫-7=0的兩根之和為一2,兩根之積為一7；

②方程/-2刀+7=0的兩根之和為一2,兩根之積為7；

③方程3—-7=0的兩根之和為0,兩根之積為一工；

3

④方程3/+2才=0的兩根之和為一2,兩根之積為0。

(3)關于x的一元二次方程a——5x+，+a=0的一個根是0,則a的值是()

(A)0(B)1(C)-1(D)0,或一1

2.填空：(1)方程〃/+4)—i=o的兩根之和為一2,貝I」A=o

(2)方程—x—4=0的兩根為a,B,則ayB三o

(3)己知關于x的方程一一電一3a=0的一個根是一2,則它的另一個根是o

(4)方程2/+2x—1=0的兩根為由和如貝/用一尼|=o

3.試判定當m取何值時，關于x的一元二次方程〃/—一(2加+1)x+1=0有兩個不相

等的實數根？有兩個相等的實數根？沒有實數根？

4.求一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程/-7]—1=0各根的相反數。

B組

1.選擇題:若關于x的方程/+(〃-1)x+〃+l=0的兩根互為相反數，則4的值為()

(A)1,或一1(B)1(C)-1(D)0

2.填空：(1)若勿，〃是方程/+2005x—1=0的兩實數根，則/2〃+加〃2—質的值等于_o

(2)若a,b是方程V+x—1=0的兩個實數根，則代數式3+的值

是。

3.已知關于x的方程/一而一2=0。(1)求證：方程有兩個不相等的實數根；(2)設方

程的兩根為由和物如果2(小+尼)>乂處求實數A的取值范圍。

4.一元二次方程d/+bx+c=o(awo)的兩根為由和而。求：(1)I崗_及1和芯+工；

2

(2)/+及)

5.關于x的方程/+4x+〃/=0的兩根為用，及滿足|*—及|=2,求實數勿的值。

C組

1.選擇題：

(1)已知一個直角三角形的兩條直角邊長恰好是方程2——8x+7=0的兩根，則這個直

角三角形的斜邊長等于()(A)&(B)3(C)6(D)9

(2)若乂，也是方程2——4葉1=0的兩個根，則土+上的值為()

