學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精6.3．2方差與標準差平均數向我們提供了樣本數據的重要信息，但是，平均數有時也會使我們作出對總體的片面判斷，某地區的統計報表顯示,此地區的年平均家庭收入是10萬元，給人的印象是這個地區的家庭收入普遍較高.但是,如果這個平均數是從200戶貧困家庭和20戶極富有的家庭收入計算出來的，那么，它就既不能代表貧困戶家庭的年收入，也不能代表極富有家庭的年收入。因為這個平均數掩蓋了一些極端的情況，而這些極端情況顯然是不能忽視的.因此，只有平均數還難以概括樣本數據的實際狀態.案例探究甲、乙兩班學生各50人，其語文平均成績都是80分,但甲班最高成績98分，最低42分，而乙班最高成績86分,最低60分.初步看出，兩班語文成績是不一樣的，甲班學生的語文成績個別差異程度大、水平參差不齊；而乙班學生的語文成績差異程度小，語文水平整齊度大些。如果你是老師，你應當如何對這兩個班的成績作出評價呢？分析：我們把一組數據的最大值與最小值的差稱為極差,由數據可知甲班的極差較大，數據點較分散，乙班的極差較小，數據點分布較集中，這說明乙班成績比甲班穩定，運用極差對兩組數據進行比較，操作簡單方便，但如果兩組數據的集中程度差異不大時,就不容易得出結論。我們還可以考慮每一個學生的成績與平均成績的離差，離差越小，穩定性就越高.結合上節有關離差的討論，可用每個同學的成績與平均成績的差的平方和表示.由于兩組數據的容量可能不同,因此應將上述平方和除以數據的個數，我們把由此所得的值稱為這組數據的方差（variance）。因為方差與原始數據的單位不同,且平方后可能夸大了離差的程度，我們將方差開方后的值稱為這組數據的標準差（standarddeviation）。標準差也可以刻畫數據的穩定程度。一般地,設一組數據x1，x2，…，xn，其平均數為x,則稱S2=為這個樣本的方差，其算術平方根S=（＊)為樣本的標準差，分別簡稱樣本方差、樣本標準差。根據上述方差計算公式可算出甲、乙兩個班樣本的方差，從而比較哪個班成績好些。計算標準差時，首先要計算數據的平均數,接著要計算各數據與平均數之間的離差平方,即（xi—)2,最后由公式(＊）計算標準差S。例如，4名兒童的身高分別是110厘米，100厘米，120厘米和150厘米，若求4名兒童身高數據的標準差時，其基本步驟如下：（1）求平均數：==120(厘米)（2）求離差平方和：∑（xi—）2=（110―120）2+(100―120）2+（120―120）2+（150―120）2=100+400+0+900=1400（平方厘米）（3）求標準差S：S===18.71（厘米)這樣,我們大體可認為，這4名兒童身高差異程度，從平均角度來看,約相差18。71厘米。自黨導引1．天氣預報說今天最高氣溫7℃，最低氣溫－2℃,則今天氣溫的極差為多少?答案：9℃2．據統計，某小區居民中年齡最大的為89歲，年紀最小的為1歲,那么小區人口年齡的極差為多少？答案：88歲3．你認為下面幾種說法中正確的是(）A．一組數據的平均值總是正數B．一組數據的方差有可能是負數C．用一組數據中的每個數分別減去平均值,再將得到的差相加，和一定為零D．一組數據的標準差一定比方差小答案：C4．我們可以用一組數據中的最大值減去最小值所得的差來反映這組數據的變化范圍.用這種方法得到的差稱為極差.5．方差實際上是一種表示一組數據的離散程度的量，我們可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法得到。6．標準差與方差有什么關系？這二者與原數據在單位上有什么關系？答案：標準差是方差的算術平方根，標準差與原數據具有相同的單位,方差的單位是原單位的平方.7．反映數據離散程度的指標是什么？在一次數學測試中，甲、乙兩班的平均成績相同，甲班成績的方差為42,乙班成績的方差為35，這樣的結果說明兩個班的數學學習狀況各有什么特點？答案：反映數據離散程度的指標是方差和標準差．甲班的方差大于乙班的方差，說明甲班的學生成績較分散，優生和成績差的學生較多．而乙班的學生成績較集中，優生和成績差的學生較少。8．觀察下面的折線圖，回答問題:(1)a組數據的極差較大。（2）a組數據的方差較大。9．比較下面兩幅頻數分布圖中的數據,哪組的平均值較大？哪組的標準差較大？答案:b組的平均值較大，a組的標準差較大。10．觀察下面的幾組圖，分別指出各組中哪一組的標準差較大,并說說為什么.（1）(2）(3)答案：(1）標準差相同，因為雖然數據排列不同，但其實是相同的兩組數據；(2）b組的標準差較大，因為a組有一些數距離平均值較近；（3）b組的標準差較大，因為b組中每個數據都是a組中的兩倍，因此標準差也是它的兩倍.疑難剖析【例1】某校團委舉辦了英語口語競賽．甲、乙兩個團小組成績如下:甲組:76908486818786乙組：82848589809476（1）分別求出甲、乙兩個團小組的平均分、標準差(精確到0．01）；(2）說明哪個團小組成績比較穩定？思路分析：由于所給數據較整,用定義公式求x及S．