重慶市名校聯盟學年度第二期第一次聯合考試數學試卷（高屆）本試卷共4頁，滿分分考試用時分鐘．注意事項：．作答前，考生務必將自己的姓名、考場號、座位號填寫在試卷的規定位置上．．作答時，務必將答案寫在答題卡上，寫在試卷及草稿紙上無效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解不等式化簡集合，再利用交集的定義求解.【詳解】解不等式，得或，因此或，所以.故選：B2.在復平面內，對應的點位于（A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根據復數的乘法結合復數的幾何意義分析判斷.【詳解】因為，則所求復數對應的點為，位于第一象限.故選：A.第1頁/共21頁3.已知向量，，且，則實數（）A.B.C.5D.10【答案】C【解析】【分析】由已知條件可求得，再根據向量平行的條件，即可求得的值.【詳解】由已知可得：，因為，所以有，解之得：.故選：C.4.某地區2024年全年月平均溫度（單位：℃）與月份之間近似滿足.已知該地區2月份的月平均溫度為6均溫度為32℃，則該地區12月份的平均溫度為（）A.℃B.℃C.℃D.℃【答案】A【解析】【分析】由題意可得，可求得，進而根據已知可得，，可求得解析式，進而可求得時的函數值，可得結論.【詳解】由題意可知，直線是曲線的一條對稱軸，所以，，即，.又，即，所以.因為全年月平均溫度的最大值為32℃，所以①.又當時，，所以，所以②.由①②解得，，第2頁/共21頁所以，則當時，℃.故選：A.5.已知雙曲線的離心率為為作為坐標原點，則（）A.B.2C.D.【答案】A【解析】【分析】根據題意，利用余弦定理可得，從而得解.【詳解】根據題意，，由，則，．由余弦定理可得，，所以，所以．故選：A6.在正方體中，是棱上的點，且．平面將此正方體分為兩第3頁/共21頁部分，設兩部分體積分別為和，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】作出輔助線，得到臺體體積為，剩余圖形的體積為，設正方體的棱長為4，求出臺體體積，得到，進而正方體體積得到，求出答案.【詳解】延長，交的延長線于點，連接，交于點，連接，平面將此正方體分為兩部分，設兩部分體積分別為和，故臺體體積為，剩余圖形的體積為，設正方體的棱長為4，則正方體體積為，又，，故，，，臺體的高為，故臺體的體積為，故，所以.第4頁/共21頁故選：D7.已知的內角所對的邊分別為邊上中線長度的最大值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】解.【詳解】，由正弦定理可得，即，則，又，所以，因為，當且僅當時等號成立，所以，則．設邊上中線長度為，則，所以邊上中線長度的最大值為．故選：C8.定義雙曲正弦函數：.若雙曲正弦函數在區間上的值域與在區間上的值域相同，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分別分析兩個函數的單調性，求出它們的值域，再根據函數的值域相同，得到一個方程組，進而第5頁/共21頁將問題轉化為方程對應的函數有兩個不同的零點問題求解.【詳解】因為，所以在上為增函數，所以在上的值域為.又在也是增函數，所以在上的值域為.因為兩個函數的值域相同，所以.即方程有兩個不同的解.因為方程.當即時，方程成立，即是方程的一個解；則當即時，只有一個解，因為函數在上單調遞增，且，所以函數在上單調遞減.因為且，所以且，所以當且時，方程有且只有一個非0解.綜上：且.故選：B【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵是根據兩個函數的值域相同，得到方程組第6頁/共21頁而將問題轉化為方程有兩個不同的解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.設O過拋物線C：C交于MN兩點，l為拋物線C的準線，則（）A.B.C.為等腰三角形D.以MN為直徑的圓與l相切【答案】AD【解析】知識確定正確答案.【詳解】A選項：直線過點，所以拋物線的焦點，所以，則A選項正確，且拋物線的方程為.B選項：設，由消去并化簡得，解得，所以，B選項錯誤.C選項：直線，即，到直線的距離為，所以三角形的面積為，由上述分析可知，所以，第7頁/共21頁所以三角形不是等腰三角形，C選項錯誤.D選項：設的中點為，到直線的距離分別為，因為，即到直線的距離等于的一半，所以以為直徑的圓與直線相切，D選項正確.故選：AD.10.已知函數是定義域為的奇函數，，若，，，則（）A.B.的圖象關于點對稱C.是周期為的周期函數D.【答案】BCD【解析】【分析】根據給定條件，結合函數對稱性、周期性的定義探討函數性質，再逐項計算判斷得解.【詳解】因為函數是定義域為的奇函數，，且，，對于A選項，因，則，A錯；對于B選項，由可得，整理可得，當時，則有，即，當時，，也滿足，所以，函數的圖象關于點對稱，B對；第8頁/共21頁對于C選項，因為是定義域為的奇函數，且，所以，函數是周期為的周期函數，C對；對于D選項，因為函數是定義域為的奇函數，則，，，，，所以，，因為，則，D對.故選：BCD.【點睛】結論點睛：對稱性與周期性之間的常用結論：（1）若函數的圖象關于直線和對稱，則函數的周期為；（2）若函數的圖象關于點和點對稱，則函數的周期為；（3）若函數的圖象關于直線和點對稱，則函數的周期為.對于任意兩個正數，，記曲線與直線，，軸圍成的曲邊梯形的面積為，并約定和，德國數學家萊布尼茨（Leibniz）最早發現.關于，下列說法正確的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】根據所給新定義運算即可判斷AB，根據曲邊梯形與梯形面積大小判斷C，取特殊值判斷D.