2024年山東省泰安市中考數學模擬試卷

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分，在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求.）

1.I-5|的倒數是（）

11

A.-B.一/C.5D.-5

5，

2.計算（/）2?〃3的結果是（）

A.“8B.c.?10D.ail

3.某種零件模型如圖，該幾何體（空心圓柱）的俯視圖是（）

0

4.如圖，Z\A8c的外角NAC。的平分線CP與內角NA8C的平分線期交于點P,若NBPC

=40°,則NC4P=（）

A.40°B.45°C.50°D.60°

5.某校男子足球隊的年齡分布如圖所示，則根據圖中信息可知這些隊員年齡的平均數，中

位數分別是（）

6.某工程需要在規定日照內完成，如果甲工程隊單獨做，恰好如期完成；如果乙工程隊單

獨做，則超過規定FI期3天，現在甲、乙兩隊合做2天，剩下的由乙隊獨做，恰好在規

定日期完成，求規定日期.如果設規定日期為X天，下面所列方程中錯誤的是（）

2x23

A.一+----=1B.-=——

xx+3XX+3

11-21X

C.（一+—）乂2+x息=1D.-+——=1

xx+3x+3xx+3

7.如圖，函數尸--2什1和），-a是常數，且aWO）在同一平面直角坐標系的圖

圍是（）

A.2VZ?W3B.3V/運4C.2W3V3D.3W〃V4

9.如圖，點/為8c的內心，連接A/并延長，交△/WC的外接圓于點。，點E為弦AC

的中點，連接CO,EhIC,當A/=2CQ,1C=6,/O=5時，/￡的長為（）

A.5B.4.5C.4D.3.5

10.一元二次方程一#+〃+12=-*+15根的情況是（）

A.有一個正根，一個負根B.有兩個正根，且有一根大于9小于12

C.有兩個正根，且都小于12D.有兩個正根，且有一根大于12

11.如圖，將正方形網格放置在平面直角坐標系中，其中每個小正方形的邊長均為1，^ABC

經過平移后得到△4打。1,若AC上一點尸（1.2,1.4）平移后對應點為P,點Pi繞原

點順時針旋轉180°,對應點為尸2,則點P2的坐標為（）

B.(-2.8,-3.6)

C.(3.8,2.6)D.(-3.8,-2.6)

12.如圖，NAO8=30°，點M、N分別在邊04、OB上,且0M=3,0N=5,點P、Q

分別在邊08、04上，則MP+PQ+QN的最小值是（)

C.V34-2D.V35-2

二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.把答案填在題中的橫線上.）

13.地球的體積約為立方千米，太陽的體積約為14X1（）18立方千米，地球的體積約是

太陽體積的倍數是（用科學記數法表示，保留2位有效數字）

14.△ABC中，N8AC=90°,AB=3,AC=4,點。是8C的中點，將△A8。沿AQ翻折

得到△AED連CE,則線段CE的長等于

15.如圖，將半徑為2,圓心角為120°的扇形。人8繞點人逆時針旋轉60°,點0,8的

對應點分別為O',B,連接8次，則圖中陰影部分的面積是

16.觀察下列圖形規律，當圖形中的“O”的個數和“.”個數差為2022時，〃的值為

17.如圖，在一次數學實踐活動中，小明同學要測量一座與地面垂直的古塔48的高度，他

從古塔底部點B處前行30/H到達斜坡CE的底部點C處，然后沿斜坡CE前行20加到達

最佳測量點D處，在點D處測得塔頂A的仰角為3（T,已知斜坡的斜面坡度i=1：73,

且點4,B,C,D,E在同一平面內，小明同學測得古塔48的高度是.

18.如圖，在正方形/WCD外取一點E,連接AE、BE、DE.過點A作AE的垂線交。后于

點、P.^AE=AP=\,04=花.下列結論：

①石B；②點B到直線AE的距離為加；③EB±ED；④S"PD+S△人PB=1+布；

⑤S正方影4867）=4+e?

其中正確結論的序號是.

三、解答題（本大題共7個小題，共78分，解答應寫出文字說明、推理過程或演算步驟.）

19.（10分）（1）若單項式W34與單項式一親,3〃廠即是一多項式中的同類項，求叭〃

的值；

X1-1

（2）先化簡，再求值：（----+----）4-,其中4=或一1.

x+1x-1xz2-l

20.（9分）如圖，反比例函數），=?的圖象與一次函數），=履+〃的圖象交于4,B兩點，點

A的坐標為（2,6）,點B的坐標為（小I）.

