工程力學(xué)

1力

法

10.1超靜定結(jié)構(gòu)及超靜定次數(shù)10.2力法的基本原理10.3力法計算常用超靜定結(jié)構(gòu)的方法10.4對稱性的利用10.5超靜定結(jié)構(gòu)在溫度變化或支座移動時的計算本章學(xué)習(xí)內(nèi)容

10.1.1超靜定結(jié)構(gòu)與靜定結(jié)構(gòu)比較，超靜定結(jié)構(gòu)有如下特性：靜定結(jié)構(gòu)是無多余約束的幾何不變體系，僅由平衡條件就可確定全部內(nèi)力和反力；而超靜定結(jié)構(gòu)是具有多余約束的幾何不變體系，僅由平衡條件不能確定全部內(nèi)力和反力，還必須考慮變形協(xié)調(diào)條件。由于具有多余約束，因支座移動、溫度改變等原因，均會使超靜定結(jié)構(gòu)產(chǎn)生內(nèi)力。靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力與自身剛度無關(guān)，而超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力與結(jié)構(gòu)剛度有關(guān)。10.1

超靜定結(jié)構(gòu)及超靜定次數(shù)10.1.1超靜定結(jié)構(gòu)求解超靜定問題，必須綜合考慮以下三個方面的條件:（1）平衡條件即結(jié)構(gòu)的整體及任何一部分的受力狀態(tài)都應(yīng)滿足平衡方程。（2）幾何條件也稱為變形條件或位移條件、協(xié)調(diào)條件、相容條件等，即結(jié)構(gòu)的變形和位移條件必須符合支承約束條件和各部分之間的變形連續(xù)條件。（3）物理條件即變形或位移與力之間的物理關(guān)系即符合材料性能的本構(gòu)關(guān)系。10.1

超靜定結(jié)構(gòu)及超靜定次數(shù)10.1.2超靜定次數(shù)的確定結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)等于將原結(jié)構(gòu)變成靜定結(jié)構(gòu)所去除的多余約束的數(shù)目。解除約束的方法有以下幾種：1）去掉一個支鏈桿相當(dāng)于解除一個約束。2）去掉一個鉸相當(dāng)于解除兩個約束。10.1

超靜定結(jié)構(gòu)及超靜定次數(shù)10.1.2超靜定次數(shù)的確定結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)等于將原結(jié)構(gòu)變成靜定結(jié)構(gòu)所去除的多余約束的數(shù)目。解除約束的方法有以下幾種：3）去掉一個固定端相當(dāng)于解除三個約束。4）切斷一個梁式桿相當(dāng)于解除三個約束。10.1

超靜定結(jié)構(gòu)及超靜定次數(shù)10.1.2超靜定次數(shù)的確定結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)等于將原結(jié)構(gòu)變成靜定結(jié)構(gòu)所去除的多余約束的數(shù)目。解除約束的方法有以下幾種：5）切斷梁式桿加入一個鉸或?qū)⒐潭ㄖё臑楣潭ㄣq支座，相當(dāng)于解除一個約束。10.1

