學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精皰工巧解牛知識?巧學一、平面幾何中的向量方法用向量知識證明平面幾何問題是向量應用的一個方面,解決這類題的關鍵是正確選擇基底，表示出相關向量,這樣平面圖形的許多性質，如長度、夾角等都可以通過向量的線性運算及數量積表示出來，從而把幾何問題轉化成向量問題，再通過向量的運算法則運算就可以達到解決幾何問題的目的了.用向量法(即以向量和向量的運算為工具，對幾何元素及其關系進行討論）證明幾何問題需把點、線、面等幾何要素直接歸為向量，對這些向量借助于它們之間的運算進行討論，然后把這些結果翻譯成點、線、面的相應結果，可簡單地表述為：〔形到向量〕-—〔向量的運算〕-—〔向量和數到形〕。學法一得用向量法證明幾何問題的“三步曲”：①建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；②通過向量運算研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題;③把運算結果“翻譯”成幾何關系.二、向量在物理中的應用向量還具有強烈的物理學實際背景.物理學中有兩種基本量：標量和矢量。矢量遍布在物理學的很多分支,它包括力、位移、速度、加速度、動量等.雖然，物理學中的矢量與數學中的向量并不完全相同，例如力，它除了有方向和大小，還有作用點；數學中的向量則只有方向和大小，沒有作用點。但是，這并不影響向量在物理學中的作用.學法一得向量在物理中的應用，實際上就是先把物理問題轉化成數學問題，然后通過向量運算解決向量問題，最后再用所獲得的結果解釋物理現象.在學習過程中，一要體會如何把物理問題轉化成數學問題，即如何將物理量之間的關系抽象成數學模型，二要體會如何利用數學模型的解來解釋物理現象.典題?熱題知識點一用向量方法證明幾何問題例1已知AD、BE、CF分別是△ABC的三條高,求證：AD、BE、CF相交于同一點。思路分析：本題主要考查向量在幾何中的應用。通常情況下，用向量作工具證明幾何問題時，往往要先設一些向量作為基本向量，我們假設兩條高BE、CF交于點H，再證明AD與BC垂直即可說明結論成立。圖2-5-2證明：如圖2—5-2，AD、BE、CF是△ABC的三條高，設BE、CF交于點H，=a，=b，=h，則=h—a，=h—b，=b-a。∵⊥,⊥，∴（h—a）·b=0，（h—b)·a=0。∴(h-a)·b=(h—b）·a。化簡得h·（b—a）=0。∴⊥。∴AH與AD重合，即AD、BE、CF交于一點。例2在△ABC中，點D和E分別在邊BC與AC上，且BD=BC,CE=CA，AD與BE交于點R,證明RD=AD,RE=BE。圖2—5—3解:設=e1,=e2。取｛e1,e2}為基底，下面我們將用基底表示出來。設=λ,=μ。由于=+=e1+(e2-e1)=e1+e2,=+=—e1+e2，∴=λ=λe1+λe2，①=μ=-μe1+μe2。==（1—μ）e1+μe2,②根據唯一性，由①和②可得λ=1—μ，。解得λ=，μ=。于是AR=AD,RD=AD;BR=BE，RE=BE.巧解提示：由A、D、R三點共線，可設=λ+（1-λ)=λ+(1-λ)。③由B、E、R三點共線，又設=μ+(1-μ）=μ+(1—μ）.④根據唯一性，由③④可得λ=，μ=。將之代入③④得=+，=+，即，。∴RD=AD，RE=。例3如圖2-5—4所示,在△ABC中，設=a，AC=b，=c,=λa（0<λ〈1),=μb(0〈μ〈1），試用向量a、b表示c。圖2—5-4思路分析:本題實質是平面向量基本定理的應用，因a、b不共線,故c可用a、b表示.鑒于圖形中三角形較多,所以需要從中找出相關的三角形,利用向量的加法、減法和向量相等的條件求解。事實上，若令λ=μ=的話，則點P就成為△ABC的重心。解：∵與共線，∴==m（-）=m(μb-a)。∴=+=a+m（μb—a)=（1-m）a+mμb.①又∥,∴=n=n(—)=n（λa—b）。∴=+=b+n(λa-b）=nλa+(1—n)b.②由①②，得(1—m）a+mμb=nλa+（1—n)b.∵a、b不共線，∴即解之,得m=，n=1—。將m、n代入①式，得c=（1—m)a+mμb=.知識點二選擇適當的直角坐標系，用坐標法解決有關幾何問題例4已知△ABC中，∠C是直角，CA=CB,D是CB的中點，E是AB上一點，且AE=2EB，求證：AD⊥CE.圖2—5—5證明：建立如圖2-5-5所示的直角坐標系，設A（a，0)，則B（0，a)，E(x,y)。∵D是BC的中點，∴D(0，）。又∵AE=2EB，即=,即(x—a，y)=2(-x，a-y)，∴解之，得x=，y=.要證AD⊥CE，只需證與垂直，即·=0。∵=(0，）-（a,0）=(-a，)，==(),∴·=。∴⊥,即AD⊥CE。方法歸納在未給出點的坐標的題目中，選用坐標法往往要考慮幾何圖形的特點，如直角三角形、正方形等用坐標法有時比較方便.例5如圖2-5—6，四邊形AOBE是菱形,其對角線OE在x軸上。在OB的延長線上取一點C，AC交BE于點D.若∠AOE=60°，BC=m，菱形的邊長為l，求點D的坐標.