（1）求反比例函數與一次函數的表達式；

（2）點E為），軸上一個動點，若SMEB=5,求點￡的坐標.

21.（11分）某校加強了學生對黨史知識的學習，并組織學生參加《黨史知識》測試（滿分

100分）.為了解學生充黨史知識的掌握程度，從七、八年級中各隨機抽取10名學生的測

試成績，進行統計、分析，過程如下：

收集數據：

七年級：8688959010095959993100

八年級：100989889879895909089

整理數據：

成績工（分）85<xW9090VxW9595VE00

年級

七年級343

八年級5ab

分析數據：

統計量平均數中位數眾數

年級

七年級94.195d

八年級93.4C98

應用數據：

（1）填空：a=，b=,c=,d=；

（2）若八年級共有200人參與答卷，請估計八年級測試成績大于95分的人數；

（3）從測試成績優秀的學生中選出5名語言表達能力較強的學生，其中八年級3名，七

年級2名.現從這5名學生中隨機抽取2名到當地社區擔任黨史宣講員.請用畫樹狀圖

或列表的方法，求恰好抽到同年級學生的概率.

22.(11分)某電子商品經銷店欲購進A、B兩種平板電腦，若用9000元購進A種平板電腦

12臺，8種平板電腦3臺；也可以用9000元購進A種平板電腦6臺，8種平板電腦6臺.

(1)求A、8兩種平板電腦的進價分別為多少元？

(2)考慮到平板電腦需求不斷增加，該商城準備投入3萬元再購進?批兩種規格的平板

電腦，已知A型平板電腦售價為7()0元/臺，5型平板電腦售價為130()元/臺.根據銷售

經驗，八型平板電腦不少于8型平板電腦的2倍，但不超過B型平板電腦的2.8倍.假

設所進平板電腦全部售完，為使利潤最大，該商城應如何進貨？

23.(12分)正方形A8CD中，。為48邊上任一點，AE_LOP于E,點尸在OP的延長線

上，且DE=EF,連接AF、BF,NBA”的平分線交D”于G,連接GC.

(1)求證：AAEG是等腰直角三角形；

(2)求證：AG+CG=x/2DG：

(3)若4B=2,P為AB的中點，求85的長.

24.（12分）如圖，拋物線），=〃M+3〃L.2〃?+1的圖象經過點C,交x軸于點A（xi,0）,B

（必0）（點A在點8左側），且mi=5,連接8C,。是AC上方的拋物線一點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接8CCD,SWE：S^CE是否存在最大值？若存在，請求出其最大值及此時點

。的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）第二象限內拋物線上是否存在一點。尸垂直人。于點凡使得△OC尸中有一個

銳角等于NBAC的兩倍？若存在，求點。的橫坐標，若不存在，請說明理由.

圖1圖2

25.（13分）如圖，四邊形4BCZ）中，AB=AD=CD,以AB為直徑的。。經過點C,連接

AC、。。交于點E.

（1）證明：0Q〃8C；

（2）若tanNA8C=2,證明：DA與。0相切；

（3）在（2）條件下，連接4。交于點P,連接ER若BC=1，求取的長.

2024年山東省泰安市中考數學模擬試卷

分，共48分，在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求.）

1.|-5|的倒數是（）

A.-B.—F

55

V|-51=5,5的倒數是"

???|-5|的倒數是看.

故選：A.

2.計算（/）2?〃3的結果是（）

A..8B.j

解：原式=。3'2?43=0?）+3=49；故選從

3.某種零件模型如圖，該幾何體（空心圓柱）

解：由上向下看空心圓柱，看到的是一個圓環，中間的圓要畫成實線.

故選：D.

4.如圖，ZUBC的外角NAC。的平分線CP與內角NABC的平:分線8P交于點P,若NBPC

=40°,則NCAP=（）

解：延長8A,作PN上BD,PFA.BA,PM±AC,

設NPCZ)=x°,

TCP平分NACO,

/.ZACP=ZPCD=x°,PM=PN,

尸平分N48C,

:?NABP=NPBC,PF=PN,

:,PF=PM,

???NBPC=40°,

：?4ABP=4PBC=/PCD-4BPC=(x-40)°,

/.ZBAC=ZACD-ZABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°,

：.ZCAF=\00°,

在RtAPM和RtAPMA中，

(PA=PA

[PM=PF'

/.RtAPM^RtAPMA(HL),

AZMP=ZMC=50°.

