分式與分式方程

一、選擇題

1.(2024?廣西賀州，第2題3分)分式上用意義，則工的取值范圍是()

x-1

A.x/\C.A#-1D.x=-

考點：分式有意義的條件.

分析：依據分式有意義的條件：分母不等于0,即可求解.

解答：解：依據題意得：x-1翔，

解得:印.

故選A.

點評：本題主要考查了分式有意義的條件，正確理解條件是解題的關鍵.

2.(2024?廣西賀州，第12題3分)張華在一次數學活動中，利用“在面積肯定的矩形中，

正方形的周長最短”的結論,推導形'式子(￡>0)的最小值是2”.其推導方法如下：在

面枳是1的矩形中設矩形的一邊長為工，則另一邊長是，矩形的周長是2(x+)；當矩形成為

正方形時，就有x=(0>0)?解得x=l,這時矩形的周長2(x+)=4最小，因此x+(x>0)

的最小值是2.仿照張華的推導，你求得式子工物(x>0)的最小值是()

x

4.2B.1C.6D.10

考點：分式的混合運算；完全平方公式.

專題：計算題.

分析：依據題意求出所求式子的最小值即可.

解：得到x>0,得到三詈=戶22,乂?多6,

則原式的最小值為6.

故選C

點評：此題考查了分式的混合運算，弄清題意是解本題的關鍵.

3.（2024?溫州，第4題4分）要使分式*L有意義，則x的取值應滿意（）

x-2

A.洋2B.A#-1C.x=2D.x=-\

考點：分式有意義的條件.

分析：依據分式有意義，分母不等于0列式計算即可得解.

解答：解：山題總、得，4?2券，

解得*2.

故選A.

點評：本題考查了分式有意義的條件，從以下三個方面透徹理解分式的概念：

（1）分式無意義0分母為零；

（2）分式有意義=分母不為零；

（3）分式值為零0分子為零且分母不為零.

4.（2024?畢節地區，第1（）題3分）若分式三一的值為零，則x的值為（）

x-1

A.0B.\C.-1D.±1

考點：分式的值為零的條件.

專題：計算題.

分析：分式的值是（）的條件是：分子為0,分母不為0,由此條件解出x.

解答：解：由得4士1.

當x=l時，x-1=0,故x=l不合題意；

當x=-l時，x-1=-2^0,所以戶-I時分式的值為0.

故選C

點評：分式是0的條件中特殊須要留意的是分母不能是0,這是常常考查

的學問點.

5.（2024?孝感，第6題3分）分式方程，二二2的解為（）

x-13x-3

x=--x=—Cx=—D./

6336

考點：解分式方程

專題：計算題.

分析：分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分

式方程的解.

解答：解：去分母得：3.『2,

解得：尸2

3

經檢驗X=Z是分式方程的解.

3

故選B

點評：此題考杳了解分式方程，解分式方程的某本里想是“轉化思根”,杷分式方程轉化為整

式方程求解.解分式方程肯定留意要驗根.

6.（2024?浙江金華，第5題4分）在式子一!一，—,J-，中，x可以取2

x-2x-3

和3的是【】

A.—B.—C.Vx-2D.Jx-3

x—2x—3

【答案】C.

【解析】

試題分析：依據二次根式被開方數必需是非負數和分式分母不為0的條件，在式子

11

x-2'x-3

五二W每中，當x-2時，一L和五二3無意義，當x-3時，」一無意義.所以在式:子」

x-2x-3x-2

—,,"3中,x可以取2和3的是向故選C

x-3

考點.二次根式和分式有意義的條件.

7.（2024?湘潭，第4題，3分）分式方程工力的解為（）

X+2X

4.1B.2C.3D.4

點評：本題考查的是分式的混合運算，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關鍵

9.(2024?德州，第II題3分)分式方程--------4———的解是()

x-1(x-1)(x+2)

A.x=lB.x=-1+V5C.x=2D.無解

考點：解分式方程.

專題：計算題.

分析：分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分

式方程的解.

解答：解：去分母得：x(x+2)-(x-1)(x+2)=3,

去括號得：f+Zix2?x+2=3,

解得:m1,

經檢驗ml是增根，分式方程無解.