超靜定結(jié)構(gòu)及超靜定次數(shù)10.2力法的基本原理10.2.1力法的基本概念力法以去掉多余約束得到的靜定基本結(jié)構(gòu)作為力法基本體系，以多余未知力作為力法的基本未知量，通過基本體系中沿多余未知力方向的位移應(yīng)等于原結(jié)構(gòu)相應(yīng)的位移來建立力法基本方程，解方程求出多余未知力；多余未知力求出以后，其它反力和內(nèi)力的計算問題就轉(zhuǎn)化為靜定結(jié)構(gòu)的計算問題，可按疊加法或平衡條件計算。10.2.2力法的基本思路力法的基本思路是設(shè)法將未知的超靜定問題轉(zhuǎn)換成已知的靜定問題來解決。舉例說明：一端固定另一端可動鉸支的超靜定梁，具有一個多余的聯(lián)系（約束）。1.基本結(jié)構(gòu)確定基本結(jié)構(gòu)：解除多余約束（例如圖b解除B點的支座）可使超靜定結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換成靜定結(jié)構(gòu)，這個靜定結(jié)構(gòu)稱為基本結(jié)構(gòu)。還可在A端解除限制截面相對轉(zhuǎn)動的約束，一個超靜定結(jié)構(gòu)的基本結(jié)構(gòu)可有多種可能。不同的基本結(jié)構(gòu)的求解工作量會有所不同。10.2力法的基本原理10.2.2力法的基本思路2.基本未知量這些未知的約束力稱為基本未知量。基本未知量即為超靜定結(jié)構(gòu)的多余約束的個數(shù)。10.2力法的基本原理10.2.2力法的基本思路3.基本體系受有外荷載和基本未知量的基本結(jié)構(gòu)稱為基本體系。10.2力法的基本原理10.2.2力法的基本思路4.力法方程基本體系在荷載和基本未知力共同作用下的位移，可以由疊加原理用靜定結(jié)構(gòu)的位移計算方法得到。由圖d、e位移疊加可得力法方程10.2力法的基本原理10.2.2力法的基本思路5.力法典型方程δij——位移系數(shù)，基本結(jié)構(gòu)在單位力Xj=1作用下，在Xi=1作用處沿Xi方向所產(chǎn)生的位移。δii——主系數(shù)，基本結(jié)構(gòu)在單位力Xi=1作用下，在Xi=1作用處沿Xi方向所產(chǎn)生的位移。δij——副系數(shù)，基本結(jié)構(gòu)在單位力Xj=1作用下，在Xi=1作用處沿Xi方向所產(chǎn)生的位移。主系數(shù)恒大于零，副系數(shù)可為正、負或零。力法方程的系數(shù)只與結(jié)構(gòu)本身和基本未知力的選擇有關(guān)，是基本結(jié)構(gòu)的固有特性，與結(jié)構(gòu)上的外因無關(guān)。力法典型方程10.2力法的基本原理10.2.2力法的基本思路5.力法典型方程ΔiF——廣義荷載位移，基本結(jié)構(gòu)所受外因引起的沿Xi方向所產(chǎn)生的位移。ΔiC——支座移動和溫度變化所產(chǎn)生的沿Xi方向的位移。（可為正、負或零）10.2力法的基本原理10.2.3力法的解題步驟（1）確定超靜定次數(shù)和基本結(jié)構(gòu)及其基本體系。顯然，隨著超靜定次數(shù)的確定，基本結(jié)構(gòu)、基本未知力、基本體系等自然可以確定下來。需要指出的是，一個超靜定結(jié)構(gòu)可以用不同的基本結(jié)構(gòu)分析，不同基本結(jié)構(gòu)計算工作量將不同，要選取工作量較少的基本結(jié)構(gòu)。（2）作基本結(jié)構(gòu)在單位未知力和荷載（如果有）作用下的內(nèi)力圖為了求基本結(jié)構(gòu)在未知力、外因作用下的位移（Δij=δijXj、ΔiF），由靜定結(jié)構(gòu)位移計算可知，必須要有單位內(nèi)力圖和荷載內(nèi)力圖。1）對桁架結(jié)構(gòu)，內(nèi)力是軸力。2）對受彎結(jié)構(gòu)，剪力和軸力對變形的影響可以忽略，因此內(nèi)力是彎矩。3）對于組合結(jié)構(gòu)，桁架桿是軸力、彎曲桿是彎矩。4）對于拱，一般是彎矩和軸力。（3）求基本結(jié)構(gòu)在各單位未知力作用下所引起的沿某單位未知力方向的位移δij，對線性結(jié)構(gòu)δij由單位內(nèi)力圖計算。（4）求外因作用（外荷載、溫度改變、支座移動等）引起基本結(jié)構(gòu)沿單位力方向的位移ΔiF可由第i單位內(nèi)力（反力）根據(jù)各種外因引起的位移計算公式來求。10.2力法的基本原理10.2.3力法的解題步驟（5）建立力法方程并求解求得δij、ΔiF后，即可建立力法典型方程（6）作超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力圖根據(jù)疊加原理，在求得未知力后，由單位內(nèi)力乘以對應(yīng)未知力后和荷載（有的話）內(nèi)力疊加，即可得到超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力，依此可作內(nèi)力圖。