故選：C.

5.某校男子足球隊的年齡分布如圖所示，則根據圖中信息可知這些隊員年齡的平均數，中

A.15.5,15.5B.15.5,15C.15,15.5D.15,15

解：根據圖中信息可知這些隊員年齡的平均數為：

13X2+14X6+15X8+16X3+17X2+18X1

=15（歲）,

2+6+8+3+2+1

該足球隊共有隊員2+6+8+3+2+1=22（人）,

則笫11名和第12名的平均年齡即為年齡的中位數，即中位數為15歲,

故選：D.

6.某工程需要在規定FI用內完成，如果甲工程隊單獨做，恰好如期完成：如果乙工程隊單

獨做，則超過規定□期3天，現在甲、乙兩隊合做2天，剩下的由乙隊獨做，恰好在規

定日期完成，求規定日期.如果設規定日期為x天，下面所列方程中錯誤的是（）

2x23

A.一+——=1B.

xx+3xx+3

11x-21x

C.（-+—）X2+*=lD.-4----=1

xx+3x+3xx+3

解：設規定口期為x天,

11

由題意可得，（一+—）X2+=4=l,

Xx+3x+3

2x223

整理得一+=1?或一=1-rTZK或-=

xx+3x%+3Xx+3

則4、B、C選項均正確，錯誤的為選項D

故選：D.

7.如圖，函數產ad-2什1和尸依是常數，且。工0）在同一平面直角坐標系的圖

該開口向下，故選項錯誤：

B、由一次函數），=依的圖象可得：a＞0,此時二次函數y=ad-2x+l的圖象應該開

□向上，對稱軸工=一言＞0,故選項正確；

C、由一次函數y=a1a的圖象可得：心0,此時二次函數y=ad-2]+1的圖象應該開

口向上，對稱軸x=-0X）,和x軸的正半軸相交，故選項錯誤：

JCX

。、由一次函數a的圖象可得：。＞0,此時二次函數），=--2%+1的圖象應該開

□向上，故選項錯誤.

故選：B.

3—CL1

8.已知方程--4=4,且關于x的不等式aVxW人只有4個整數解，那么〃的取值范

a-4"Q

圍是（）

A.2VgB.3Vb<4C.2WbV3D.3^b<4

解：分式方程去分母得：3-a-『+4a=-l,即f-34-4=0,

分解因式得：（a-4）（〃+1）=0,

解得：a=-1或a=4,

經檢驗〃=4是增根，分式方程的解為。=-1,

當4=-1H寸，由a<x^b只有4個整數解，得到3刈<4.

故選：D.

9.如圖，點/為△A8C的內心，連接A/并延長，交△ABC的外接圓十點。，點E為弦AC

的中點，連接CQ,￡/.1C,當A/=2CO,/C=6,/0=5時，的長為（）

A.5B.4.5C.4D.3.5

解：延長〃，到M,使DM=/D,連接CM.

2/是△ABC的內心,

；?N/AC=N/AB,NICA=NICB,

???NO/C=N/AC+N/C4,ZDCI=ZBCD+ZICB,

：.4DIC=/DCI,

\DI=DC=DM.

???N/CM=90°,

CM=>JlM2-IC2=8,

VA/=2CD=10,

,：AE=EC,

???/E是△ACM的中位線,

/./E=|cA/=4,

故選：C.

10.一元二次方程-#+2x+12=一菱+15根的情況是（）

A.有一個正根,一個負根

B.有兩個正根,且有一根大于9小于12

C.有兩個正根,且都小于12

D.有兩個正根,且有一根大于12

解:

由題意函數y=—32+〃+12,與y交于點（0,12）與x軸交于（-4,0）（12,0）

函數）=一*+15,與〉:交于點（0,15）與x軸交于（12,0）

因此，兩函數圖象交點一個在第一象限，一個在第四象限，所以兩根都大于0,且有一根

大于12

故選：D.

11.如圖，將正方形網格放置在平面直角坐標系中，具中每個小正方形的邊長均為1，AA8C

經過平移后得到△AIBI。，若4c上一點P（1.2,1.4）平移后對應點為點Pi繞原

點順時針旋轉180°,對應點為尸2,則點P2的坐標為（)

B.(-2.8,-3.6)

C.(3.8,2.6)D.(-3.8,-2.6)

解：由題意將點P向下平移5個單位，冉向左平移4個單位得到Pi,

VP(1.2,1.4),

/.Pl(-2.8,-3.6),

〈Pl與P2關于原點對稱,

???巴(2.8,3.6),

故選：A.

