三十直線與平面平行的性質定理(時間:45分鐘分值:85分)【基礎全面練】1.(5分)若直線l∥平面α,則過l作一組平面與α相交,記所得的交線分別為a,b,c…,那么這些交線的位置關系為()A.都平行B.都相交且一定交于同一點C.都相交但不一定交于同一點D.都平行或交于同一點【解析】選A.因為直線l∥平面α,所以根據直線與平面平行的性質知l∥a,l∥b,l∥c,…,所以a∥b∥c∥….2.(5分)如圖所示的三棱柱ABCA1B1C1中,過A1B1的平面與平面ABC交于DE,則DE與AB的位置關系是()A.異面 B.平行C.相交 D.以上均有可能【解析】選B.在三棱柱ABCA1B1C1中,AB∥A1B1,因為AB?平面ABC,A1B1?平面ABC,所以A1B1∥平面ABC,因為過A1B1的平面與平面ABC交于DE,所以DE∥A1B1,所以DE∥AB.3.(5分)如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,AB=2,點E為AD的中點,點F在CD上,若EF∥平面AB1C,則線段EF的長度為()A.12 B.1 C.2 D.【解析】選C.因為EF∥平面AB1C,EF?平面ABCD,平面AB1C∩平面ABCD=AC,所以EF∥AC.又因為點E為AD的中點,點F在CD上,所以點F是CD的中點,所以EF=12AC=24.(5分)(多選)下列說法中正確的是()A.一條直線如果和一個平面平行,它就和這個平面內的無數條直線平行B.一條直線和一個平面平行,它就和這個平面內的任何直線無公共點C.過直線外一點,有且僅有一個平面和已知直線平行D.如果直線l和平面α平行,那么過平面α內一點和直線l平行的直線在α內【解析】選ABD.根據線面平行的性質定理可知:直線與平面內的無數條直線平行,A正確.根據線面平行的定義,直線與平面平行,則直線與平面內的任何直線無公共點,B正確.C中可以作無數個平面與直線平行,錯誤.根據直線l與平面α內一定點可以確定一個平面β,則平面α與平面β的交線與直線l平行,且在平面α內,D正確.5.(5分)(多選)如圖,在四棱錐PABCD中,M,N分別是AC,PC上的點,且MN∥平面PAD,則()A.MN∥PD B.MN∥平面PABC.MN∥AD D.MN∥PA【解析】選BD.因為MN∥平面PAD,MN?平面PAC,平面PAC∩平面PAD=PA,所以MN∥PA,因為PA?平面PAB,MN?平面PAB,因此,MN∥平面PAB.6.(5分)在正方體ABCDA1B1C1D1中,若過A,C,B1三點的平面與底面A1B1C1D1的交線為l,則l與A1C1的位置關系是________.

【解析】如圖,易知AC∥平面A1B1C1D1.又因為平面ACB1經過直線AC與平面A1B1C1D1相交于直線l,所以AC∥l,又因為AC∥A1C1,所以l∥A1C1.答案:平行7.(5分)如圖所示,ABCDA1B1C1D1是棱長為a的正方體,M,N分別是下底面的棱A1B1,B1C1的中點,P是上底面的棱AD上的一點,AP=a3,過P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,則PQ=__________【解析】因為MN∥平面AC,平面PMN∩平面AC=PQ,所以MN∥PQ.因為MN∥A1C1∥AC,所以PQ∥AC.因為AP=a3,所以DP=DQ=2a3.所以PQ=2×2答案:228.(5分)如圖所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D為AA1的中點,點P在側棱CC1上運動,當點P________時,A1P∥平面BCD.

【解析】如圖,假設A1P∥平面BCD.因為A1P?平面AA1C1C,平面AA1C1C∩平面BDC=DC,所以A1P∥CD.又因為D為AA1的中點,所以P為CC1的中點.答案:是CC1的中點9.(10分)求證:若兩個相交平面分別過兩條平行直線,則它們的交線和這兩條平行直線平行.【證明】已知:a∥b,a?α,b?β,α∩β=l.求證:a∥b∥l.如圖所示,因為a∥b,b?β,a?β,所以a∥β,又因為a?α,α∩β=l,所以a∥l,又因為a∥b,所以a∥b∥l.【綜合應用練】10.(5分)設a,b是兩條直線,α,β是兩個平面,若a∥α,a?β,α∩β=b,則α內與b相交的直線與a的位置關系是()A.平行 B.相交C.異面 D.平行或異面【解析】選C.條件即為線面平行的性質定理,所以a∥b,又a與α無公共點,所以α內與b相交的直線與a異面.11.(5分)(多選)在空間四邊形ABCD中,E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA上的點,當BD∥平面EFGH時,下面結論正確的有()A.E,F,G,H一定是各邊的中點B.G,H一定是CD,DA的中點C.AE∶EB=AH∶HD且BF∶FC=DG∶GCD.四邊形EFGH是平行四邊形或梯形【解析】選CD.由BD∥平面EFGH和線面平行的性質定理,得BD∥EH,BD∥FG,則AE∶EB=AH∶HD且BF∶FC=DG∶GC,且EH∥FG,所以四邊形EFGH是平行四邊形或梯形.12.(5分)如圖,四邊形ABCD為正方形,E,F分別為AB,AD的中點,N是平面ABCD外一點,設AC∩BD=O,P為NC上一點,若OP∥平面NEF,則NP∶PC=__________.

【解析】設AC∩EF=H,連接NH.因為OP∥平面NEF,平面NEF∩平面NHC=NH,OP?平面NHC,所以OP∥NH,所以NP∶PC=HO∶OC.在正方形ABCD中,因為E,F分別為AB,AD的中點,所以HO∶OC=1∶2.所以NP∶PC=1∶2.答案:1∶2【補償訓練】如圖,已知三棱柱ABCA1B1C1中,E是BC上的動點,D是AA1上的動點,且ADDA1=m,AE∥平面(1)若E是BC的中點,則m的值為________;

(2)若E是BC上靠近B的三等分點,則m的值為________.

【解析】(1)如圖,設G是CB1上一點,連接DG,GE.因為AE∥平面DB1C,所以AE∥DG.又AD∥平面CBB1C1,所以AD∥EG,則四邊形DAEG是平行四邊形.故DA=GE,所以G是CB1的中點.故AD=DA1,即ADDA1=1,即(2)如圖,設H是CB1上一點,連接DH,HE.因為AE∥平面DB1C,所以AE∥DH,又AD∥BB1,所以AD∥平面CBB1C1,所以AD∥EH,故四邊形DAEH是平行四邊形,則AD=EH,因為EH∥BB1,所以EHBB1=CE所以ADAA1=EH則ADDA1=2,即答案:(1)1(2)213.(10分)求證:如果一條直線和兩個相交平面都平行,那么這條直線和它們的交線平行.【證明】已知直線a,l,平面α,β滿足α∩β=l,a∥α,a∥β.求證:a∥l.證明如下:如圖所示,過a作平面γ交平面α于b,因為a∥α,所以a∥b.同樣過a作平面δ交平面β于c,因為a∥β,所以a∥c.則b∥c.又因為b?β,c?β,所以b∥β.又因為b?α,α∩β=l,所以b∥l.又因為a∥b,所以a∥l.14.(10分)如圖,已知四邊形ABCD是平行四邊形,點P是平面ABCD外一點,M是PC的中點,在DM上取一點G,過G和AP作平面交平面BDM于GH.求證:(1)AP∥平面BDM;(2)AP∥GH.【證明】(1)如圖,連接AC,交