故選D.

點評：此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整

式方程求解.解分式方程肯定留意要驗根.

二.填空題

1.(2024?安徽省，第13題5分)方程?u_3的解是后6.

x-2

考點：解分式方程.

專題：計算題.

分析：分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到X的值，經檢驗即可得到

分式方程的解.

解答：解：去分母得：-12=3%-6,

解得：x=6,

經檢驗尸6是分式方程的解.

故答案為:6.

點評：此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為

整式方程求解.解分式方程肯定留意要驗根.

2.（2024?福建泉州，第10題4分）計算：」!_+_a±L=1.

2/12nH-l

考點：分式的加減法

分析：依據同分母分式相加，分母不變分子相加，可得答案.

解答：解：原式二曲吐L],

21rH4

故答案為：1.

點評：本題考查了分式的加減，同分母分式相加，分母不變分子相加.

3.（2024?云南昆明，第13題3分）要使分式」一有意義，則X的取值范圍是____.

x-10

考點：分式有意義的條件.

分析：依據分式有意義的條件可以求出x的取值范圍.

解答:解：由分式有意義的條件得：x-10^0

xwlO

故填xwlO.

點評：本題考查了分式有意義的條件：分母不為0.

4.（2024?浙江金華，第12題4分）分式方程二一二1的解是_▲.

2x-1

【答案】x=2.

【解析】

試題分析?先去掉分母，明察可得諼簡公分母是2x?l方程兩邊乘黑新公分母，可既分式方程轉

化為整式方程求解，然后解一元一次方程，最后檢驗即可求簟；

-------I=3-2x-I=-2K-T-3=-2x--4=x-2,經2是原方程的解.

2x-l

號點?解分式方程.

x____

5.（2024?浙江寧波，第14題4分）方程x-2=2-x的根產二L.

考點：解分式方程

專題：計算題.

分析：分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到工的值，

經檢驗即可得到分式方程的解.

解答：解：去分母得：尸-1,

經檢驗k-1是分式方程的解.

故答案為：■1.

點評：此題考杳了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，

把分式方程轉化為整式方程求解.解分式方程肯定留意要驗根.

6.（2024?益陽，第10題，4分）分式方程，_=3的。為戶-9.

x-32x

考點：解分式方程.

分析：分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到X的值，經檢驗即可得到分

式方程的解.

解答：解：去分母得：4,v=3x-9,

解得：入=-9,

經檢驗.『-9是分式方程的解.

故答案為：.1-9.

點評：此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整

式方程求解.解分式方程肯定留意要驗根.

7.（2024?泰州，第14題，3分）已知a2+3ab+b2=0（存0,原0）,則代數式耳蟲的值等于_

ab

3.

考點：分式的化簡求值.

22

分析：將片+3面+從=0轉化為〃2+/=-3",原式化為匕+1=-3ab,約分即可.

abab

解答：角畢：Va2+3ab+b2=O,

（r-^tr=-3ab,

.?.原式=b2+a2「3ab?3.

abab

故答案為?3.

點評：本題考查了分式的化簡求值，通分后整體代入是解題的關鍵.

8.（2024年山東泰安，第21題4分）化簡（1+^^）+j+1—的結果為___.

x-1X2-2X+1

分析-：原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，同時利用除法法則變形

約分即可得到結果.

解：原式=.X-l+2.（X-1）2=且1,6-1）2「］故答案為：X-1

X-1x+1X-1x+1

點評：此題考查了分式的混合運算，嫻熟駕馭運算法則是解本題的關鍵.

三.解答題

1.（2024?廣東，第18題6分）先化簡，再求值：（，_+」一）?（x2-1）,其中尸近二1

x-1x+13

考點：分式的化簡求值.

分析：先依據分式混合運算的法則把原式進行化簡，再把x的值代人進行計算即可.

解答：解：原式=20+1?+/但—??（f-1）

（x+1）（x-1）

=2r+2+x-1

=3x+l,

當廣造3—1時,原式二J5.

點評：本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關鍵.

