7.3空間角（精講）（提升版）

酚儺器09

及木縣冷通壯手矜皮嫌.匕片面從戰(zhàn)的同題化方為典向A候

M①于舞：平移外面舊傻中的一條我的條.作出界面「線發(fā)/的角

本②認定：山明作出的角1L是所求弁而。這*角

方

角

a③計異：點&角的低.拿利見第三角好

④一：由—以的角加值科J*]*偉的角由

佬角時.應*它的科角體為新殺弁南九畿所成的懸

水依真鐵與凈面所?.角的方法：

1、定義修：植植克畿與平面所A.角的定X..結(jié)合叁峻晨與斜畿段眄長度比

幾

求得健面角的正僅值；

何2、向量溫：分別未出料嫌加E所&平面內(nèi)的射彩A畿的方向向量.

法片化為求斷個向**認向曼的夫貪（“補角）：

、法向量線：求出斜的方向向量和書畫的快向量所夫的僦角.

解3?

■其余角即為斜畿與手向肝氏眄角.

空

水微面角的三個步■:

間

一件（叫角

角面

二?/：先我由科畿在*面上的射影.夫健是件色微.找金足

A三計算：總蝶面角緯化到三角好中求解

在二面角的松上找煮.過點在兩個平面內(nèi)作業(yè)的叁侵.兩

龍X.“色畿所4的角it是二面角晅十面角.三角耳中求于面角

如杲兩個平面加文，有&一個手面內(nèi)的一點與另一個平面

叁立的叁線,可邊這一煮件金的全線.連桂的個叁工.應

用三單微定JT可3/兩爭尺的連線與極力f,那么1L可以

三金微溫找到二面角的印面角

二

面二面角中加采在注一個平面與依叁史.R與二面角的兩個平平面不

向

拿向注M攵.邱久斌西條文級所角即為該二面角的小面角

*多通號的壬《?§?eA一個牛專角的川彩■號內(nèi)壬■力S.

工，?“與?）?鵬或的二?得用“Hc<?e=s

射出面枳法S

?微乎忖：方憫向支平行

~~I域面平行：十面外的A畿方向向量與乎看法向受叁

平行-------------------------------------------------------

面面于什：兩手面的法內(nèi)量*行

段段色￡：H，兩伍線所在的方向向于互相也臣,即金它們的致方枳為掌

蟆擊全皮：七線的方向向蛇與平面的法向盤兵線，或切M級面#方

的丹定定理齡化為明級級

空d*6

間面向叁貪：的個中面的法向量叁丸，改科用面向至史眄刊文定if

向傳化為3明城面全A

量

X

?級,禽：或4級0.。所成的H為8,射cm6=二=0c(0-1

ch2

霰面角：/力斗而。的例黛,。為，與a所■的角，射〃“。?說|,星影園10?；)

空

同

角

n>九時cos。=；21?雪，M■國［0.n)

二面角：牛*aT曲”的《嗎，z

考點一線線角

【例1-1］（2022?全國?高三專題練習）如圖，在三棱錐M-人8C中，M4_L平面ABC,_ABC是邊長為2的

正三角形，MA=26，E是MC的中點，則異面直線力所與"?所成角的余弦值是（）

3

【一隅三反】

1.（2022?新疆?三模（理））在正方體4BCO-A4GA中，E為AA的中點，平面AGB與平面CEQ的交線

為I,則/與A8所成角的余弦值為（)

r也

3DT

2.（2022?四川內(nèi)江?模擬預測（理））如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，5CJL面4CGA，CA=CCt=2CB,

則直線8a與直線Aq夾角的余弦值為（)

B.B1

A

A.逑B.正C.苴D.-

5355

3.（2022?全國?高三專題練習）在三棱錐P—A8C中，PA.PB、PC兩兩垂直5.PA=PB=PC,M、N分別

為AC、A3的中點，則異而直線PN和3M所成角的余弦值為（）

ATBfC-TDT

考點二線面角

【例2-1］（2022?黑龍江）如圖，在四極錐P-八8co中，底面人8CQ是矩形，A。_L平面COP,PD=CD,

DE=PE,且NPCQ=30°.

AB

p

（1）求證：平面4%」平面八8CQ：

（2）若8=3,AD=2,求直線P3與平面AOP所成角的止弦值.

