多項式因式分解及其應用研究TOC\o"1-2"\h\u摘要 1引言 21.預備知識 32.多項式因式分解的相關定理 43.多項式因式分解的相關應用 93.1多項式因式分解在高次方程求根中的應用 93.2多項式因式分解在函數求零點中的應用 103.3多項式因式分解在求矩陣的特征值和特征向量中的應用 103.4多項式因式分解在解不等式（組）中的應用 133.5多項式因式分解在求多項式的公因式中的應用 143.6多項式因式分解在求代數式的值中的應用 16結束語 16參考文獻 18摘要：本文首先給出了多項式因式分解的相關定義；其次從數域上、復數域上、實數域上多項式的因式分解，利用艾森斯坦因判別法判別一個整系數多項式在有理數域上是不可約的以及高次整系數多項式可分解的必要條件等方面闡述了多項式因式分解的相關定理；最后從求高次方程的根、求函數的零點、求矩陣的特征值和特征向量、解不等式（組）、求多項式的公因式和求代數式的值這六個方面介紹了多項式因式分解的應用.關鍵詞：多項式；因式分解；根；零點；特征值引言多項式因式分解是解決許多數學問題的重要工具，它在求高次方程的根、函數的零點以及求矩陣的特征值和特征向量的過程中都有重要的應用.利用多項式的因式分解，可以更加方便的求高次方程的根、求函數的零點和求多項式的公因式等.許多學者已經探究了多項式的因式分解.文獻[3]介紹了怎樣將一元整系數多項式因式分解；文獻[6]討論了高次整系數多項式因式分解的辦法；文獻[8]討論了多項式因式分解的幾種辦法；文獻[9]介紹了的因式分解和它的應用.本文在上述文獻的基礎上，進一步概括了多項式因式分解的相關定理，并給出了多項式的因式分解在求高次方程的根、求函數的零點、求出矩陣的全部特征值和特征向量、解不等式（組）、求多項式的公因式和求代數式的值這六個方面的應用.1.預備知識定義1.1[1]設是一非負整數.形式表達式其中，叫做系數在數域上的一元多項式.定義1.2[1]若一個非零的整系數多項式的系數沒有除了之外的公因子，它就叫做一個本原多項式.定義1.3[2]設是兩個整數，假如存在一個整數，使得，則稱整除，記作.定義1.4[3]因式分解就是將一個多項式在一定的范圍內分解成若干個因式積的形式.定義1.5[2]設是兩個整數，如果與的最大公因數為，則稱互素.定義1.6[4]設，若有數和維非零列向量，使得成立.那么數叫做矩陣的特征值，非零向量叫做矩陣的對應于特征值的特征向量.定義1.7[1]為一個文字，矩陣的行列式叫做的特征多項式.定義1.8[1]若數域上次數的多項式不可以表示為數域上的兩個次數比的次數低的多項式的乘積，那它叫做域上的不可約多項式.定義1.9[11]如果，，則為，的一個公因式.定義1.10[1]如果在時，則就稱為的一個根或零點.定義1.11[1]設為一些復數組成的集合，里面包括和.若里面任意兩個數（這兩個數也能一樣）的和、差、積、商（除數不等于）仍屬于，那就叫做一個數域.引理1.1[1]如果復系數多項式的次數，那么它在復數域里有一根.引理1.2[1]兩個本原多項式的乘積仍為本原多項式.2.多項式因式分解的相關定理定理2.1[1]數域上任一次數的多項式皆能唯一地化為數域上一些不可約多項式相乘.證明對的次數作數學歸納法.由于一次多項式全部是不可約的，所以時結論成立.設，并設結論對次數低于的多項式已經成立.若是不可約多項式，結論顯然成立.若不是不可約多項式，則存在和，使得，其中，的次數都低于.由歸納法可得和全部能化為數域上一些不可約多項式相乘.所以能化為一些不可約多項式相乘.下面證唯一性.設，其中不可約.如果還有另一個分解式，其中都是不可約多項式，于是.對作歸納法.當，不可約，故，且.現設不可約因式的個數是時唯一性已證.由，，所以，一定能除盡其中的一個，不妨設.因為也是不可約多項式，所以有，在式兩邊消去，就有.由歸納假設，有，即，并且適當排列次序之后有，即，.合起來即為所要證的.這就證明了分解的唯一性.定理2.2[7]復系數次多項式在上皆能唯一地化為一次因式的乘積.定理2.3[7]實系數多項式在不可約，當且僅當有或且.證明定理對一次多項式顯然成立.假定定理對次數的多項式已證明.設是次實系數多項式.由引理1.1，有一復根.如果是實數，那么，其中.如果不是實數，那么也是的根且.于是.顯然是一實系數二次不可約多項式.從而.由歸納假設，或能分解為一次和二次不可約多項式的乘積，所以也能分解.定理2.4假如一非零的整系數多項式可以分解為兩個次數較低的有理系數多項式的乘積，那它必能分解成兩個次數較低的整系數多項式的乘積.證明令整系數多項式，其中，為有理系數多項式，并且.設，，此處全部為本原多項式，為整數，為有理數，所以.由引理1.2可知，為本原多項式，所以，這就說明，為一整數，所以.此處和都為整系數多項式，并且他們的次數都比的次數低.定理2.5（Eisenstein判別法）設，若存在素數，滿足那么在有理數域上是不可約的.