2.（2024?廣東，第21題7分）某商場銷售的一款空調機每臺的標價是1635元，在一次

促銷活動中，按標價的八折銷售，仍可盈利9%.

（1）求這款空調每臺的進價（利潤率用醇售價:產價）.

進價進價

（2）在這次促銷活動中，商場銷售了這款空調機100臺，問盈利多少元？

考點：分式方程的應用.

分析：（1）利用利潤率=［性售/］產價這一隱藏的等量關系列出方程即可;

進價進價

（2）用銷售量乘以每臺的銷售利潤即可.

解答：解.：（1）設這款空調每臺的進價為x元，依據題意得：

1635X0.8-x

=9%,

解得：x=12OO,

經檢驗：.v=12OO是原方程的解.

答：這款空調每臺的進價為1200元；

（2）商場銷售這款空調機100臺的盈利為：100x1200x9%=10800元.

點評：本題考查了分式方程的應用，解題的關鍵是了解利潤率的求法.

3.（2024?珠海，第13題6分）化簡：（/+3”）J——-

a-3

考點：分式的混合運算.

專題：計算題.

分析：原式其次項約分后，去括號合并即可得到結果.

解答：解：原式=。（〃+3）理（a+3）3）

a-3

a-3

=a(a+3)x.

(a+3)(a-3)

點評；此題考查了分式的化簡求值，嫻熟駕馭運算法則是解本題的關鍵.

2

4.（2024?廣西賀州，第19題（2）4分）（2）先化簡，再求值：（aA+ab）+2&+1,

a+1

其中。=加+1,Z?=V3'1?

考點：分式的化簡求值.

專題：計算題.

分析：原式利用除法法則變形，約分得到最簡結果，將〃與力的值代入計算即可求出值.

解今解：原式（?+1）?

（a+1）2

當。:加+1，/?=V3-1時，原式=3-1=2.

點評：此題考查了分式的化簡求值，嫻熟駕馭運算法則是解本題的關鍵.

5.（2024?廣西賀州，第23題7分）馬小虎的家距離學校1800米，一天馬小虎從家去上

學，動身10分鐘后，爸爸發覺他的數學課本遺忘拿了，馬上帶上課本去追他，在距離學校

200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是馬小虎速度的2倍，求馬小虎的速度.

考點：分式方程的應用.

分析：設馬小虎的速度為x米/分，則爸爸的速度是21米/分，依據等量關系：馬小虎走600

米的時間=爸爸走1600米的時間+10分鐘.

解答：解：設馬小虎的速度為x米/分，則爸爸的速度是左米/分，依題意得

1800-12001800-200

x2x

解得%=80.

經檢驗，下80是原方程的根.

答：馬小虎的速度是80米/分.

點評：本題考查「分式方程的應用.分析題意，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵.

6.（2024?廣西玉林市、防城港市，第20題6分）先化簡，再求值：其

x2-lx-1

中x=V2-1.

考點：分式的化簡求值.

專題：計算題.

分析：原式通分并利用同分母分式的減法法則計算，約分得到最簡結果，將X的值代入計算

即可求出值.

解答：解：原式=.2xx+1X-11

(x+1)(X-1)(x+1)(X-1)(x+1)(X-1)x+1

當下加7時，原式二〒^~二退.

V2-1+12

點評：此題考查了分式的化簡求值，嫻熟駕馭運算法則是解本題的關鍵.

7.（2024年四川資陽，第17題7分）先化簡，再求值：-（。-2+3），其中，a

a+2a+2

滿意a-2=0.

考點：分式的化簡求值.

專題：計算題.

分析：原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，同時利用除法法則變形，

約分得到最簡結果，將。的值代入計算即可求出值.

解答：解：原式二a(a+2)+l+=2-4+3

a+2a+2

_(a+1)：&+2

a+2(a+1)(a-1)

---a-+-1-9

a-1

當a-2=0?即a=2時，原式=3.

點評：此題考查了分式的化簡求值，嫻熟駕馭運算法則是解本題的關鍵.

8.(2024?新疆，第17題8分)解分式方程：—~卜)=1.

X2-9x-3

考點：解分式方程.

分析：依據解分式方程的一般步驟，可得分式方程的解.