【例2-2】（2022?云南）已知正方體A8CO-A4CA的極長為1,點P在線段8%上，且/>3=2/>。，則八P

與平而ABC。所成角的正切值為（)

A.1B.立C.此D.這

255

【例2-3].（2022?河南安陽）如圖，在圓錐SO中，AC為圓錐的底面直徑，AC=4,..SAC為等腰直角三角

形，B為底面圓周上一點，且NAC4=60°,M為SA上一動點，設直線以/與平面必C所成的角為6,貝人歷。

的最大值為（）

AB\-z.''D?半

-TV5

【一隅三反】

1.（2022?河南安陽）如圖，在四面體A8CO中，AB=AD,BC=CD,E為8。的中點，尸為AC上一點.

（I）求證：平面ACEJL平面8。尸:

（2）若/8CQ=90°,440=60。，AC=6BC,求直線8”與平面AC。所成角的正弦值的最大值.

2.（2022?北京）如圖，四棱錐尸-ABC。的底面是梯形，BC//AD*AB=BC=CD=1,

AD=2,PB=—,PA=PC=y/3E為線段尸。中點.

2

(1)證明：AC1BP.

(2)求直線的與平面PC。所成角的正弦值.

考點三二面角

【例3-1](2022?云南師大附中)如圖，是邊長為46的等邊三角形，E,”分別是八aAC的中點,

G是一A8C的重心，將一八針沿石尸折起，使點4到達點。的位置，點夕在平面8QT的射影為點G.

⑴證明：BELPC；

(2)求平面與平面尸4。夾角的余弦值.

【例3-2](2022?青海?海東市第一中學)如圖，在四棱錐P-HBC。中，平面PCZ)_L平面ABC。，iPCD'h

等邊三角形，AB=AD=1CD=1,NBAD=NADC=90。，M是棱上一點,且C仞=2MP.

(I)求證：平面MB。：

(2)求二面角M-8。一。的余弦值.

【一隅三反】

1.(2022?天津.高考真題)直三棱柱ABC-中，AA]=AB=AC=2,AA}LAB,AC±AB,。為A區(qū)的

中點，E為AA的中點，尸為C。的中點.

(I)求證：EF”平面ABC：

(2)求直線BE與平面CG。所成角的正弦值：

(3)求平面\CD與平面CCP所成二面角的余弦值.

2.(2022?江西)如圖，在三極錐P—4BC中，△PAC是邊長為2的正三角形，BC=AC,乙4C3=『，D

為AB上靠近A的三等分點.

P.

7?

(1)若P8=2及，求證：平面PCD_L平面，C3：

(2)當三棱錐P-人8c的體積最大時，求二面角8-PQ-C的余弦值.

3.(2022?廣西玉林?模擬預測(理))如圖，在直三棱柱48C-A4G中，D,E別是棱人凡、CQ上的點,

AD=C,E=^AA,,A,C,=B,C,.

(1)求證：平面。石用1平面AAH%；

(2)若直線用力與平面ABC所成的角為45,且外片二加人^,求二面角。一4七-8的大小.

考點四空間角的綜合運用

【例4】(2022?重慶南開中學)(多選)己知正四棱錐尸-A6CQ的側(cè)面是邊長為6的正三角形，點M在棱

P。上，且PM=2MD，點Q在底而ABCD及其邊界上運動,且MQH而PAB,則下列說法正確的是()

A.點Q的軌跡為線段

B."。與C。所成角的范|韋|為

C.M。的最小值為6

D.二面角M-A8-Q的正切值為立

5

【一隅三反】

1.（2022?湖南?長郡中學模擬預測）（多選）已知正方體48C。-ABC。的邊長為2,例為CG的中點，P為

側(cè)面8CG片上的動點，且滿足AM//平面ABP,則下列結(jié)論正確的是（）

A.B.CR〃平面A8P

C.AM與A4所成角的余弦值為:D.動點/＞的軌跡長為亞

J3

2.（2022?福建?三明一中模擬預測）已知正方體ABCO-AgCQ中，AB=26,點￡為平而八"。內(nèi)的動點，

設直線AK與平面ABO所成的角為。，若sina=45,則點E的軌跡所圍成的面積為.

7.3空間角（精講）（提升版）

哥建學0B

基本忌珞通移A級，出身的丸線的同盟化中為兵而先嫌

移：學界面在紇中的二型產(chǎn)條.件出一面木畿幽角

級<①44

本

線②認定；?■明仲也必角就是祈求畀囪6幔所點的角

角

分

<③計岸：取試角的值.*利用3三角爵

④一：由#面1所改的怠的…，迨國/￥［方偉的科

他角時,應,它的補角作為同泰弁而上線所改的啟

*x丸級與平面斯■角的方爆：

1、定義法：樞*￡蝮與寺面所版角的定義，站合步級及與轉(zhuǎn)線總的長度比

幾

未將”面角的正會值：

何2、佝支法：分別求由轉(zhuǎn)線“它所在*函內(nèi)的射學方微的方向向曼，

法”僅為我的個向量方演向f的夫角（或補角）;

解3、法向費瑞：求也X畿的方面向兼“平面的法向盤所夫的域啟，

中其余角即為M段與平面所成的角.

