學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精6.4線性回歸方程案例探究在學校里,老師對學生經常這樣說:“如果你的數學成績好,那么你的物理學習就不會有什么大問題?！卑凑者@種說法，似乎學生的物理成績與數學成績之間存在著一種相關關系.這種說法有沒有根據呢?分析:憑我們的學習經驗可知,物理成績確實與數學成績有一定的關系，但除此以外，還存在其他影響物理成績的因素。例如，是否喜歡物理，用在物理學習上的時間等等。在實際問題中，變量之間的常見關系有如下兩類：一類是確定性函數關系，變量之間的關系可以用函數表示。例如，圓的面積S與半徑r之間就是確定性函數關系,可以用函數S=πr2表示.一類是相關關系，變量之間有一定的聯系，但不能完全用函數來表達.例如,人的體重與身高有關。一般來說，身高越高,體重越重，但不能用一個函數來嚴格地表示身高與體重之間的關系。自學導引1．在實際問題中，變量之間的常見關系有兩類：一類是確定性關系,另一類是相關關系。2．自變量取值一定時,因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系叫做相關關系.3．請你說出確定性關系與相關關系的相同點和不同點.答案：相同點:均是指兩個變量的關系。不同點:相關關系是一種非確定的關系。確定性關系是自變量與函數值之間的關系，可以用一個函數表示.這種關系是兩個非隨機變量的關系；而相關關系是非隨機變量與隨機變量的關系。這種關系不能用一個確定的函數來表示。4．你是否還能舉出一些現實生活中存在的相關關系的問題？答案：例如，商品銷售收入與廣告支出經費之間的關系；糧食產量與施肥量之間的關系;人體的脂肪含量與年齡之間的關系,等等.5．將n個數據點（xi，yi）（i=1，2,…，n）描在平面直角坐標系中,以表示具有相關關系的兩個變量的一組數據的圖形叫做散點圖.6．（1)當兩個變量成正相關時，散點圖有什么特點？(2)當兩個變量成負相關時,散點圖又有什么特點？答案：（1）散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區域。(2）散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區域.7．對于散點圖可以作出如下判斷：（1）當所有的樣本點都落在某一函數曲線上,變量之間具有函數關系;(2）當所有的樣本點都落在某一函數曲線附近，變量之間具有相關關系;（3)當所有的樣本點都落在某一直線附近,變量之間具有線性相關關系.8．回歸直線是怎樣定義的？答案：如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線。疑難剖析【例1】下表是某地年降雨量與年平均氣溫的統計數據，判斷兩變量有相關關系嗎？求回歸直線方程有意義嗎?年平均氣溫（℃）12.5112.8412。8413.6913。3312。7413。05年降雨量(mm）748542507813574701432思路分析:用回歸直線進行擬合兩變量關系的一般步驟為:(1)作出散點圖，判斷散點是否在一條直線附近;（2)如果散點在一條直線附近，以公式求出a,b，并寫出線性回歸方程。解:以x軸為年平均氣溫，y軸為年降雨量可得相應的散點圖：因為圖中各點并不在一條直線的附近，所以兩者不具有線性相關關系，沒有必要用回歸直線進行擬合,用公式求得的回歸方程也是沒有意義的.思維啟示：要判斷兩個變量是否具有線性相關關系,可先作出散點圖，再觀察散點是否在一條直線附近，如果是，則二者具有線性相關關系；否則，二者不具有線性相關關系.思維陷阱：解此題的第（2）小問時不要盲目地去求回歸方程。觀察兩相關變量得如下數據：x-1—2—3-4-553421y—9—7—5-3—115379求兩變量間的回歸方程。錯解：求線性回歸直線方程的步驟：第一步：列表xi，yi，xiyi;第二步:計算，，，，；第三步:代入公式計算b,a的值；第四步：寫出回歸直線方程。列表：i12345678910xi—1—2—3-4—553421yi-9-7-5-3-115379xiyi9141512551512149計算得：=0，=0=110,=310,=110∴b=a=—b=0—1＊0=0故所求回歸直線方程為=x.正解：作兩個變量的散點圖（圖略），從散點圖中看出，點不在某條直線附近，分散得很開.因此，變量x和y不具有線性相關關系,也就不存在線性回歸方程?！纠?】某班學生每周用于數學學習的時間x（單位:h)與數學成績y（單位：分）之間有如下數據:x24152319161120161713y92799789644783687159某同學每周用于數學學習的時間為18小時，試預測該生數學成績.思路分析：首先應該利用表中數據通過計算去判斷數學學習的時間x與數學成績y是否具有線性相關關系。若有，則可求出回歸方程；然后在方程中令x=18,可求出該生數學成績。解:因為學習時間與學習成績之間具有線性相關關系。利用科學計算器計算到如下表所示的數據：i12345678910xi24152319161120161713yi92799789644783687159xiyi22081185223116911204517166010881207767=17。4，=74.9=3182，=58375，=13578于是可得b=a=—b=74。9-3．53×17.4≈13。5故所求回歸直線方程為y=3.53x+13.5當x=18時，=3.53×18+13.5=77。04≈77故該同學預計可得77分左右。思維啟示：兩個有線性相關關系的變量間的關系可以用線性回歸方程來表示，而對總體的預測可依據回歸直線方程進行.【例3】一般說，一個人的身高越高，他的手就越大.為了調查這一問題，對10名高三男生的身高與右手一揸長測量得如下數據：（單位:cm）身高168170171172174176178178180181一揸長19。020。021。021。521。022.024.023。022.523。0（1）依據上述數據制作散點圖，發現兩者有何相關關系嗎？（2）如果近似成線性關系，求線性回歸方程.（3）如果一個學生身高185cm，估計他的右手一揸長.思路分析：首先作出散點圖；利用散點圖去判斷兩變量是否具有線性關系；若具有線性關系,再利用公式求出方程；最后利用方程去解答第三小問.解：（1)散點圖如下：可見，身高與右手一揸長之間的總體趨勢成一條直線，即他們線性相關。（2）設線性回歸方程為=bx+a由上述數據計算可得=174。8，=21.7=305730，=37986∴b==a=-b=—31。264∴方程為=0.303x—31.264.(3）當x=185時，=24。79。思維啟示:先作出散點圖,若兩變量具有線性關系,再利用公式求出方程.拓展遷移【拓展點1】如果你想作一個反對抽煙的電視公益廣告的播放次數與看電視的中學生戒煙率的數據散點圖，作為x軸的變量為__________。答案：播放次數【拓展點2】有時候,一些東西吃起來口味越好，對我們的身體越有害,下表給出了不同類型的某種食品的數據.第一列表示此種食品所含熱量的百分比，第二列數據表示由一些美食家以百分制給出的對此種食品口味的評價。品牌所含熱量的百分比口味記錄A2589B3489C2080D1978E2675F2071G1965H2462I1960J1352（1）求出回歸直線方程；(2）關于兩個變量之間的關系，得出的結論是什么？答案：（1)=1.565x+37。827(2)由回歸方程知道，食品所含熱量越大，口味記錄越好，反之亦然.【拓展點3】某醫院用光電比色計檢驗尿汞時,得尿汞含量(毫克/升)與消光系數如下表：尿汞含量x246810消光系數y6413820528