解答：解：方程兩邊都乘以(x+3)(x-3),得

3+x(x+3)=JT-9

3+A2+3x=.r-9

解得x=-4

檢驗：把戶-4代入(x+3)(x-3)和，

???x=-4是原分式方程的解.

點評：本題考查了解分式方程，先求出整式方程的解，檢驗后判定分式方程解的狀況.

9.(2024年云南省.第15題5分)化簡求值：/—X.(x-l).其中工

x2-2x+lX5

考點：分式的化簡求值.

專題：計算題.

分析：原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，約分得到最簡結果，將x

的值代入計算即可求出值.

解答：解：原式二X（"1））x-l）一-1，

（X-1）2X

當產工時，原式二國.

55

點評：此題考查了分式的化簡求值，嫻熟駕馭運算法則是解本題的關鍵.

10.（2024年云南省，笫20題6分）“母親節”前夕，某商店依據市場調查，用3000元購進

第一批盒裝花，上市后很快售完，接著又用500（）元購進其次批這種盒裝花.已知其次批所

購花的盒數是第一批所購花盒數的2倍，且每盒花的進價比第一批的進價少5元.求第一批

盒裝花每盒的進價是多少元？

考點：分式方程的應用.

分析：設第一批盒裝花的進價是x元/盒，則第一批進的數量是：衛奧，其次批進的數量

x

是：馴2,再依據等量關系：其次批進的數量;第一批進的數量x2可得方程.

x-5

解答：解：設第一批盒裝花的進價是x元/盒，則

2x3000.5000

xx-5

解得x=30

經檢驗，x=30是原方程的根.

答：第一批盒裝花每盒的進價是30元.

點評：本題考查了分式方程的應用.留意，分式方程須要驗根，這是易錯的地方.

11.（2024?舟山，第18題6分）解方程：=1.

x+1x2-l

考點：解分式方程

專題：計算題.

分析：分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分

式方程的解.

解答：解：去分母得：x（x-1）-4二『-1,

去括號得：x1-x-4=Ar-1,

解得：x=-3,

經檢驗戶?3是分式方程的解.

點評：此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整

式方程求解.

12.（2024年廣東汕尾，第23題11分）某校為美化校內，支配對面積為1800/的區域進行

綠化，支配甲、乙兩個工程隊完成.已知甲隊每天能完成綠化的面積是乙隊每天能完成綠化

的面積的2倍，并且在獨立完成面積為400棚區域的綠化時，甲隊比乙隊少用4天.

（1）求甲、乙兩工程隊每天能完成綠化的面枳分別是多少〃戶？

（2）若學校每天需付給甲隊的綠化費用為0.4萬元，乙隊為0.25萬元，要使這次的綠化總

費用不超過8萬元，至少應支配甲隊工作多少天？

分析：（1）設乙工程隊每天能完成綠化的面積是入7爐，依據在獨立完成面積為400/區域的

綠化時,甲隊比乙隊少用4天.列出方程,求解即可：

（2）設至少應支配甲隊工作x天，依據這次的綠化總費用不超過8萬元，列出不等式，求

解即可.

解:（1）設乙工程隊每天能完成綠化的面枳是工7/，依據題意得：9匹

x2x

解得：x=50經檢驗x=50是原方程的解，

則甲工程隊每天能完成綠化的面積是50x2=100（〃戶），

答：甲、乙兩工程隊每天能完成綠化的面積分別是100加、50〃也

（2）設至少應支配甲隊工作x天，依據題意得：

（）.4x+-----------x（）.25<8,解得：x>10,

50

答：至少應支配甲隊工作10天.

點評：此題考查了分式方程的應用，關鍵是分析題意，找到合適的數量關系列出方程和不等

式，解分式方程時要留意檢驗.

2,

21a+a

13.（2024?畢節地區，第22題8分）先化簡，再求值：-2a+l,其中/+〃

-2=0.

考點：分式的化簡求值：解一元二次方程一因式分解法

分析：先把原分式進行化簡，再求序+。-2=0的解，代入求值即可.

解答：解：解-2=0得〃i=1.〃2=-2.