空

/求線備角的三個）”：

間

面一件（杈）用

角

角二讓明：死&.由斜級在手向上的射斗，關停是件，級，技單足

三計算：為微面角X化到三角好中求加

在二面角的椅上找點，理點在兩個牛面內(nèi)作收的#蝮，西

定大溫_皂微網(wǎng)改的角it是二面前的平面角.三角畫中求平赤角

加某對小書得如文.有迷一個斗面內(nèi)的一.&與另一本書面

*f的#級，可過述一點作檢S4級，逢接兩個手足，府

用三叁級定獨可金明而全*的逢”與被至左，那么就可以

三單微注找到二面角的平面角

二面角中加某有在一個手面與槍金￡,且與二面角幽兩個即平面撐

角叁面溫*1丈.鄴么這兩條文嫌的*的角即為該二面角的平面角

*6★牙的的以為S.七A一個半?內(nèi)的AitlNIRS，M為乂

射野函枳法?”與?6?常威,內(nèi)二"?角“Mc?e=^

侵微乎行：方佝內(nèi)蒙于訐

Ty行縱而平行：斗向外級方向內(nèi)曼與平面溫飽受卡

面面平打：身平面的注向量平行

線級叁龍：法/兩克微所右眄方向向量互加全走.即U它外的致受極為掌

段面色在：在線的方面向步與平面的法內(nèi)干共畿,我利用線面垂在

的則文定座傳化為金/畿畿色比

空

間畫面至在：兩個平的的法陶卡里0,為利用面面*宜附科定定Jf

向傳化為H/紇面金隹

曼

?最育：設異面★畿0.b所雙的角為嘰Oe(0f|

ah2

級的角，/內(nèi)干壬。的野級，?為/與。所成的角，副”"1諭1?昆龜國10,；】

交

M

角

二曲急：十的>0,時ros0=1％?雪,MM(O.n)

l"ill%I

考點一線線角

【例1-1］（2022?全國?高三專題練習）如圖，在三棱錐中，M4_L平面ABC,

是邊長為2的正三角形，MA=2VL/是MC的中點，則異面直線M4與質(zhì)所成角的余弦

值是（）

A.3B.史

34

C.姮D.』

38

【答案】D

【解析】解法一：設E為的中點，連接尸￡如圖,

???￡是BC的中點,

:?FE〃BM、M3=4,莊=2.”=2,AE=5

”+223S

在話中，由余弦定理可知cos?AFE=-.

2蝕28

.?.異面直線8E與人產(chǎn)所成角的余弦值為:，

X

解法二；以人為生標原點，八G八”所在直線分別為戶z軸建立空間直角坐標系如圖所示,

易知A（0,0,0）,B網(wǎng),（））,網(wǎng)0,1詢，M（0,0,26）

所以M8=（G,12G）,A尸=（0，G）,

則cos（M8,A/）=MBAF-55

照則叫4x28

???異面直線8E與人戶所成角的余弦值為故選：D

O

【一隅三反】

I.（2022?新疆?三模（理））在正方體八3。。-43￡。中，E為AR的中點，平面A。/與平

面CEQ的交線為/,則/與八8所成角的余弦值為（）

A.-B.IC.昱D.近

3333

【答案】D

【解析】延長BA，CE交直線于點M,延長GE，MA交于點N,連接"N,"G，MQ,

則直線Mg即為交線/,

又AB〃C、D\,則/MG2即為/與48所成的角，設正方體棱長為1,

因為E為AA的中點,WBQIBC,

所以A為M4的中點，A為N4的中點，點E為MC的中點，E為NG的中點，則

EM=EC,EN=ECit

"MEN=/CEC\,所以&EMN」ECC1,所以MN=CC；=1,NMN￡=NCC盧=90。,

則G2=l,C,M=V6,MD\=6所以cos/MCA=強投"=^~=四,

2C[D{3

即/與AB所成角的余弦值為Y5.故選：D.