/王

3

(A)6(B)4(C)3(D)-

2

(3)如果關于x的方程2(1+m)>+k=0有兩實數根a,B,則a+B的取值范圍

為()(A)a+B”(B)a+BW，(C)a+3^1(D)a+B

22

（4）已知％力,右是△/力。的三邊長，那么方程（a+b）—0的根的情況是（）

（A）沒有實數根（B）有兩個不相等的實數根

（C）有兩個相等的實數根（D）有兩個異號實數根

2.填空：若方程/—8x+/〃=0的兩根為小，/2,且3小+2而=18,則勿=。

3.已知乂，及是關于，的一元二次方程4々/一4攵才+4+1=0的兩個實數根。（1）是否存

在實數力，使（2乂一及）（為一2尼）=一上成立？若存在，求出左的值；若不存在，說明理由；

（2）求使土*工-2的值為整數的實數a的整數值；（3）若〃=-2,丸=土，試求丸的

4.已知關于x的方程（〃L2）X-工=0。（1）求證：無論勿取什么實數時，這個方

程總有兩個相異實數根；（2）若這個方程的兩個實數根"X滿足|蒞|=|*|+2,求/〃的值

及相應的%i,尼。

5.若關于x的方程/+x+a=0的根一個大于1、另一根小于1,求實數a的取值范圍。

2.2二次函數

2.2.1二次函數尸wf+bx+c的圖象和性質

情境設置:可先讓學生通過具體實例探索二次函數的圖象，如作圖(l)y=f(2)),二一工2

(3))，=/+21_3教師可采用計算機繪圖軟件輔助教學｝

問題1函數y=a/與y=/的圖象之間存在怎樣的關系？

為了研究這一問題，我們可以先畫出尸2/,y=-x2,y=-2/的圖象，通過這些函

2

數圖象與函數尸/的圖象之間的關系，推導出函數/=己/與y=/的圖象之間所存在的關

系。

先畫出函數夕=2/的圖象。

先列表：

X???-3-2-10123

X2???9410149

2x2???188202818

從表中不難看出，要得到2y的值，只要把相應的/的值擴大到兩倍就可以了。

再描點、連線，就分別得到了函數y=F,y=2/的圖象(如圖2—1所示)，從圖2—1

我們可以得到這兩個函數圖象之間的關系：函數y=21的圖象可以由函數尸產的圖象各點

的縱坐標變為原來的兩倍得到。

同學們也可以用類似于上面的方法畫出函數尸y=-2/的圖象，并研究這兩個

2

函數圖象與函數y=/的圖象之間的關系。

通過上面的研究，我們可以得到以下結論：

二次函數/=a戈2(a00)的圖象可以由的圖象各點的縱坐標變為原來的a倍得到。

在二次函數尸a/(aWO)中，二次項系數d決定了圖象的開口方向和在同一個坐標系中的

開口的大小。

問題2函數與y=a/的圖象之間存在怎樣的關系？

同樣地，我們可以利月兒個特殊的函數圖象之間的關系來研究它們之間的關系。同學們

可以作出函數尸2(*+1)2+1與y=2/的圖象(如圖2-2所示)，從函數的圖象我們不難

發現，只要把函數y=2/的圖象向左平移一個單位，再向上平移一個單位，就可以得到函數

y=2(x+l)2+l的圖象。這兩個函數圖象之間具有“形狀相同，位置不同”的特點。

類似地，還可以通過畫函數y=-3/,夕=—3金一1y+1的圖象，研究它們圖象之間的

相互關系。

通過上面的研究，我們可以得到以下結論：

一次函數尸方(*+/7)2+"(用*0)中，與決定了一次函數圖象的開口大小及方向：〃決定了

二次函數圖象的左右平移，而且“方正左移，方負右移”；力決定了二次函數圖象的上下平移,

而且'”正上移，女負下移”。

由上面的結論，我們可以得到研究二次函數y=a/+bx+c(d#o)的圖象的方法：

由于y=a/+〃十+。=/+2工)+。=)+(?——

aa4〃4。

,b、>護-4ac

=a(x+—)+-----，

2a4。

所以，y=a.E2+-+c(aW0)的圖象可以看作是將函數的圖象作左右平移、上下

平移得到的，于是，二次函數尸a/+"+cgwo)具有下列性質：

(1)當a>0時，函數尸ad+6x+c圖象開口向上；頂點坐標為(_2,絲￡二匕)，對

2a4a

稱軸為直線x=—2；當xV-2時，y隨著x的增大而減小；當時，y隨著x的增

2a2a2a

大而增大；當時，函數取最小值曠=牝"”。

2a4。

（2）當HVO時，函數『=8/+公+。圖象開口向下；頂點坐標為（——,

2a4a

對稱軸為直線才=一2；當xV-2時，y隨著x的增大而增大；當x>-2時，y隨著x

2a2a2a

h一/）一

的增大而減小；當*=-'時，函數取最大值尸^-----O

2a44

上述二次函數的性質可以分別通過圖2.2—3和圖2.2—4直觀地表示出來。因此，在

今后解決二次函數問題時，可以借助于函數圖像、利用數形結合的思想方法來解決問題。

例1求二次函數y=-3x2-6^+1圖象的開口方向、對稱軸、

頂點坐標、最大值（或最小值），并指出當*取何值時，y隨x的增大而增大（或減小）？并

畫出該函數的圖象。

解：*?y——3x2—6x+l=—3（入+1尸+4,

???函數圖象的開口向下；對稱軸是直線>=一1；頂點坐標為（一1,4）；

當x=-1時，函數y取最大值y=4；

當xV—l時，y隨著x的增大而增大；當x>一1時，y隨著x的增大而減小；

采用描點法畫圖，選頂點月（一1,4））,與才軸交丁點伙當二2,o）和6V當上2,（））,

與y軸的交點為〃（0，1）,過這五點畫出圖象（如圖2—5所示）。

說明：從這個例題可以看出，根據配方后得到的性質畫函數的圖象，可以直接選出關鍵

點，減少了選點的盲目性，使畫圖更簡便、圖象更精確。

函數y=a/+"+。圖象作圖要領：

①確定開口方向：由二次項系數a決定。

b

②確定對稱軸：對稱軸方程為x=