12.如圖，NAOB=30°,點M、N分別在邊Q4、OB上,且OM=3,ON=5,點P、Q

分別在邊08、OA±,則MP+PQ+QN的最小值是（）

C.V34-2D.V35-2

解：作M關于的對稱點M',作N關于OA的末稱點N',如圖所示:

連接M'N',即為MP+PQ+QN的最小值.

根據軸對稱的定義可知：NN'OQ=ZMf08=30°,ZONN'=60°,

???△ONN'為等邊三角形，AOMM'為等邊三角形，

AZN(OM'=90°,OM'=OM=3,ON'=ON=5,

在Rt^M'ON'中，

M'N'=VS2+32=A/34.

故選：A.

二、填空題(本大題共6個小題，每小題4分，共24分.把答案填在題中的橫線上.)

13.地球的體積約為10%立方千米，太陽的體積約為1.4X1()18立方千米，地球的體積約是

太陽體積的倍數是7.1X10丁(用科學記數法表示，保留2位有效數字)

解：???地球的體積約為10葭立方千米，太陽的體積約為1.4X1018立方千米，

；?地球的體積約是太花體積的倍數是：IO.。(1.4XK)18)^7.1X10'7.

故答案是:7.1X10'7.

14.AABC中,NB4C=90°,AB=3,AC=4,點。是BC的中點，將△A8D沿4。翻折

7

得到△AED.連CE,則線段CE的長等于一.

一51

解：如圖連接BE■交AD于O,作于H.

在RtZ\4BC中，VAC=4,AB=3,

:?BC=V324-42=5,

,:CD=DB,

：,AD=DC=DB=^,

11

■:—BC?AH=

22

?.?A3H--1g2-,

?：AE=AB,DE=DB=DC,

.二A。垂直平分線段△8C*是直角二角形,

11

＜一?AD?BO=g?BD?AH,

22

12

：.OB=W，

24

:,BE=20B=g,

在RNCE中，EC='JBC2-BE2=

7

故答案為：

o

15.如圖，將半徑為2,圓心角為120°的扇形OA8繞點A逆時針旋轉60°,點O,8的

對應點分別為O',B，連接6夕，則圖中陰影部分的面積是，8-竽

解：連接。0',B0',

???將半徑為2,圓心角為120°的扇形OA8繞點A逆時針旋轉60°,

：.ZOAOf=60°,

是等邊三角形，

AZAOOr=60°,OO'=OA,

???當o'中oo上，

???/4OB=120°,

???NO'08=60°,

8是等邊三角形，

AZAO'8=120’，

VZAO'B'=120°,

：.ZB'O'4=120°，

：,/O'B'B=ZO'RB'=30°,

2

*,?圖中陰影部分的面積=S△距OB~S用形。OB=x2X2V3------QTH—=2^3—

LOOUO

故答案為2V5一條

16.觀察下列圖形規律，當圖形中的“O”的個數和“.”個數差為2022時，n的值為不

存在.

解：???〃=1時，”的個數是3=3X1；

〃=2時，”的個數是6=3X2；

〃=3時，"v的個數是9=3X3；

〃=4時，"V的個數是12=3X4；

???第〃個圖形中“的個數是3〃；

又???〃=1時，“O”的個數是l=ix（；+D；

〃=2時，“O”的個數是3=2x（空）,

〃=3時，“O”的個數是6=3X（T）,

〃=4時，“O”的個數是］（）=4x（；+l）

??????,

???第〃個“。”的個數是嗎工，

由圖形中的“O”的個數和個數差為2022,

???3TI-D=2022①，-3n=2022②,

/2

解①得：無解,

初e紀5+V162015-V16201

解②得：％=----2----，n2----2-----

故答案為：不存在.

17.如圖，在一次數學實踐活動中，小明同學要測量一座與地面垂直的古塔AB的高度，他

從古塔底部點B處前行38??到達斜坡CE的底部點C處，然后沿斜坡CE前行20m到達

最佳測量點。處，在點。處測得塔頂A的仰角為30°,已知斜坡的斜面坡度i=l：x/3,

且點A,B,C,D,E在同一平面內，小明同學測得古塔A6的高度是(20+105〃〕.