3

2.（2U22?四川內(nèi)江?模擬預測（埋））如圖，在直二楂柱ABC-48cLlJ,而ACQA，

CA=CQ=2CB,則直線8G與直線4片夾角的余弦值為（）

【答案】C

【解析】連接C4交3G于。，若E是4c的中點，連接BE,ED,

由A8C-A6G為口橋村:，各側(cè)而四邊形為矩形，易知：。是CB,的中點,

所以八4,故直線BG與直線八片夾角，即為口）與BG的夾角N8OE或補角,

若8c=1,則CE=I,BD=CD=—,

2

8cJjiliACGA，ECu面ACGA，則C7?_LCE,

而EC_LCC1,乂4CnCG=C,BC,CGu面BCCM,故ECJ?面BCC1反，

又CDu面BCC畫,所以CE_LCD

所以=+CE?=1,BE=Jc”2+CE°=&，

RD【-ED?-BE?泊。

在^BDE中cos4DE

2BDED2x^x1~5

22

故選：C

3.（2022?全國?高三專題練習）在三棱錐P—A8c中，附、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC,

M、N分別為AC、A8的中點，則異面直線PN和所成角的余弦值為（）

A.走B.正C.邁D.巫

3636

【答案】B

【解析】以點〃為坐標原點，以PA，PB，PC方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所

示的空間直角坐標系，

令%=2,則2(0,0,0),8(020),Af(1.0,0),N(1JO),

貝|JPN=(1,1,O),3M=(1,—2,1),

設異面直線PN和8M所成角為仇則cos。」外7訃＞二g.放選:B.

\PN\\BM\6

考點二線面角

【例2-1】(2022?黑龍江)如圖，在四棱椎P-ABCD中，底面A8CD是矩形，AO_L平面CDP,

PD=CD,DE=PE,且/尸CD=30°.

(1)求證：平面4卯J?平面ABC。；

(2)若CD=3,4)=2,求直線與平面AOP所成角的正弦值.

【答案】(I)證明見解析⑵巫

62

【解析】(1)因為PD=CQ，所以NPCO=NOPC=3()°,所以NPDC=120°,

又因為DE=PE,所以/PDE=/EPD=30。,所以/H5C=90°,所以EO_LDC,

又因為八。_1_平面CQP,OEu平面CQP.所以AO_LQE,

又因為COAD=D,CD、AOu平面4BCD,所以。E_L平面/WC。，

而O￡u平面ADE,所以平而ADE_L平面ABCD.

得證.

⑵如圖，以。為坐標原點，分別以。石、DC、D4所在的直線為坐標軸正方向建立空間直

角坐標系，則點4(002),D(0,0,0),，8(032),則

=DA=(0.0,2),。。=(述,_3,0),

2222

_2z=0

設平面尸的法向星為〃=(x,y,z),貝一八，即3

n-DP=0----x一一1

122'

令x=l可得平面AO尸的法向量為〃=(1,6,0)，

設直線"8與平面戶所成角為，，則

3庖

62

有線PB與平面40P所成角的正弦值為主畫.

【例2-2］（2022?云南）已知正方體48CO-AqCQ的棱長為］，點Q在線段8。上，且

PB=2PD\,則4P與平面A8CQ所成角的正切值為（）

A」B.?c.且D26

25丁

【答案】D

【解析】如圖，連接8Q,

因為3A在平面48CZ）上的投影為8/九故作尸Q_L8Q于Q,I1PQ,平面A8cO,

連接4Q,則APq平而A8CD所成角為NPAQ.

因為必=2股，故尸。〈m4,且也=2。0,故公=3可+&q邛

2

所以A尸與平面ABCD所成角的正切值為tanZPAQ=^=5=—

AQ理5

T

故選：D

【例2-3].（2022?河南安陽）如圖，在圓錐SO中，AC為圓錐的底面直徑，AC=4,.3AC為

等腰直角三角形，8為底面圓周上一點，且NACB=60。，M為SA上一動點，設直線與

平面SAC所成的角為0,則sin0的最大值為（）

D.亭

【答案】C

【解析】如圖，過點8作8。，AC于點O，連MO,TSO,平面ABC,BDu平面48C,

:.S。工BD，又BDJ.AC,ACrSO=O,八。,30<=平而50（7,，8。1平面找七，又,：MD

u平面SOC,工8O_LM。，故N3A”）為直線8M與平面SAC所成的角，在中，MO

越小,6越大,sin小越大,當MD_LSA時，MD最小,此時sin。最大，:AC=4,.SAC為等

腰白角三角形，又NAC8=60。，在RtZ\A8C中，8c=2,在Rt&8c。中，CO=1,則AO=3,

在等腰直角三角形4W中，MO=AOxsin^=述，在RtZsBWO中，BD=B

42

___________后、.BD_6_VlO

BM=JBD2+MD，=四廁血—而■一夜一-丁

2-----

2

故選：C.