???〃-1#),

a=-2,

???原式，三彩』

a(a-1)(a-

_a+1.(a-1)2

a(a-1)a(a+1)

a-1

J

4

本題考杳了分式的化簡求值以及因式分解法求一元二次方程的解，是重點內

容要嫻熟駕馭.

23

14.（2024?武漢，第17題6分）解方程：x-2=7

考點：解分式方程

計算題.

分析-：分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可

得到分式方程的解.

解：去分母得：2x=3>x-6,

解得：.v=6,

經檢驗46是分式方程的解.

此題考杳了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉

化為整式方程求解.解分式方程肯定留意要驗根.

2

15.（2024?襄陽，第13題3分）計算：?_A&二L_起

a2+2a&a+2

考點：分式的乘除法

專題：計算題.

分析：原式利用除法法則變形，約分即可得到結果.

解答：解：原式=（a+1,^起

a（a+2）a-1a+2

故答案為：亙也

a+2

點評：此題考查了分式的乘除法，嫻熟駕馭運算法則是解本題的關鍵.

16.（2024?襄陽,第19題6分）甲、乙兩座城市的中心火車站A,3兩站相距360k”.一列

動車與一列特快列車分別從4,4兩站同時動身相向而行，動車的平均速度比特快列車快

54kMh,當動車到達B站時，特快列車恰好到達距離A站135公〃處的C站.求動車和特快

列車的平均速度各是多少？

考點：分式方程的應用

專題：應用題.

分析：設特快列車的平均速度為.次〃皿，則動車的速度為（A+54）hM,等量關系：動車行

駛360k〃與特快列車行駛（360-135）5?所用的時間相同,列方程求解.

解答：解：設特快列車的平均速度為則動車的速度為（x+54）h"〃?，

由題意，得：360360-135,

x+54x

解得：戶90,

經檢驗得：x=90是這個分式方程的解.

X+54=144.

答：設特快列車的平均速度為90k"小，則動車的速度為144包?〃?.

點評：本題考查了分式方程的應用，解答本題的關鍵是細致審題，得到等量關系：動車行駛

360%?與特快列車行駛（360-135）%?所用的時間相同.

_L__±_

17.（2024?邵陽，第20題8分）先化簡，再求值：（X-1-x+1）?（x-I）,其中戶2.

考點：分式的化簡求值

專題：計算題.

分析：原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，約分得到最簡結

果，將X的值代入計算即可求出值.

解答:解:原式二x+1-x+1

(x+1)(x-l)

當x=2時，原式」.

3

點評:此題考查了分式的化簡求值，嫻熟駕馭運算法則是解本題的關鍵.

18.（2024?四川自貢:第21題10分）學校新到一批理、化、生試驗器材須要整理，若試驗

管理員李老師一人單獨整理須要40分鐘完成,現在李老師與工人王師傅共同整理20分鐘后，

李老師因事外出，王師傅再單獨整理了20分鐘才完成任務.

（1）王師傅單獨整理這批試驗器材須要多少分鐘？

（2）學校要求王師傅的工作時間不能超過30分鐘，要完成整理這批器材，李老師至少要工

作多少分鐘？

考點：分式方程的應用；一元一次不等式的應用

專題：應用題.

分析：（I）設王師傅單獨整理這批試驗器材須要x分鐘，則王師傅的工作效率為，依據李

老師與工人王師傅共同整理20分鐘的工作量+王師傅再單獨整理了20分鐘的工作量

=1,可得方程，解出即可；

（2）依據王師傅的工作時間不能超過30分鐘，列出不等式求解.

解答：解：（1）設王師傅單獨整理這批試驗器材須要x分鐘，則王師傅的工作效率為，由題

意，得：20（2+）+20x=l,

40

解得：x=80,

經檢驗得：x=80是原方程的根.

答：王師傅單獨整理這批試驗器材須要8（）分鐘.

（2）設李老師要工作y分鐘，

由題意，得：（1■工）-?A<30,

4080

解得：龍25.

答：李老師至少要工作25分鐘.

點評：本題考查了分式方程的應用及一元一次不等式的應用，解答本題的關鍵是細致審題,

找到不等關系及等量關系.

