第27章圓27.1

圓的認識2.圓的對稱性

第2課時垂徑定理及其推論目

錄CONTENTS011星題基礎練022星題中檔練033星題提升練垂徑定理1．[知識初練]如圖，CD是⊙O的弦，AB是⊙O的直徑，AB⊥CD，垂足為E，下列結論不一定成立的是(

)C．EO＝EB

D．EC＝EDC234567891011121312．如圖，⊙O的半徑為3，弦AB＝4，OC⊥AB于點C，則OC等于(

)A．2B.

C．3D．523456789101112131B3．如圖，將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經過圓心O，則折痕AB的長為________cm.[變式題]把球放在長方體紙盒內，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知EF＝CD＝4cm，則球的半徑為________cm.234567891011121312.54．如圖，在⊙O中，AB為⊙O的弦，C、D是直線AB上兩點，且AC＝BD，求證：△OCD為等腰三角形．23456789101112131證明：過點O作OM⊥AB，垂足為M，則AM＝BM.又∵AC＝BD，∴CM＝DM.∴易得OC＝OD.∴△OCD為等腰三角形．5．下列說法中正確的是(

)A．垂直于弦的直線平分弦所對的兩條弧B．平分弦的直徑垂直于弦C．垂直于直徑的弦平分這條直線D．弦的垂直平分線經過圓心23456789101112131D垂徑定理的推論6．如圖，⊙O的半徑為5，弦AC＝8，B是AC的中點，連結OB，則OB的長為________．2345678910111213137．如圖，AB為半圓的直徑，O為圓心，C為半圓上一點，

E是

的中點，OE交弦AC于點D.

若AC＝8cm，DE＝2cm，求OD的長.解：∵E為

的中點，∴OE⊥AC，∴AD＝

AC＝4cm.設OE＝rcm，則OA＝rcm.∵DE＝2cm，∴OD＝(r－2)cm.在Rt△OAD中，OA2＝OD2＋AD2，即r2＝(r－2)2＋42，解得r＝5，∴OD＝5－2＝3(cm)．234567891011121318．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦，CE＝DE，則下列結論：①

；②∠COE＝∠DOE；③OE＝BE；④△CBE≌△DBE.其中一定正確的有(

)A．1個

B．2個

C．3個

D．4個23456789101112131C9．如圖，AB、AC都是⊙O的弦，BC是直徑，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分別為M、N，如果MN＝3，那么BC＝________．23456789101112131610.[真實情境]如圖是一個圓形木質藝術品，記圓心為O。已知⊙O的半徑為12cm，在距離點O

8cm的點A處發生蟲蛀，現需沿過點A的弦PQ將藝術品裁開，然后用美化材料沿PQ進行粘貼，則美化材料（即弦PQ的長）最少需要________cm。2345678910111213111．[易錯題]如圖，在平面直角坐標系中，一個圓與兩坐標軸分別交于A、B、C、D四點．已知點A(6，0)、B(－2，0)、C(0，3)，則點D的坐標為________．23456789101112131(0，－4)12.[真實情境]如圖，有一石拱橋的橋拱是圓弧形，正常水位下面寬

AB＝60m，水面到拱頂距離CD＝18m．當水面到拱頂距離小于3m時，需要采取緊急措施．當水位上漲至水面寬MN＝

32m時，是否需要采取緊急措施？請說明理由．解：不需要采取緊急措施．理由：作

所在圓的圓心O，連結OD，OA，OM，設CD與MN交于點E，易知O，C，E，D在同一直線上，且OD⊥MN，OD⊥AB，∴AC＝

AB＝30m，ME＝

MN＝16m．設OA＝OD＝OM＝Rm，在Rt△AOC中，OC＝OD－CD＝(R－18)m，OA2＝AC2＋OC2，∴R2＝302＋(R－18)2，解得R＝34，設DE＝xm，∴OE＝OD－DE＝(34－x)m.在Rt△MOE中，OM2＝ME2＋OE2，∴342＝162＋(34－x)2，解得x1＝4，x2＝64(不符合題意，舍去)，∴DE＝4m.∵4>3，∴不需要采取緊急措施．2345678910111213113.[創新題·新定義][推理能力]新定義：同一個

圓中，互相垂直且相等的兩條弦叫做等垂弦．(1)如圖①，AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D，E.求證：四邊形ADOE是正方形；23456789101112131證明：(1)∵AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，∴∠A＝∠ADO＝∠AEO＝90°，AB＝AC，AD＝

AB，AE＝

AC，∴四邊形ADOE是矩形，AD＝AE，∴四邊形ADOE是正方形．(2)如圖②，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB，分別交⊙O于D，C兩點，連結CD.求證：AB，CD是⊙O的等垂弦．設AB交CD于點E，OC交AB于點F.∵OD⊥OA，OC⊥OB，∴∠AOD＝∠BOC＝90°，∴∠B＋∠OFB＝90°，∠AOB＝∠COD，∴AB＝CD.又∵OB＝OC，