再由所學統計知識即可作此判斷.解：(1）∵=84。29，=84.29，(2）∵S1〈S2，∴甲小組的成績比較穩定。思維啟示：方差的概念是本單元的一個重點，也是本章的重點和難點，中考命題常常涉及到方差的概念比較抽象，理解有一定的困難，因此在復習時要多接觸一些實例，以加深理解計算方差的公式。【例2】某校從甲、乙兩名優秀選手中選1名選手參加全市中學生田徑百米比賽，該校預先對這兩名選手測試了8次，測試成績如下表:甲成績（秒)乙成績（秒)112.112212.212。431312。8412。513513。112。2612.512.8712.412.3812。212.5根據測試成績，請你運用所學過的統計知識作出判斷,派哪一位選手參加比賽更好?為什么？思路分析：首先計算甲、乙兩選手的成績的平均數，然后看每位同學成績的方差，利用方差比較兩位同學成績的穩定性.解：設甲的平均數是1,乙的平均數是2,甲的方差是S甲2，乙的方差是S乙2,則由題意可求得：1==12.5；2==12。5;S甲2＝［(12。1－12.5）2＋（12。2－12。5）2＋（13－12。5)2＋（12.5－12.5）2＋（13。1－12。5）2＋(12。5－12.5）2＋(12.4－12.5）2＋（12。2－12.5)2］＝0。12S乙2＝［（12－12.5）2＋（12。4－12.5）2＋(12。8－12.5）2＋（13－12。5)2＋（12.2－12.5）2＋（12.8－12.5)2＋(12.3－12。5)2＋（12.5－12。5）2］＝0.10。∵S甲2>S乙2,∴雖然甲乙兩人的平均成績相同，但乙的成績較穩定,應選乙選手參加比賽.思維啟示:在顯示數據離散程度(波動大小)的一類數中,方差是刻畫總體或樣本波動大小的一個重要特征數據,其定義是用各偏差的平方的平均數建立起來的，對于一組數據，除需了解它們的平均水平外，還常常需要了解它們的波動大小（即偏離平均數的大小).對于兩組可比的數據，平均數只能反映它們的集中趨勢，而比較它們的波動大小，就要通過計算標準差或方差的大小來確定.還應注意，只有當兩組數據的平均數相等或比較接近時，方差或標準差才能反映數據波動大小的實際情況——方差或標準差越大（小)，波動也越大（小）.【例3】為了保護學生的視力，教室內的日光燈在使用一段時間后必須更換，已知某校使用的100只日光燈在必須更換掉前的使用天數如下表：天數151~181181～210211~240241～270271～300301~330331～360361~390燈管數1111820251672（1）試估計這種日光燈的平均使用壽命;(2）若定期更換,可選擇多長時間統一更換合適？思路分析：總體的平均數與標準差往往是很難求,甚至是不可能求的，通常的做法就是用樣本的平均數與標準差去估計總體的平均數與標準差，只要樣本的代表性好，這種做法就是合理的.解：(1）各組中值分別為165，195，225,255,285，315,345，375，由此可算得平均數約為+=267。9≈268（天).（3）將組中值對于此平均數求方差：=2128.60(天2）故標準差為≈46（天）.答：估計這種日光燈的平均使用壽命約為268天,故可在222天到314天左右統一更換較合適。思維啟示：（1)在刻畫樣本數據的分散程度上，方差與標準差是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標準差.（2）平均數和標準差是工業生產中檢測產品質量的重要指標，當樣本的平均數或標準差超過了規定界限的時候，說明這批產品的質量可能距生產要求有較大的偏離，應該進行檢查，找出原因，從而及時解決問題。在Excel中,可分別用函數“VARP（)”和“STDEVP()”計算方差和標準差.也可用計算器,在“統計”模式下輸入數據,按“SHIFTSVAR2"鍵，得標準差，再按x2鍵即為方差。拓展遷移【拓展點1】標準差的取值范圍是什么?標準差為0的樣本數據有什么特點?答案：非負，標準差為0意味著所有的樣本數據都相等。【拓展點2】甲乙兩人同時生產內徑為25.4mm的一種零件,為了對兩人的生產質量進行評比，從他們生產的零件中各抽取20件，量得其內徑尺寸如下（單位mm）:甲25。4625。3225。4525。3925。3625.3425.4225.4525.3825。4225。3925.4325.3925.4025。4425.4025.4225.3525。4125。39乙25。4025。4325。4425.4825.4825。4725。4925。4925.3625。3425。3325.4325。4325.3225。4725。3125.3225.3225。3225.48從生產的零件內徑的尺寸看,誰生產的質量較高？思考：兩個總體的平均數與標準差知不知道？25。40mm是不是它們的平均數？答案：每一個工人生產的所有零件的內徑尺寸組成一個總體.由于零件的生產標準已經給出（內徑25。40mm），生產質量可以從總體的平均數與標準差兩個角度來衡量。總體的平均數與內徑標準尺寸25。40mm的差異大時質量低，差異小時質量高，當總體的平均數與標