19.(2024.云南昆明，第17題5分)先化簡，再求值：(1+-)-^—,其中4=3.

acr-1

考點：分式的化簡求值。

分析：依據分式的加法、乘法、分解因式等運算，求出結果代入求出即可.

cr

^軍：原式二——

aa2-\

。+1a2

當。=3時,

原式=上3一二33

3-12

點評：本題考查了分式的化簡求值的應用，主要考查學生的化簡實力.

20.(2024?湘潭，第18題)先化簡，在求值：(其中x=2.

考點：分式的化簡求值.

分析：原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，同時利用除法法則變形，約分即可得到結果.

解答：解：原式

T6(x+1)4[X-16x+10.x-l6x+io

(x+1)(X-1)(x+1)(X-1)3x+2(x+1)(X-1)3x+2(x+l)(3x+2)

當x=2時?，原式-2+10=豆.

2412

點評：此題考查了分式的化簡求值，嫻熟駕馭運算法則是解本題的關鍵.

21.(2024?益陽，第16題，8分)先化簡，再求值：(^^+2)(x-2)+(x-1)2,其中

x-2

考點：分式的化簡求值.

分析：原式第一項利用乘法安排律計算，其次項利用完全平方公式綻開，去括號合并得到最

簡結果，將x的值代入計算即可求出值.

解答：解：原式=l+2x-4-x2-2K+1=W-2,

當時，原式=3-2=1.

點評：此題考查了分式的化簡求值，嫻熟駕馭運算法則是解本題的關鍵.

22.(2024?株洲，第18題，4分)先化簡，再求值：_1_?武二1?3(x-1),其中42.

x-12

考點：分式的化簡求值.

分析：原式第一項約分，去括號合并得到最簡結果，將I的值代入計算即可求出值.

解答：解：原式=_1_■(x+1)(X—1)-3/3

x-12

=2v+2-3x+3

=5-x,

當x=2時，原式=5?2=3.

點評：此題考查了分式的化簡求值，嫻熟駕馭運算法則是解本題的關鍵.

23.(2024年江蘇南京，第18題)先化簡，再求值：——-二^,其中方1.

a4-4a-2

考點：分式的化簡求值

分析：原式通分并利用同分母分式的減法法則計算，約分得到最簡結果，將。的值代入計算

即可求出值.

解答：原式=1-T——-總——L/-Sy)?士,

(a+2)(a-2)(a+2)(a~2)(a+2)(a-2)a+2

當a=lB寸，原式二--.

3

點評：此題考查了分式的化簡求值，嫻熟駕馭運算法則是解本題的關鍵.

3_1_JL

24.(2024?泰州，第18題，8分)先化簡，再求值：(1-x+2)x+1,其中4滿

x+2x

意f?x-1=0.

考點：分式的化簡求值.

分析：原式第一項括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變

形，約分后，兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算得到最簡結果，已知方程變

形后代入計算即可求出值.

解答：解：原式=x+2-3.X(x+2).上"一1雇(x+2).上內.上=￡,

x+2x_1x+1x+2x-1x+1x+1x+1

Vx2-x-1=0,?

則原式:1.

點評：此題考查了分式的化簡求值，嫻熟駕馭運算法則是解本題的關鍵.

25.(2024?揚州，第19題，8分)(1)計算：(3.14―兀)°+(■])二_2s加30°；

2

(2)化簡：亙_孑+6.x+3

x+1x2~1x2-2x+l

考點：實數的運算；分式的混合運算；零指數累；負整數指數第；特殊角的三角函數值.

專題：計算題.

分析：(1)原式第一項利用零指數累法則計算，其次項利用負指數塞法則計算，最終一項

利用特殊角的三角函數值計算即可得到結果；

(2)原式其次項利用除法法則變形，約分后兩項利用同分母分式的減法法則計算.即

可得到結果.

解答：解:(1)原式=1+4-1=4；

2

(2)原式二0--2(x+3)_____.(x-1)=_2X.2(x-1)

x+1(x+1)(X-1)x+3x+1x+1x+1

點評：此題考查了實數的運算，以及分式的混合運算，嫻熟駕馭運算法則是解本題的關鍵.

