學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精1.5定積分1.5.1曲邊梯形的面積1。5。2定積分知識梳理1.直線x=a，x=b（a≠b),y=0和曲線y=f（x）所圍成的圖形稱為__________梯形.2。如果函數f（x)在區間［a，b]上連續，用分點a=x0＜x1＜…＜xi—1＜xi＜…＜xn=b,將區間［a，b］均分成n個小區間，在每個小區間［xi—1，xi］上任取一點ξi(i=1，2,…,n），作和式，當n→∞時,上述和式無限接近某個常數,這個常數叫做函數f(x）在區間［a,b］上的_____________（definiteintegral)，記作.這里a與b分別叫做積分____________與積分____________，區間［a,b］叫做積分____________,函數f(x)叫做_______，x叫做____________，f（x)dx叫做____________。3定積分的性質（1）=____________;（2）=____________;（3)=f(x）dx+____________（a＜c＜b)。知識導學要學好本節內容，必須理解定積分（f(x）≥0)的真正含義,同時熟記定積分的性質,因為只有用性質解題才能大大簡化求曲邊形面積的過程。疑難突破本節的重點、難點是對定積分定義的理解,尤其是“以直代曲”的思想是定積分中最重要的部分。剖析:利用定積分求曲邊形的面積的實質是“化整為零"的過程。典題精講【例1】求由直線x=1,x=2，y=0及曲線y=圍成的圖形的面積S。思路分析：利用求曲邊梯形面積的步驟求解.解:（1)分割在區間［1，2］等間隔地插入n-1個點，將它等分成n個小區間:［1,］，［］，…，[，2］，記第i個區間為［]（i=1,2，…,n），其長度為Δx=。分別過上述n—1個點作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形(如圖151)，它們的面積記作:ΔS1,ΔS2,…，ΔSn.圖1-5—1則小曲邊梯形面積的和為S=.（2)近似代替記f(x）=,當n很大，即Δx很小時，在區間[］上，可以認為f(x）=的值變化很小，近似地等于一個常數,不妨認為它等于f（)。從圖形上看，就是用平行于x軸的直線段近似地代替小曲邊梯形的曲邊.這樣,在區間［]上，用小矩形面積ΔSi′近似地代替ΔSi,即在局部小范圍內“以直代曲"，則有ΔSi≈ΔSi′=f（）Δx=（i=1,2,…,n).(3)求和小曲邊梯形的面積和Sn=≈′=從而得到S的近似值S≈Sn=。（4)逼近分別將區間［1,2]等分成8,16,20，…等份時，Sn越來越趨向于S,當n趨向于+∞時,Sn無限趨近于。由此可知圖形面積為.綠色通道：本題主要考查曲邊梯形面積的求解方法。用分割、近似代替、求和、取極限這四個步驟可以求曲邊多邊形的面積，它體現了一種化整(分割)為零,積零為整(逼近)的思想方法。變式訓練：求拋物線y=x2與直線x=1,y=0所圍成的平面圖形的面積S.解：（1)分割在區間［0，1］上等間隔地插入n—1個點，將它等分成n個小區間:［0,］，［,]，…，［，1］。記第i個區間為［］(i=1，2,…,n)，其長度為Δx=.分別將上述n-1個分點作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形,它們的面積記作：ΔS1，ΔS2,…,ΔSn。S=。（2）近似代替記f(x)=x2，當n很大,即Δx很小時,在區間[]上,可以認為f（x)=x2的值變化很小,近似地等于一個常數，不妨認為它近似地等于左端點處的函數值f（)。就是用平行于x軸的直線段近似地代替小曲邊梯形的曲邊，這樣,在區間[]上,用小矩形的面積ΔSi′近似地代替ΔSi,即在局部小范圍內“以直代曲”，則有ΔSi≈ΔSi′=f()ΔS=(）2·Δx=(）2·(i=1，2，…，n）。①(3）求和由①Sn==[0·+（)2·+…+（）2·］=[12+22+…+(n-1）2］=，從而得到S的近似值S≈Sn=（1—）(1—）。②（4)逼近分別將區間［0,1］等分成8，16，20，…等份時，可以看到隨著n的不斷增大，即Δx越來越小時，Sn=（1-）(1-）越來越趨近于S，而當n趨向于+∞時,②式無限趨向于,即所求面積為。【例2】利用定積分的性質,用定積分表示出下列曲線圍成的平面區域的面積。(1）y=0,，x=2；(2)y=x—2,x=y2。思路分析:用定積分計算平面區域的面積，首先要確定已知曲線所圍成的區域，由區域的形狀選擇積分變量，確定上、下限，當計算公式S=中的f(x）或g(x)是分段函數時，面積要分塊計算。解：(1）曲線所圍成的區域如圖1—5-2所示.圖1—5-2設此面積為S,則S=(2)如圖1—5—3所示，曲線所圍成的平面區域S=A1+A2,圖1-5-3A1由y=，y=,x=1圍成；A2由y=,y=x-2,x=1和x=4圍成。∴A1=,A2=.∴S=.綠色通道：利用定積分求平面圖形面積時，可從以下幾個步驟進行:①畫圖，②確定積分變量，③求交點確定積分上、下限，④求定積分得面積.變式訓練：計算拋物線y2=2x與直線y=x-4所圍成的圖形面積.解：曲線所圍成的區域如圖1-5—4所示.圖1-5-4S=A1+A2,A1由y=，y=，x=2圍成,A2由y=，y=x—4,x=2，x=8圍成。∴A1==，A2=。所以S=.問題探究問題：利用求曲邊梯形的理論方法能否解決汽車(或某變速物體）在某段時間內的路程問題？導思：這一問題是考查和培養學生的發散思維能力，應用所學知識解決一些未曾見過或未曾解決過的問題，體現數學中轉化的思想方法。探究:若