受彎結(jié)構(gòu)和靜定結(jié)構(gòu)一樣按彎矩、剪力、軸力的順序來計算。也可將已求得的與荷載加到基本結(jié)構(gòu)上，然后按靜定結(jié)構(gòu)的方法計算全結(jié)構(gòu)內(nèi)力。（7）求超靜定結(jié)構(gòu)位移雖然基本結(jié)構(gòu)有無窮種，但解答是唯一的，這一解答可看作是從任一基本結(jié)構(gòu)求得。所以，有了內(nèi)力，從任一基本體系出發(fā)，可以按靜定結(jié)構(gòu)受（多種）外因作用求位移的方法，求超靜定結(jié)構(gòu)外因下的位移。（8）校核分析結(jié)果由于單位內(nèi)力、荷載內(nèi)力都是平衡的，因此即使未知力計算有錯，疊加結(jié)果仍必然自動滿足平衡條件。所以，力法的校核主要是檢查變形條件，也即計算位移看是否滿足協(xié)調(diào)條件。10.2力法的基本原理10.3力法計算常用超靜定結(jié)構(gòu)的方法10.3.1超靜定梁【例10-1】試求作圖a所示單跨梁的彎矩圖。【解】（1）此梁超靜定次數(shù)為1，取圖b為基本結(jié)構(gòu)，基本體系如圖c。（2）單位彎矩圖如圖d，荷載彎矩圖如圖e。（3）由M圖自乘可得由M圖和MF圖互乘可得（4）由力法典型方程可得當(dāng)α=1時（5）由疊加可得圖f所示單跨梁的彎矩圖。10.3.1超靜定梁【例10-2】試求作圖a所示單跨梁的彎矩圖。【解1】（1）此梁超靜定次數(shù)為3，取圖b為基本結(jié)構(gòu)，基本體系如圖c。（2）單位彎矩圖如圖e、f、g，荷載彎矩圖如圖d。（3）由單位內(nèi)力圖的自乘和互乘可得（4）由Mi（i=1,2,3）圖和MF圖互乘可得10.3力法計算常用超靜定結(jié)構(gòu)的方法10.3.1超靜定梁【例10-2】試求作圖a所示單跨梁的彎矩圖。【解1】（5）由力法典型方程（6）由可得圖h所示的彎矩圖。10.3力法計算常用超靜定結(jié)構(gòu)的方法10.3.1超靜定梁【例10-2】試求作圖a所示單跨梁的彎矩圖。【解2】（1）此梁超靜定次數(shù)為3，取圖b為基本結(jié)構(gòu)，基本體系如圖c。（2）單位彎矩圖如圖d、e、f，荷載彎矩圖如圖g。（3）由單位內(nèi)力圖的自乘和互乘可得如下位移系數(shù)：10.3力法計算常用超靜定結(jié)構(gòu)的方法10.3.1超靜定梁【例10-2】試求作圖a所示單跨梁的彎矩圖。【解2】（4）由Mi（i=1,2,3）圖和MF圖互乘可得（5）由力法典型方程（6）由可得圖h所示的彎矩圖。10.3力法計算常用超靜定結(jié)構(gòu)的方法10.3.1超靜定梁【例10-3】試求作圖a所示單跨梁的彎矩圖。【解】（1）此梁超靜定次數(shù)為1，取圖b為基本結(jié)構(gòu)，基本體系如圖c。（2）荷載彎矩圖如圖d，單位彎矩圖如圖e。（3）由M1圖自乘可得（4）由M1圖和MF圖互乘可得（5）由力法典型方程可得（6）由疊加可得圖f所示單跨梁的彎矩圖。10.3力法計算常用超靜定結(jié)構(gòu)的方法10.3.2超靜定剛架【例10-4】圖a為一次超靜定剛架，試作出其結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖，EI為常數(shù)。【解】（1）此剛架超靜定次數(shù)為1，取圖b為基本結(jié)構(gòu)，基本體系如圖c。（2）荷載彎矩圖如圖d，單位彎矩圖如圖e。（3）由單位內(nèi)力圖的自乘可得如下位移系數(shù)：（4）由M1圖和MF圖互乘可得（5）由力法典型方程可得（6）由可得圖f所示的彎矩圖。10.3力法計算常用超靜定結(jié)構(gòu)的方法10.3.2超靜定剛架【例10-5】如圖a所示，為一端固定另一端鉸支的超靜定梁，具有2個多余的聯(lián)系。求剛架內(nèi)力。【解】（1）此剛架超靜定次數(shù)為2，取圖b為基本結(jié)構(gòu)，基本體系如圖c。（2）荷載彎矩圖如圖d，單位彎矩圖如圖e、f。（3）由單位內(nèi)力圖的自乘可得如下位移系數(shù)：（4）由Mi（i=1,2,3）圖和MF圖互乘可得（5）由力法典型方程可得（6）由可得圖f所示的彎矩圖。10.3力法計算常用超靜定結(jié)構(gòu)的方法10.3.2超靜定剛架【例10-6】試求作圖a所示剛架的彎矩圖。【解】（1）此剛架超靜定次數(shù)為2，取圖b為基本結(jié)構(gòu)，基本體系如圖c。（2）荷載彎矩圖如圖d，單位彎矩圖如圖e、f。（3）由單位內(nèi)力圖的自乘和互乘可得如下位移系數(shù)：（4）由Mi（i=1,2）圖和MF圖互乘可得（5）由力法典型方程可得