26.(2024?揚州，第24題，10分)某漆器廠接到制作480件漆器的訂單，為了盡快完成任

務，該廠實際每天制作的件數比原來每天多50%,結果突前10天完成任務.原來每天制作

多少件？

考點：分式方程的應用.

分析：設原來每天制作x件，依據原來用的時間-現在用的時間=10,列出方程，求出x的

值，再進行檢驗即可.

解答：解：設原來每天制作x件，依據題意得：

480,480

x(1+50%)x'

解得：A-16,

經檢驗A16是原方程的解，

答：原來每天制作16件.

點評：此題考查了分式方程的應用，分析題意，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵，本

題的等量關系是原來用的時間■現在用的時間=10.

27.(2024?揚州，第26題，10分)對x,y定義一種新運算。規定：T(x,)，)=羿X(其

中〃、方均為非零常數)，這里等式右邊是通常的四則運算，例如：7(0,1)=aX0+bX1=/7.

2XQ+1

(1)已知7(1,-1)=-2,T(4,2)=1.

①求。，。的值；

②若關于機的不等式組［T產皿5-恰好有3個整數解，求實數〃的取值范闈；

T(m,3-2m)>p

(2)若TCx,y)=T(y,x)對隨意實數x,y都成立(這里T(x,y)和T(y,x)均有意

義)，則小人應滿意怎樣的關系式？

考點：分式的混合運算；解二元一次方程組；一元一次不等式組的整數解

分析：(I)①已知兩對值代入7中計算求出〃與力的值；

②依據題中新定義化簡已知不等式，依據不等式組恰好有3個整數解，求出〃的范圍

即可：

(2)由7(%,>>)=T(>>,x)列出關系式，整理后即可確定出。與力的關系式.

解答：解：(1)①依據題意得：T(l,-1)=^2i=-2,即〃-b=-2；

2-1

T=(4,2)=la±2b=i,即2。+匕=5,

8+2

解得：6=3；

2m+3(5-4m)

<4?

41rH*5-4m

②依據題意得:

irrf-3(3-2m)

》②

2nH*3-2m

由①得：論■工：

2

由②得：包，

5

???不等式組的解集為-工加〈上③，

25

???不等式組恰好有3個整數解,即用=0,1,2,

5

解得：-29V--；

3

（2）由T（x,y）=T（y,x）,得到也空空型，

2x+y2y+x

整理得：（x2-y2）（2b-a）=0,

T（x,y）=T（y,x）對隨意實數x,y都成立，

.*.2b-?=0,即a=2Z?.

點評：此題考查了分式的濕合運算，解二元一次方程組，以及一元一次不等式組的整數解，

弄清題中的新定義是解本題的關鍵.

28.（2024?株洲，第18題，4分）先化簡，再求值：_1_?武二1?3（x-I）,其中尸2.

x-12

考點：分式的化簡求值.

分析：原式第一項約分，去括號合并得到最簡結果，將］的值代入計算即可求出值.

解答：解：原式=，-?（/1）_（X-0-3.r+3=2x+2-3x+3=5-x,

x-12

當x=2時，原式=5-2=3.

點評：此題考查了分式的化簡求值，嫻熟駕馭運算法則是解本題的關鍵.

29.（2024?益陽，第16題，8分）先化簡，再求值：（二一+2）（x-2）+（x-I）2,其中

x-2

考點：分式的化簡求值.

分析：原式第一項利用乘法安排律計算，其次項利用完仝平方公式綻開，去括號合并得到最

簡結果，將X的值代入計算即可求出值.

解答：解：原式=l+2x-4-f-2x+1=A2-2,

當尸時，原式=3-2=1.

點評：此題考查了分式的化簡求值，嫻熟駕馭運算法則是解本題的關鍵.

30.（2024?呼和浩特，第17題5分）計算

（2）解方程：—^—-—1~=0.

X2+2Xx-2x

考點：解分式方程.

分析：（2）先去分母，化為整式方程求解即可.

解答：解：（2）去分母，得-6x-x2-2v=0,

解得汨=0,X2=4,

經檢驗：x=0是增根，

故工=4是原方程的解.