#

二

3-O0#

-..

E一

C3

解：過。作。r_L8C7"，DHLAB于H,

:,DH=BF,BH=DF,

???斜坡的斜面坡度/?=1：V3,

設DF=xin,CF=y/3xm,

ACD=VDF2+CF2=2x=20(/〃)，

/?x=10,

；?BH=DF=10m,CF=1OA/3/77,

：.DH=BF=(1075+30)m,

VZADH=300,

???八"=坐。”=坐x(1OV3+30)-(10+10V3)次,

：.AB=AH+BH=(20+10V3)m,

答：古塔AB的高度是(20+106)m,

故答案為：(20+106)m.

18.如圖，在正方形ABC。外取一點E,連接AE、BE、DE.過點4作4E的垂線交。石于

點、P.若AE=A尸=1,PB=V5.下列結論：

①△AP。空△AE8；②點B到直線AE的距離為心；③EB工ED；?SMPD+SMPB=\+\f6；

⑤S正方形八&7)=4+份?

：.ZEAB=ZPAD,

5^'：AE=AP,Ali=AD,

??,在△APO和△AE8中,

AE=AP

Z.EAB=4PAD,

AB=AD

:.XAPD9MAEB(SAS)；

故此選項成立：

?V△APO名△AE6,

ZAPD=NAEB,

VZAEB=ZAEP+ZBEP,ZAPD=ZAEP+ZPAE,

：.^BEP=ZPAE=W,

：.EBLED；

故此選項成立；

②過B作BFA.AE,交AE的延長線于A,

\'AE=APtNE4P=9D°,

：,ZAEP=ZAPE=45a,

又?：③中EBLED,BF1AF,

：?/FEB=/FBE=45',

又???BE=y/BP2-PE2=V5^2=V3,

:,BF=EF=坐，

故此選項不正確；

④如圖，連接8。，在RtZXAEP中，

?：AE=AP=\f

：,EP=V2,

又,：PB=場,

BE=V3,

,/△APD9XAEB,

：.PD=BE=V3,

SdABP+S^ADP=S^ABD-S&BDP=正方形ABCD-|XDPXBE=1x（4+遍）x百x

V3=1+f.

故此選項不正確.

@'：EF=BF=^,AE=\,

???在/中，AB2=(AE+EF)2+B產=4+乃，

:?S正方形八8。=4屏=4+返，

故此選項正確.

故答案為：①③⑤.

AD

P

三、解答題（本大題共7個小題，共78分，解答應寫出文字說明、推理過程或演算步驟.）

19.（10分）（1）若單項式.即R4與單項式一分3y3〃廠即是一多項式中的同類項，求嘰〃

的值；

X11

（2）先化簡，再求值：（=+[■）+心，其中-

x+1x-1xz-l

解：⑴由題意可得卜1一〃二3①

13m-8n=14@

②-①X3,可得：-5/2=5,

解得：〃=-1,

把〃=-I代入①，可得：（-I）=3,

解得：〃?=2,

??」〃的值為2,〃的值為-1；

(2)原式=[r（x+i）（x-i）

(x+l)(x-l)

x2-x+x+l

?(

=(X+l)(X-l)x+l)(x-1)

當戶企-1時，

原式=(V2-1)2+l=2-272+1+1=4-2V2.

20.（9分）如圖，反比例函數），=?的圖象與一次函數），=h+〃的圖象交于A,3兩點，點

A的坐標為（2,6）,點8的坐標為（〃，1）.

（1）求反比例函數與次函數的表達式：

（2）點E為y軸上一個動點，若SMEB=5,求點E的坐標.

解：（1）把點A（2,6）代入），=￡,得加=12,

則尸T,

17

把點B（〃，1）代入y=彳~,得/?=12,

人

則點B的坐標為（12,1）.

由直線丁=丘+6過點A（2,6）,點3（12,1）得｛;U；[6]

解得次=-2,

b=7

則所求一次函數的表達式為），=-%+7.

（2）如圖，直線48與），軸的交點為P,設點E的坐標為（0,,連接AE,BE,

則點P的坐標為（0,7）.

：.PE=\m-l\.

*：S&EB=S.BEP-SMEP=5,

1

r.-x|w-7|X（z12-2）=5.

2

/.|m-7|=l.

i=6,m2=8?

???點E的坐標為＜0,6）或（0,8）.