（6）由可得圖f所示的彎矩圖。10.3力法計算常用超靜定結(jié)構(gòu)的方法10.3.3超靜定排架【例10-7】如圖a所示排架結(jié)構(gòu)及簡圖b，計算圖c排架結(jié)構(gòu)彎矩圖（E為常數(shù)）。【解】（1）此排架超靜定次數(shù)為1，取圖d為基本結(jié)構(gòu)，基本體系如圖e。（2）荷載彎矩圖如圖f，單位彎矩圖如圖g。（3）由單位內(nèi)力圖的自乘以及和MF圖互乘可得：（4）由力法典型方程可得

（5）由可得圖h所示的彎矩圖。10.3力法計算常用超靜定結(jié)構(gòu)的方法10.3.4超靜定桁架【例10-8】求解圖a所示1次超靜定桁架的內(nèi)力。【解】（1）此桁架超靜定次數(shù)為1，取圖b為基本結(jié)構(gòu)，基本體系如圖c。（2）荷載彎矩圖如圖d，單位彎矩圖如圖e。（3）由單位彎矩圖(圖e)的自乘可得位移系數(shù)：（4）由M1圖和MF圖互乘可得

（5）列力法典型方程（6）由可得圖f所示的彎矩圖。10.3力法計算常用超靜定結(jié)構(gòu)的方法10.3.5超靜定組合結(jié)構(gòu)【例10-9】試求圖a所示超靜定組合結(jié)構(gòu)各桁架桿的內(nèi)力。（1）此組合結(jié)構(gòu)超靜定次數(shù)為1，取圖b為基本結(jié)構(gòu)，基本體系如圖c。（2）基本結(jié)構(gòu)在單位力作用下的內(nèi)力如圖d、在荷載作用下的彎矩圖如圖e。（3）由單位內(nèi)力可求得（4）由單位彎矩圖和荷載彎矩圖圖乘可得（5）列力法典型方程（6）由可得圖e所示的彎矩圖。10.3力法計算常用超靜定結(jié)構(gòu)的方法10.3.5超靜定組合結(jié)構(gòu)【例10-10】試求圖a所示超靜定組合結(jié)構(gòu)各桁架桿的內(nèi)力。EI=9EA。（1）此組合結(jié)構(gòu)超靜定次數(shù)為1，取圖b為基本結(jié)構(gòu)，基本體系如圖c。（2）基本結(jié)構(gòu)在單位力作用下的內(nèi)力如圖d、在荷載作用下的彎矩圖如圖e。（3）由單位內(nèi)力可求得（4）由單位彎矩圖和荷載彎矩圖圖乘可得（5）列力法典型方程（6）由可得圖f所示的彎矩圖。10.3力法計算常用超靜定結(jié)構(gòu)的方法10.4對稱性的利用10.4.1對稱性1.結(jié)構(gòu)的對稱性對稱結(jié)構(gòu)是指幾何形狀、支座情況、剛度都對稱于某軸的結(jié)構(gòu)。10.4.1對稱性2.荷載的對稱性1）對稱荷載——繞對稱軸對折后，對稱軸兩邊的荷載等值、作用點重合、同向。在大小相等、作用點對稱的前提下，與對稱軸垂直反向布置的荷載、與對稱軸平行同向布置的荷載、與對稱軸重合的集中力是對稱荷載。如圖b所示。2）反對稱荷載——繞對稱軸對折后，對稱軸兩邊的荷載等值、作用點重合、反向。在大小相等、作用點對稱的前提下，與對稱軸垂直同向布置的荷載、與對稱軸平行反向布置的荷載、垂直作用在對稱軸上的荷載、位于對稱軸上的集中力偶是反對稱荷載。如圖c所示。對稱結(jié)構(gòu)一般荷載可以通過荷載變化成為對稱荷載和反對稱荷載的疊加。10.4對稱性的利用10.4.2取對稱的基本體系計算沿對稱軸上梁的中央截面切開，三對多余未知力中，彎矩X1和軸力X2是對稱未知力，剪力X3是反對稱未知力。對稱未知力產(chǎn)生的單位彎矩圖和變形圖是對稱的；反對稱未知力產(chǎn)生的單位彎矩圖和變形圖是反對稱的。力法方程中的系數(shù)：力法方程可簡化為：MF對稱MF反對稱10.4對稱性的利用10.4.3取等代結(jié)構(gòu)計算對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下位于對稱軸上的截面，水平位移和轉(zhuǎn)角為零，只有豎向位移。1）奇數(shù)跨（無中柱）對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下的等代結(jié)構(gòu)是將對稱軸上的截面切開設(shè)置成定向支座，取半邊結(jié)構(gòu)。2）偶數(shù)跨（有中柱）對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下的等代結(jié)構(gòu)取法：將對稱軸上的剛結(jié)點、組合結(jié)點化成固定端，鉸結(jié)點化成固定鉸支座，取半邊結(jié)構(gòu)。對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下位于對稱軸上的截面，豎向位移為零，水平位移和轉(zhuǎn)角不為零。1）奇數(shù)跨（無中柱）對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下的等代結(jié)構(gòu)是將對稱軸上的截面切開設(shè)置成與對稱軸重合的支桿，取半邊結(jié)構(gòu)。2）偶數(shù)跨（有中柱）對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下的等代結(jié)構(gòu)是將對稱軸上的柱子的剛度折半，取半邊結(jié)構(gòu)。10.4對稱性的利用10.4.3取等代結(jié)構(gòu)計算【例10-11】分析并繪制圖a所示結(jié)構(gòu)的彎矩圖。（1）方程：根據(jù)對稱性：