圖2-5-6思路分析：欲求點A、C的坐標,必須要用∠EOA=60°，∠EOC=300°。這是解此題的出發點。解：∵=(｜｜cos60°，||sin60°)=(），=（｜|cos300°，|｜sin300°）=（），∴=—=(）。即。①又與共線，=（l-x，-y)，故,即.將y=(x-l)代入①，得,。∴D點的坐標是(,）。例6如圖2—5—7，在Rt△ABC中，已知BC=a，若長為2a的線段PQ以A為中點，問與的夾角θ取何值時,的值最大？并求出這個最大值.圖2—5-7思路分析：本小題主要考查向量的概念、平面向量的運算法則，考查運用向量及函數知識的能力.注意圖形與坐標系的轉化及向量的聯系.解：以直角頂點A為坐標原點，兩直角邊所在直線為坐標軸建立如圖2-5-8所示的平面直角坐標系。圖2-5—8設|AB｜=c，|AC|=b，則A(0，0）、B(c,0）、C(0，b）,且｜PQ|=2a，｜BC｜=a.設點P的坐標為(x，y)，則Q（—x，—y）,∴=（x-c，y），=(—x，—y—b），=(-c，b)，=(-2x，-2y).∴·=(x—c）（—x）+y（-y—b)=—(x2+y2）+cx-by.∵cosθ=，∴cx-by=a2cosθ.∴·=—a2+a2cosθ.故當cosθ=1，即θ=0°(與方向相同)時，·最大，其最大值為0。方法歸納對于平面幾何問題，除了用綜合法和解析法對其證明外，還可引入向量，通過向量的線性運算或建立坐標系通過坐標運算去求解。知識點三向量在物理中的應用例7一架飛機從A地向北偏西60°的方向飛行1000km到達B地,然后向C地飛行.設C地恰好在A地的南偏西60°，并且A、C兩地相距2000km，求飛機從B地到C地的位移.圖2-5-9解:如圖2—5—9所示,設A在東西基線和南北基線的交點處.依題意，的方向是北偏西60°,|｜=1000km；的方向是南偏西60°，｜|=2000km，所以∠BAC=60°。過點B作東西基線的垂線，交AC于點D,則△ABD為正三角形.所以BD=CD=1000km，∠CBD=∠BCD=∠BDA=30°。所以∠ABC=90°.BC=ACsin60°=2000×(km)，｜|=（km).所以，飛機從B地到C地的位移大小是km,方向是南偏西30°。例8已知力F與水平方向的夾角為30°(斜向上)，大小為50N,一個質量為8kg的木塊受力F的作用在動摩擦因數μ=0。02的水平平面上運動了20m。問力F和摩擦力f所做的功分別為多少?（g=10m/s2）圖2-5-10解:如圖2-5-10所示,設木塊的位移為s，則F·s=|F｜｜s｜cos30°=50×20×(J）.將力F分解,它在鉛垂方向上的分力F1的大小為|F1｜=｜F|sin30°=50×=25（N)，所以，摩擦力f的大小為|f｜=｜μ(G-F1）|=（80-25)×0。02=1。1（N).因此f·s=｜f||s｜cos180°=1。1×20×（-1）=—22（J）.即F和f所做的功分別是J和-22J.問題?探究方案設計探究問題向量的運算是用向量解決問題的重要途徑，特別是數量積，它涉及平行、垂直等重要的位置關系.我們通過學習平面向量的坐標表示和坐標運算，以及平面向量的數量積，提出怎樣用向量坐標表示向量數量積的問題,那么這些問題具體如何解決,該怎樣應用？探究思路：將數量積的坐標形式用于表示距離、角、垂直、平行等關系.探究結論:對于平面向量的數量積，我們有結論：兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和，將其進一步推廣就有：①設a=(x，y），a2=｜a｜2=x2+y2或|a｜=；②設A、B兩點的坐標分別為(xA，yA）、(xB，yB),｜AB｜=，這就是平面內兩點間的距離公式；③設a=（x1，y1），b=(x2，y2），向量a、b的夾角為θ，cosθ=；④設a=（x1，y1）,b=（x2，y2）,則a⊥b的充要條件是a⊥bx1x2+y1y2=0。在學習時，一方面要注意與前面的知識進行聯系，要熟悉向量的數量積的定義以及它的有關性質;另一方面，坐標運算是向量運算的一種重要的形式，因此要熟練掌握向量的數量積的坐標表示，注意有關的結論,并能熟練地應用它們解決有關的問題。在學習過程中，注重養成獨立思考鉆研的習慣和能力，初步了解對立統一的辯證思想，靈活處理向量與三角函數、不等式、解析幾何、立體幾何相結合的題目.思維發散探究問題已知a、b是兩個非零向量，且滿足｜a|=｜b|=|a—b｜,試探究求a與a+b夾角的方法。探究過程：基于向量表示上的差異,也就是表示方法上的不同，解本題常見的有三種方法.一是利用向量加減法的幾何意義，用數形結合的方法求夾角；二是利用已知條件,找出a的長度與a·b及a的長度與a+b長度間的關系.再利用夾角公式求解；三是設出向量a、b后再利用夾角公式求解.探究結論：方法一:根據向量加法的幾何意義作圖，如右圖所示。圖2—5—11在平面內任取一點O，作=a，=b，以，為鄰邊作平行四邊形OACB。由于|a｜=｜b｜=｜a-b|,所以OACB為菱形，CO平分∠AOB，且∠AOB=60°.所以∠AOC=30°，即a與a+b的夾角為30°.方法二：由｜a|=|b|，得|a|2=｜b|2，又由｜b|=|a—b｜，得｜b|2=｜a-b|2=｜a