21.UI分）某校加強了學生對黨史知識的學習，并組織學生參加《黨史知識》測試（滿分

100分）.為了解學生走黨史知識的掌握程度，從七、八年級中各隨機抽取10名學生的測

試成績，進行統計、分析，過程如下：

收集數據：

七年級：8688959010095959993100

八年級：100989889879895909089

整理數據：

成績%（分）85VxW90904W9595<x<100

年級

七年級343

八年級5ab

分析數據：

統計量平均數中位數眾數

年級

七年級94.195d

八年級93.4C98

應用數據：

（1）填空：a=I,b=4,c=92.5,d=95；

（2）若八年級共有200人參與答卷，請估計八年級測試成績大于95分的人數；

（3）從測試成績優秀的學生中選出5名語言表達能力較強的學生，其中八年級3名，七

年級2名.現從這5名學生中隨機抽取2名到當地社區擔任黨史宣講員.請用畫樹狀圖

或列表的方法，求恰好抽到同年級學生的概率.

解：（1）a=\,b=4,

八年級成績按由小到大排列為:87,89,89,90,90,95,98,98,98,100,

所以八年級成績的中位數c="史=92.5,

七年級成績中95出現的次數最多，則d=95：

故答案為I,4,92.5,95；

4

（2）200x^=80,

估計八年級測試成績大于95分的人數為80人;

(3)畫樹狀圖為:

開始

八八七七八八七七八八七七八八八七八八八七

共有20種等可能的結果，其中兩同學為同年級的結昊數為8,

所以抽到同年級學生的概率=4=|.

22.(II分)某電子商品經銷店欲購進A、B兩種平板電腦，若用9000元購進A種平板電腦

12臺，8種平板電腦3臺：也可以用9000元購進A種平板電腦6臺，8種平板電腦6臺.

(1)求A、3兩種平板電腦的進價分別為多少元？

(2)考慮到平板電腦需求不斷增加，該商城準備投入3萬元再購講一批兩種熱格的平板

電腦，已知人型平板電腦售價為700元/臺，8型平板電腦售價為1300元/臺.根據銷售

經驗，4型平板電腦不少于B型平板電腦的2倍，但不超過8型平板電腦的2.8倍.假

設所進平板電腦全部售完，為使利潤最大，該商城應如何進貨？

解：(1)設A、8兩種平板電腦的進價分別為4元、y元.由題意得，

[12%+3y=9000解汨仔=500

(6x+6y=9000，解付(y=1000'

答：A、8兩種平板電腦的進價分別為500元、1000元；

(2)設商店準備購進8種平板電腦.臺,則購進A種平板電腦陋產臺

30000-1000a

2a<

由題意,得500

30000-1000(?

<2.8a

500

解得I2.5W〃W15,

Ta為整數，.??。=13或14或15.

30000-1000a

設總利潤為卬，則：w=(700-500)x+(1300-1000)〃=-100?+12000,

500

:-100V0,???w隨a的增大而減小,

30000-1000X13

???為使利潤最大，該商城應購進B種平板電腦13臺那種平板電腦---------------------=34

500

臺.

23.(12分)正方形4BCD中，P為AB邊上任一點，A￡_LOP于E,點尸在DP的延長線

上，且O￡=EF,連接AF、BF,NB4/的平分線交D/于G,連接GC.

(1)求證：4AEG是等腰直角三角形：

(2)求證：AG+CG=\[2DG；

(3)若45=2,。為八4的中點，求8『的長.

(1)證明：如圖I,?:DE=EF,AEA,DP,

：.AF=AD,

/.NAFD=ZADF,

VZADF+ZDAE=ZPAE+ZDAE=9QQ,

/.ZAFD=ZPAE,

TAG平分NZMF,

AZMG=ZGAP.

VZ4FD+ZME=90°,

/.ZAFD+ZB4E+ZMP=90°

???2NG4P+2N%E=90°,

即NG4E=45°,

???△AGE為等腰直角三角形：

(2)證明：如圖2,作C〃_LOP,交DP于H點,

：.ZDHC=90°.

VAE1DP,

：.ZAED=90°,

/.ZAED=ZDHC.

VZADE+ZCDH=W,NCDH+NDCH=900,

NADE=/DCH.

???在AAOE和△OC”中,

(/.AED=乙DHC

l^ADE=ADCHr

(AD=DC

/.AADE^ADCH(AAS),

:.CH=DE,DH=AE=EG.