證明設在上可約，由定理2.4可知，能夠分解為以下形式，因此.因為，所以能整除或者.又因為，所以不可以同時整除和，于是假設、.又因為，所以.假定中第一個不可以被整除的為，并且，因為都可以被整除，所以也必須被整除.又因為為素數，所以中至少有一個被整除，產生矛盾.定理2.6多項式有因式，當且僅當有.定理2.7一元四次多項式在有理數域上能化為的必要條件是在中存在因數，使得為完全平方數.定理2.8整系數三次多項式在其域內可以分解成的必要條件是應為完全方數.定理2.9整系數五次多項式在其范圍內可以分解成，的必要條件是，均為完全平方數.證明由，對比等式左右兩邊，有系數方程組.首先由式知是關于未知數的二次方程的兩個根.因為為整數，故的判別式應為完全平方數.再由式和式知是關于未知數的二次方程的兩個根.因為為整數，故的判別式應為完全平方數.定理2.10設，而為其有理根，其中互素，則一定有.特別地，假如的首項系數，則的有理根全部為整根，并且為的因子.證明因為的一個有理根，故在上，所以.因為互素，故為本原多項式，則，式中都為整數.比較可得，所以.3.多項式因式分解的相關應用3.1多項式因式分解在高次方程求根中的應用在高次方程中，我們可以試出其中一個根，然后根據定理2.6，得出高次方程的一個因式，將高次方程進行一次因式分解.然后以此類推，再進行因式分解，最后求出方程的根.例1求方程的根.解由于，，因此只需將進行因式分解，令，則，于是可分解為，，故方程的根為.3.2多項式因式分解在函數求零點中的應用在求解函數的零點時，根據函數零點的定義可知，令函數，然后將方程進行因式分解，最后求出方程的根，即函數的零點.例2求函數的零點.解令，即，易知是方程的根，于是由因式分解定理得，，所以的根為.故函數的零點為.3.3多項式因式分解在求矩陣的特征值和特征向量中的應用在計算矩陣的特征值和特征向量時，先令，求出特征值，最后求出特征向量.例3求解階實矩陣的全部特征值.解計算的特征多項式如下 ，令，即，由于，，因此只需將進行因式分解.令，則，于是可分解為，，所以的根為.故矩陣的全部特征值為.例4求解階實矩陣的全部特征向量.解計算的特征多項式如下,令，即，令，則，于是可分解為，，所以方程的根為.故矩陣的全部特征值為.把特征值代入齊次線性方程組如下得到此方程組的一個基礎解系.因此屬于的全部特征向量為(為不等于的實數).把特征值代入齊次線性方程組如下得到此方程組的一個基礎解系，.因此屬于的全部特征向量為().3.4多項式因式分解在解不等式（組）中的應用在計算不等式的解時，首先令不等式的左邊等于零成為一個方程，然后利用因式分解定理求出這個方程的根，最后求出不等式的解.在計算不等式組的解時，分別令不等式組的兩個不等式的左邊等于零成為兩個方程，利用因式分解定理求出這兩個方程的根，然后求出這兩個不等式的解，最后求出這兩個不等式的解的交集即為不等式組的解.例5求不等式的解.解令，令，則，于是可分解為，，所以方程的根為.故不等式的解為或.例6求不等式組的解.解第一步，令，于是由因式分解定理可得，所以方程的根為.故不等式的解為.第二步，令，由于，，因此只需將進行因式分解.令，則，于是可分解為，，所以的根為.故不等式的解為或.所以不等式組的解為.3.5多項式因式分解在求多項式的公因式中的應用在求多項式的公因式的時候，我們首先需要運用多項式的因式分解，將多項式分別分解成若干個因式積的乘積，最后找出這幾個多項式相同的因式即為幾個多項式的公因式.例7設，，求和的公因式.解第一步，令，即，易知是方程的根，于是由因式分解定理得.第二步，令，即，易知是方程的根，于是由因式分解定理得.綜上所述，和的公因式為、.例8設，，，求、和的公因式.解第一步，由因式分解定理可得.第二步，令，即，易知是方程的根，于是由因式分解定理得.第三步，令，即，易知看出是方程的根，于是由因式分解定理得.綜上所述，、和的公因式為.3.6多項式因式分解在求代數式的值中的應用在求代數式的值時，首先我們需要利用因式分解定理，構造出含有已知等式的式子，最后求出代數式的值.例9已知，求的值.解所以的值為.例10若不相等，且，，試求的值.解由兩式相減得.因為，化得.因為，所以，從而得.結束語本文由相關定義引理出發，總結了多項式因式分解的個定理，并給出了個應用.通過本文，我們能對多項式因式分解有一個初步的了解，并能知道如果我們更多的去了解這些定理和應用，有時會給我們帶來方便.當然，本文只是總結出了多項式因式分解的部分簡單定理及應用，其中還有很多特殊的定理及應用等著我們去發現.

參考文獻[1]北京大學數學系前代數小組編.高等代數[M].4版.北京：高等教育出版社，2013，8：162-313.[2]安軍.關于高等代數多項式理論的教學探討[J].高等數學研究，2021，24(01):63-67.[3]李利芳.一元整系數多項式因式分解的思路及方法再探討[J].內江科技，2020，41(08):49-50.[4]陳華，何佳怡，袁致成，吳奔潮