【一隅三反】

1.（2022?河南安陽）如圖，在四面體A8C。中，AB=AD,BC=CD,￡為8。的中點，F(xiàn)

為AC上一點.

(1)求證：平面AC石_L平面80F：

(2)若/8CQ=90°,N8AO=60，，AC=6BC,求直線8f與平面AC。所成角的正弦值的最

大值.

【答案】⑴證明見解析；⑵立.

2

【解析川)在四面體A8C。中，48=AQ,8。=。。，占為8。的中點,則從￡：_13。。￡：，3。，

而A￡ICE=E,AE,CEu平面ACE.于是得8。_L平面ACE,乂BDu平面BDF，所以

平面ACE_L平面3OF.

(2)依題總不妨設6c=8=2,/68=90°,則8。=2夜,CE=&，又/皿＞=60",則

AB=AD=BD=26，AE=46.

AE2+CE2-AC264-2-12_73

在ACK中,AC=26所cosAAEC=則

2AECE2x5/6x72-3

sinZ.AEC=^~?fECC=

3

]4

由（1）得，38。=耳，因AD?+CD?=12=ACS即NADC=90，則

JJ

S?/AiCvc*D=-2ADCD=2yf2.

設點8到平面ACO的距離為力,則匕==解得力=&，所以點

8到平面ACO的距離為亞.

設直線8尸與平面ACO所成隹為/所以sinO=4-=巫.

BFBF

因為4力+8。2=12=4。。所以2A8C=90,故當8尸_LAC時，8尸最短，此時

2拒276昱=2

BF=

一5-，正弦值最大為2瓜~2.

*63

2.(2022?北京)如圖，四梭錐P—ABC。的底面是梯形，BC〃AD、AB=BC=CD=\,

加2,*孚**⑸E為線段PD中點.

(1)證明：ACLBPx

(2)求直線BE與平面PCZ)所成角的正弦值.

【答案】⑴證明見解析；⑵矩.

14

【解析】⑴取40中點凡連接M交AC丁點0,連接PRP0,FC,

由A8=8C=CQ=l,A/)=2,且梯形ABC。，有3。=人F=1且BC7/E4,

故平行四邊形3。粗，又AB=BC=\,故3。以為菱形，

所以。為AC〃產(chǎn)的中點，iifj.RFA.AC.

又因為PA=PC=&,故P0_LAC,

BF±AC,PO1AC,POA8/=O,8F,POu面PBF，

故A。_1_面2酎，又BPu面尸8尸.故,AC工BP.

⑵解析1：幾何法

在4人3戶中，AB=AF=\,^BAF=60°,故八。=正,8。=’，

22

因為尸人=逐，故尸0=],由夕8=亞，即改下+^^二所，

22

即PO1BO,BF±AC,PO^\AC=O,故即上面APC,

又BFUCD,故CO1面APC,CZ)u面尸C。，故面APC1面PCZ).

作O〃_LPC,面人尸CCI而PC￡)=PC,OHu而APC,故OHJ?而尸CD,

33

在△POC中，O〃=:，因為8b〃CZ),故3到面PCD距離等于OH=-,

44

設班'與平面尸°。所成角為/BE4,

解析2：向量法

在一43尸中，/AZ?=AF=l,ZfiAF=60°,故八。=且,8。=’,

22

因為故〃0=1，由夕8=亞，即尸。2+80?=P5,

22

即PO_L80,PO_LAC,30CMC=O,故PO±面ABCD，

以。B為人?軸，0C為y軸，0P為z軸建立空間直角坐標系，

故PC=(o,冬一I、,CD=(-1.0,0),?E=|-I,—,-L

44,

“—后3_八

“*PC=V--2=0L./L

設面PC。的法向量為〃=(x,.Y,z),則2,2,令)，=石，故〃=(0.75,1),

nCD=-x=0

3

mr93a萬

所以sin0=\cos<BEnr>\=-^―二七-,故座與平面PC。所成角的正弦值為出.

也x21414

2

考點三二面角

【例3-1］（2022?云南師大附中）如圖，,58。是邊長為4右的等邊三角形,￡廠分別是人氏人。

的中點，G是.A8C的貴心，將..A所沿石尸折起，使點A到達點P的位置，點P在平面BEFC

的射影為點G.

B

（1）證明：BELPCx

⑵求平面正戶與平面P8C夾角的余弦值.

【答案】（【）證明見解析；（2）在

3

【解析】（1）

連接CE,因小48。是等邊三角形，￡是48的中點，G是6Ase的重心，所以G在。￡上,

BE1CE,

又點P在平面BEFC的射影為點G,