點評：本題考查了解分式方程，是基礎學問要嫻熟駕馭.

x2_1__X?-x

--------2

31.(2024?濱州，第20題7分)計算：x+1-x-2x+l.

考點：分式的乘除法

分析：把式子中的代數式進行因式分解，再約分求解.

解答：做X2-1X2~X(x+1)(X-1)X(X-1)

x+1x2-2x+lx+1(x-1)2

點評：本題主要考查分式的乘除法，解題的關鍵是進行因式分解再約分.

a-卜/一b2

32.(2024?德州，第18題6分)先化簡，再求值：----/--------I.其中〃=2s加60。

22

a+2ba+4ab+4b

-鼠〃?45°,b=\.

考點：分式的化簡求值；特殊角的三角函數值

分析：先依據分式混合運算的法則把原式進行化簡，再求出。的值，把。、〃的值代入進行

計算即可.

解答：加國士a-b.(a+b)(a-b)

解：原式二---------------------——-1

2

a+2b(a+2b)

a-b(a+2b)2

=------?------------------------I

a+2b(a+b)(a-b)

_a+2b_?

a+b

-,---b--,

a+b

當a=2sin600-心〃45。=2*立-\=J~j-1，氏1時，

2

原式=(,V/-3-iD、——+1=7-1=T=—3.

點評：本題考查了分式的化簡求值和特殊角的三角函數值，要熟記特殊角的三角函數值.

33.(2024?荷澤，第16題6分)

(2)已知x2-4x+l=0,求2(X-?,_也的值.

x-4x

考點:分式的化簡求值.

分析:(2)化簡以后，用整體思想代入即可得到答案.

解答:“、肉I、2x(x-1)-(x-4)(x-6)

解：(2)原式二--------------7-------K-------------------

x(x-4)

x2-4x124

x2-4x

,.*.r2-4.r+l=0,.*.x2-4.r=-I,

原式=-23

點評：本題考查了分式的化簡，學會用整體思想解答有關問題是我們學習的關

鍵.

34.(2024?濟寧，第16題6分)已知x+尸中求代數式工+1-(1-x)(I-y)的值.

xy

考點：分式的化簡求值.

分析：首先將所求代數式綻開化簡，然后整體代入即可求值.

解答：解：:x+y=x.y,

:.—+--(1-x)(1-y)

xy

=力-(l-x-y+9)

xy

=x+y-1+x+y-x)!

xy

=1-1+0

點評：此題考查了代數式求值，利用了整體代入的思想，是一道基本題型

35.（2024?濟寧，第19題8分）濟寧市“五城同創”活動中，一項綠化工程由甲、乙兩工程隊

擔當.已知甲工程隊單獨完成這項工作需120天，甲工程隊單獨工作30天后，乙工程隊參

加合做，兩隊又共同工作了36天完成.

（1）求乙工程隊單獨完成這項工作須要多少天？

（2）因工期的須要，將此項工程分成兩部分，甲做其中一部分用了x天完成，乙做另一部

分用了），天完成，其中x、y均為正整數，且xV46,>><52,求甲、乙兩隊各做了多少天？

考點：分式方程的應用；一元一次不等式組的應用.

分析：（1）設乙工程隊單獨完成這項工作須要工天，由題意列出分式方程，求出x的值即

可；

（2）首先依據題意列出工和），的關系式，進而求出工的取值范圍，結合x和），都是正

整數，即可求出x和），的值.

解答：解：（1）設乙T程隊單獨完成這項T作須要工天,由題意得

型+36CJ）=1,解之得％=80,

120120x

經檢驗480是原方程的解.

答：乙工程隊單獨做須要80天完成；

（2）因為甲隊做其中一部分用了x天，乙隊做另一部分用了y天，

所以一三.十工=1,即y=80-4,又x<46,）V52,

120^03

80修〈52

所以3,解之得42VxV46,

x<46

因為x、y均為正整數，所以x=45,）=50,

答：甲隊做了45天，乙隊做了50天.

點評：本題考查分式方程的應用，分析題意，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵.此題

涉及