學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精1.2.3簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)知識(shí)梳理1。一個(gè)函數(shù)可以寫(xiě)成y=f［φ（x)］,即y=f(u),u=φ(x）的形式,則稱其為_(kāi)____________。2.函數(shù)u=φ（x)在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)u′x=φ′(x），函數(shù)y=f(u）在點(diǎn)x的_____________u處有導(dǎo)數(shù)y′u=f′(u），則復(fù)合函數(shù)y=f［φ（x)］在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)，即_____________或?qū)懗蒧____________。知識(shí)導(dǎo)學(xué)要學(xué)好本節(jié)內(nèi)容,需弄清幾個(gè)基本概念,如:復(fù)合函數(shù)、中間變量，同時(shí)對(duì)基本公式的記憶要熟，即“熟能生巧”.對(duì)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)要注意中間變量的選取要適當(dāng).另外要搞清每一步是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo),不能混淆。新課標(biāo)要求能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)〔僅限于形如f(ax+b)〕的導(dǎo)數(shù)。疑難突破對(duì)于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),一定要理清中間的復(fù)合關(guān)系。本節(jié)難點(diǎn)是對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo).剖析：中間變量應(yīng)選擇簡(jiǎn)單初等函數(shù)，判斷一個(gè)函數(shù)是否是簡(jiǎn)單初等函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)是:存在求導(dǎo)公式則直接求導(dǎo)，弄清各分解函數(shù)中應(yīng)對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo),對(duì)一個(gè)函數(shù)的復(fù)合關(guān)系的分解予以足夠的重視，要用換元的思想及基本初等函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)理解復(fù)合關(guān)系,理解復(fù)合函數(shù)的概念。典題精講【例1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y=(2x3—x+)4;（2)y=;（3)y=sin2（2x+）；（4）y=x(x-)100.思路分析：選擇中間變量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵,必須正確分析復(fù)合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過(guò)怎樣的順序復(fù)合而成的，分清其間的復(fù)合關(guān)系。要善于把一部分量的式子暫時(shí)當(dāng)作一個(gè)整體，這個(gè)暫時(shí)的整體就是中間變量.求導(dǎo)時(shí)需要記住中間變量，注意逐層求導(dǎo)，不遺漏。而其中特別要注意中間變量的系數(shù),求導(dǎo)數(shù)后，要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù).解：(1)解法一:設(shè)u=2x3-x+,y=u4，則y′x=y′u·u′x=4u3·(6x2-1—）=4(2x3-x+）3（6x2-—1)。解法二：y′=［(2x3—x+）4]′=4(2x3—x+）3·（2x3—x+)′=4(2x3—x+)3（6x2-1-）.(2)解法一：設(shè)y′=，u=1—2x2，則y′x=y′u·u′x=()·（-4x）=·(—4x)=.解法二：y′=（)′=［]′=·（1—2x2)′=·(—4x)=。(3)解法一：設(shè)y=u2,u=sinv，v=2x+，則y′x=y′u·u′v·v′x=2u·cosv·2=2sin(2x+）·cos(2x+)·2=2sin(4x+）。解法二:y′=［sin2(2x+）］′=2sin（2x+）·［sin(2x+)]′=2sin(2x+)·cos(2x+）·（2x+）′=2sin（2x+)·cos(2x+）·2=2sin(4x+).(4)解：y′=[x(x-)100］′=x′（x-)100+x［(x—)100］′=（x—)100+x·100(x—）99·(x-)′=（x—）100+x·100(x—)99·(1+）.綠色通道：對(duì)于復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，要注意分析問(wèn)題的具體特征,靈活恰當(dāng)?shù)剡x擇中間變量，不可機(jī)械照搬某種固定的模式,否則會(huì)使確定的復(fù)合關(guān)系不準(zhǔn)確，不能有效地進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,通常稱為鏈條法則.變式訓(xùn)練:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1)y=(2x—1)5；(2）y=；（3)y=。解:(1)設(shè)u=2x—1,則y=u5。∴y′x=y′u·u′x=5u4·（2x—1)′=5（2x-1）4·2=10（2x—1）4(2)設(shè)u=ax2+bx+c,則y=.∴y′x=y′u·u′x=(3)方法一：u=1—2x，y=u-5,y′x=y′u·u′x=—5u—6·（—2）=10（1-2x)-6.方法二：∵y=,令y=u5,u=，v=1—2x.y′x=y′u·u′v·v′x=5u4·(—v-2)·（—2）=10（)4·v—2=100—6=10(1—2x)-6.【例2】已知f(x)=xloga(x2+x-2）,求f′(x）。思路分析：函數(shù)y=loga(x2+x—2）是由y=logau與u=x2+x—2復(fù)合而成的，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)步驟進(jìn)行求導(dǎo)。解:f′（x)=loga（x2+x-2)+x··logae·（2x+1）=loga（x2+x—2）+.綠色通道：求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),關(guān)鍵要分清此函數(shù)是由哪幾個(gè)初等函數(shù)復(fù)合而成的，然后根據(jù)求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的法則進(jìn)行求導(dǎo)即可.變式訓(xùn)練：已知f（x）=，求f′(x).解：y=logau,u=logax，∴f′（x)=y′u·u′x=·logae·logae=.【例3】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。(1)y=;(2）y=.思路分析：在公式(logax)′=與（ax)′=ax·lna中，求導(dǎo)后的系數(shù)很容易混淆，要注意掌握公式。并通過(guò)比較加以記憶。解:（1）y′=+bx·（—2ax+b)=（—2ax+b）·.（2）y′=綠色通道：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)是一個(gè)連鎖求導(dǎo)過(guò)程，每次選擇中間變量都根據(jù)問(wèn)題的具體特點(diǎn)及基本導(dǎo)數(shù)公式為準(zhǔn)，達(dá)到可以直接求導(dǎo)為止.變式訓(xùn)練:（1）f(x)=;（2）f（x)=cos2(）。解:（1)f′(x）=(1+sin2x）′=·2sinx·cosx=。(2）f′(x）=[cos2(）］′=2cos(）·（cos）′=2cos（）［—sin（)］·(）′=2cos()［—sin(）］·[］=—sin2()·=.問(wèn)題探究問(wèn)題：請(qǐng)思考如何利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求和。1.Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1（x≠0，n∈N*);2。Sn=+…+n(n∈N*）.導(dǎo)思：1。一般很容易想到通過(guò)錯(cuò)位相減的方法及構(gòu)造二項(xiàng)式定理的方法來(lái)解決，轉(zhuǎn)換思維角度.由求導(dǎo)公式(xn）=nxn—1可聯(lián)想到它們是另外一個(gè)和式的導(dǎo)數(shù)，因此可轉(zhuǎn)化求和。利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，可使問(wèn)題解法更加簡(jiǎn)捷.2。通過(guò)對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)進(jìn)行聯(lián)想，合理運(yùn)用了逆向思維的方法，從而激發(fā)了思維的靈活性，使數(shù)列的求和問(wèn)題得到解決,其關(guān)鍵是抓住了數(shù)列通項(xiàng)的形式結(jié)構(gòu),這也有助于培養(yǎng)善于聯(lián)想的好習(xí)慣。探究:1.當(dāng)x=1時(shí),Sn=1+2+3+…+n=n（