得：10.4對稱性的利用10.5超靜定結(jié)構(gòu)在溫度變化或支座移動時的計算10.5.1由于溫度變化引起超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力變化的計算【例10-12】已知：如圖所示，EI=常數(shù)，h=600m，E=2×107kPa，溫度膨脹系數(shù)α=0.00001。求：M、N。（1）基本體系。（2）力法方程：基本結(jié)構(gòu)在多余約束力和溫度改變的共同作用下，去掉約束處的位移為原結(jié)構(gòu)的實際位移。（3）求系數(shù)和自由項。

（4）作內(nèi)力圖：基本結(jié)構(gòu)（靜定）在溫度改變時，不產(chǎn)生內(nèi)力，故內(nèi)力由多余約束引起。

結(jié)論：溫度改變引起的內(nèi)力及支反力與剛度（如EI）成正比，與線膨脹系數(shù)成正比。

10.5.1由于溫度變化引起超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力變化的計算【例10-13】已知：如圖所示，t2

﹥t1﹥0；（h=l/10）。求：M、N。10.5超靜定結(jié)構(gòu)在溫度變化或支座移動時的計算10.5.1由于溫度變化引起超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力變化的計算【例10-14】試求作圖a所示定向支座單跨梁由圖示溫度引起的彎矩圖。材料線脹系數(shù)為α。（1）此梁不計軸向未知力后，超靜定次數(shù)為1，取圖b為基本結(jié)構(gòu)，基本體系如圖c。（2）單位彎矩圖如圖d。（3）由圖自乘可得。從圖可見，，由溫度引起的位移計算可得

（4）由力法典型方程得由此可得圖e所示彎矩圖。10.5超靜定結(jié)構(gòu)在溫度變化或支座移動時的計算10.5.2由于支座位移引起超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力變化的計算【例10-15】求圖所示一次超靜定梁由于支座位移引起的內(nèi)力。【解1】（1）基本體系（2）力法方程：基本結(jié)構(gòu)在多余約束力和支座位移的作用下，去掉約束處的位移為零。

（3）求系數(shù)和自由項。10.5超靜定結(jié)構(gòu)在溫度變化或支座移動時的計算10.5.2由于支座位移引起超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力變化的計算【例10-15】求圖所示一次超靜