:?EH+EG=EH+HD,

即GH=ED,

：.GH=CH.

:,CG=V2GH.

VAG=立EG,

???AG=V2DH,

：,CG+AG=叵GH+yfiHD.

：,CG+AG=V2(GH+HD),

即CG+AG=&DG：

(3)如圖3,延長。F,與C8交于點K,

TP是A8的中點，

：.AP=BP=l.

???四邊形48co是正方形，

：,AD=AB=BC=CD,ZDAB=ZABC=^ABK=W.

???在△4。尸和△8KP中

(/.DAB=乙KBP

<AP=BP,

LAPD=乙BPK

:?△ADPMWKP(ASA),

:?AD=KB=BC=2.

在R【Z\AOP中由勾股定理，得

PD=低

：.y/5AE=PA*ADf

?“_2店八?,4行

??AE-—~,DE——,

?,?￡G=等,DF=嚕,

.”2/5

在RtZXKCO中，由勾段定理，得

KD=2y/5,

?,?心=等

:.KF=FG,

?:KB=BC,

:,FB〃CG,BF=CG,

:.BF=^y[2CH=導DE=

B

圖3

24.（12分）如圖，拋物線），=〃M+3〃L.2〃?+1的圖象經過點C,交x軸于點A（xi,0）,B

（必0）（點A在點8左側），且4-箱=5,連接8C,。是AC上方的拋物線一點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接8C,CD,SgCE：S^CE是否存在最大值？若存在，請求出其最大值及此時點

。的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）第二象限內拋物線上是否存在一點。尸垂直人。于點F,使得△QC尸中有一個

銳角等于NBAC的兩倍？若存在，求點。的橫坐標，若不存在，請說明理由.

Axl?X2是方程nv?+3mx-2in+1=0的兩根,

-2m+l

/.Xl+X2=-3,

XI*.V2=?n

X2-xi=5,

(x2-Xi)?=25.

即：(x2+%i)2-4xiF=25,

,\9-4x~2m+1=25.

m

解得：〃?=-1.

???拋物線的解析式為產一"—|x+2.

4

(2)S^DCE:S,WCE存在最大值此時點。的坐標為(-2,3),理由:

1?

令)，=0,貝|「一)無2-24+2=(),

解得：x=-4或I,

(-4,0),B(1,0),

令x=0,則y=2,

AC(0,2).

設直線AC的解析式為)，=h+兒

.(—4k+8=0

F=2，

解得：卜=4，

業=2

，直線AC的解析式為尸1A+2.

過點。作軸于點“，交AC于點M,過點B作BN_Lx軸于點8,交直線4c于點

:?叢EDMs^EBN,

?DEDM

''BE~BN'

1Q1

設。(a,--^ai2—5?+2),則M(。，一。+2),

222

io11

DM=(—5Q?—5?+2)-(-a+2)=-5a2—2a.

2222

當x=1時，y=x1+2=2?

5

:?N(I,-).

2

:.BN=&.

???等高的三角形的面積比等于底的比，

,ccDEDM

??S&DCE:dAfiCE=而=甌.

12

-a-2a44

222+

Q鏟-

55

/.SADCE:SA8CE=2

4

???當〃=-2時-，SADCE：S/4C￡有最大值為3此時點0(-2,3)；

(3)第二象限內拋物線上存在一點D,Z)尸垂直AC于點F,使得△OCF中有一個銳角

等于N84C的兩倍，點。的橫坐標為-2或一雪，理由：

VA(-4,0),B(1,0),C(0,2),

???OA=4,OB=\,0c=2,

???AC=>]0A24-0C2=26BC=>/OB2+OC2=V5.AB=OA+OB=5.

,：AC1+BC1=25=AB2,

???△A3C為直角三角形，ZACB=9(r.

取人8的中點P,連接OP,

則P(/,0),

：.0P=j.

：,PA=PB=PC=^,

:.NBAC=NPCA.

*：NCPB=ZBAC+ZPCA,

:?/CPB=2NBAC.

過點。作Z)R_L)，軸于點/?,延長交4c于點G,如圖，

y

①當NQCF=2NZMC時,

1313

設0z-2--2-

〃

?-nI-八-

x22則DR=-m22

1q

：.CR=OR-0C=-^m2-如.

叩軸，軸，

：.DR//AB,

???NG=N8AC.

?：ZDCF=ZG+ZCDG