【詳解】由題意，所以，當時，；當時，；第9頁/共21頁當時，；當或時，也成立；綜上所述：.對于選項A：，，所以，故A正確；對于選項B：，且，所以，故B正確；對于選項C：如圖，因為，所以，即，故C正確.對于選項D：取，則，故D錯誤；故選：ABC.【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是利用的定義，分類討論求得，從而得解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12.已知正實數滿足，則______.【答案】##第10頁/共21頁【解析】【分析】對等式兩邊取對數后構造關于的方程，求出其解后可求的值.【詳解】因為，易知且，故，故，即，故，故答案為：.13.已知成對樣本數據，，，中，，，不全相等，且所有樣本點都在直線r=______定系數=______．【答案】①.②.1【解析】【分析】由所有樣本點都在一條直線上，結合相關系數的意義，可得出答案.【詳解】由所有樣本點都在直線上，又，由題易知，．故答案為：14.已知直線與⊙：交于AB面積為”的實數的一個值______（寫出其中一個即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】設圓心到直線的距離為，則弦長為，那么進行求解.【詳解】設圓心到直線的距離為，則，由，解得：或.若，則或；第11頁/共21頁若，則或.故答案為：（，，任意一個也對）四、解答題：本題共5小題，共分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知等差數列滿足：，且成等比數列．（1）求數列的通項公式；（2）若等差數列的公差不為零，且數列滿足：，記數列的前n項和為，求證：；【答案】（1）或（2）證明見解析【解析】1）根據等比數列結合等差數列的通項公式計算求解即可；（2）應用裂項相消法求和得出，再結合單調性證明即可.【小問1詳解】設數列的公差為d，依題意：成等比數列，所以，解得：或當時，，當時，所以數列的通項公式為或【小問2詳解】因為等差數列的公差不為零，由（1）知則所以，故第12頁/共21頁而隨n的增大而增大，則，故成立16.已知函數.（1）若時，求曲線在處的切線方程；（2）若時，在區間上的最小值為，求實數的值.【答案】（1）（2）【解析】1）求導，即可根據點斜式求解直線方程，（2）求導，根據導數確定函數的單調性，即可求解，構造函數求導即可求解.【小問1詳解】當時，且，所以，故切線方程為，即，【小問2詳解】，由，存在，使得，即，當時，，此時單調遞減，當時，，此時單調遞增，故，，故在單調遞減，又，故第13頁/共21頁17.已知三棱錐，D在平面上的射影為的重心O，，.（1）證明：；（2）E為AD上靠近A三等分點，若三棱錐的體積為，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1）由題意可得、平面ABC，根據線面垂直的性質可得，結合線面垂直的判定定理和性質即可證明；（2）建立如圖空間直角坐標系，利用三棱錐的體積公式求得，由空間向量的線性運算求得，結合空間向量法求解面面角即可.【小問1詳解】如圖所示，連結并延長交于，因為O為△ABC的重心，所以是的中點，又因為，所以由等腰三角形三線合一可得，因為D在平面ABC上的射影為O，所以平面ABC，又平面ABC，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，【小問2詳解】由（1）知，面ABC，過作軸平行于，則軸垂直于面ABC，如圖，以為軸，軸，建立空間直角坐標系，在中，，由（1）知，，故，得，所以三棱錐A-BCD的體積為，則因為為△ABC的重心，故，則，第14頁/共21頁因為E為AD上靠近A的三等分點，所以，故設為平面的一個法向量，則，取，則，故，易得是平面的一個法向量，設二面角的平面角為，則為鈍角，所以，所以二面角的余弦值為.【點睛】18.如圖所示，在研究某種粒子的實驗裝置中，有三個腔室，粒子只能從室出發經室到達室.粒子在室?.粒子從室經過1號門進入室后，等可能的變為上旋或下旋狀態，粒子從室經過2號門進入室后，粒子的旋轉狀態發生改變的概率為.現有兩個粒子從室出發，先后經過1號門，2號門進入室，記室兩個粒子中，上旋狀態粒子的個數為.（1）已知兩個粒子通過11個上旋狀態1個下旋狀態.若這兩個粒子通過2號門后仍然恰有1第15頁/共21頁個上旋狀態1個下旋狀態的概率為，求；（2）求的分布列和數學期望；（32號門后都為上旋狀態，求這兩個粒子通過1號門后都為上旋狀態的概率.【答案】（1）或（2）分布列見解析，1（3）【解析】1）根據已知條件列方程，從而求得.（2）根據獨立事件概率計算求得的分布列，并求得數學期望.（3）根據全概率公式以及條件概率計算公式求得正確答案.【小問1詳解】設“兩個粒子通過2號門后仍然恰有1個上旋狀態1個下旋狀態”.事件A發生即通過2號門時，兩個粒子都不改變或都改變旋轉狀態，故，解得或.【小問2詳解】由題知，時分3類情形，①兩個粒子通過1號門后均處上旋狀態，通過2號門后均不改變狀態；②兩個粒子通過1號門后一個上旋狀態一個下旋狀態，通過2號門后上旋狀態粒子不改變狀態，下旋狀態粒子改變狀態；③兩個粒子通過1號門后兩個均為下旋狀態，通過2號門后均改變狀態，所以，同理，，所以所求的分布列為第16頁/共21頁.【小問3詳解】設“兩個粒子通過1號門后處于上旋狀態粒子個數為個”，，“兩個粒于通過2號門后處于上旋狀態的粒于個數為2個”，則，，則.故.19.如圖，已知面積為的矩形，與坐標軸的交點是橢圓：的四個頂點，且該橢圓的離心率為.（1）求橢圓的標準方程；（2）為坐標原點，過下頂點的直線與軸相交于點（不同于相交于點，與橢圓相交于點，直線與直線相交于點.（i）證明：；（ii）設線段的中點為為橢圓上的兩點，且直線，與橢圓都僅有一個公共點，第17頁/共21頁.為定值?存