壓軸題專訓一二次函數壓軸題1．如圖①，拋物線y＝－x2＋bx＋c過點A(－1，0)，點B(3，0)，與y軸交于點C.在x軸上有一動點E(m，0)(0＜m＜3)，過點E作直線ME⊥x軸，交拋物線于點M.(1)拋物線的表達式為

_______________；21y＝－x2＋2x＋3(2)當m＝1時，點D是直線ME上的點且在第一象限內．若△ACD是以CA為斜邊的直角三角形，求點D的坐標；對于y＝－x2＋2x＋3，令x＝0，則y＝3，所以C(0，3)．當m＝1時，設D(1，y)．因為△ACD是以CA為斜邊的直角三角形，所以AD2＋CD2＝AC2，所以22＋y2＋12＋(3－y)2＝12＋32，解得y1＝1，y2＝2，所以點D的坐標為(1，1)或(1，2)．21(3)如圖②，連結BC交ME于點F，連結AF，設△ACF和△BFM的面積分別為S1和S2，當S1＝4S2時，求點E的坐標．設直線BC的表達式為y＝kx＋d，所以直線BC的表達式為y＝－x＋3.因為E(m，0)，ME⊥x軸，所以M(m，－m2＋2m＋3)，F(m，－m＋3)，所以EF＝－m＋3，MF＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m.因為A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)，所以AB＝3－(－1)＝4，OC＝3，BE＝3－m，21所以S1＝S△ACF＝S△ABC－S△ABF＝

AB·(OC－EF)＝

×4×[3－(－m＋3)]＝2m，S2＝S△BFM＝

MF·BE＝

(－m2＋3m)(3－m)．因為S1＝4S2，所以2m＝

(－m2＋3m)(3－m)×4，化簡得m(m2－6m＋8)＝0.因為0＜m＜3，所以m2－6m＋8＝0，解得m1＝2，m2＝4(不符合題意，舍去)，所以點E的坐標為(2，0)．212.[2024·龍巖二檢]拋物線y＝－

x2＋bx＋c與x軸的交點為A(－2，0)，B(6，0)，頂點為E，對稱軸與x軸的交點為D.(1)求拋物線的表達式；21解：由拋物線y＝－

x2＋bx＋c與x軸的交點為A(－2，0)，B(6，0)，可知拋物線的表達式為y＝－

(x＋2)(x－6)＝－

x2＋2x＋6.(2)連結AE，點F在線段DE上，若AE上存在點G，使得∠AFG＝90°，且AF＝FG，求點F的坐標；解：拋物線y＝－

x2＋2x＋6的對稱軸為直線x＝2，頂點E的坐標為(2，8)，∴AD＝4，DE＝8.過點G作GH⊥DE于點H，如圖①.由∠AFG＝∠ADF＝90°，可知∠FAD＝∠GFH.又∵AF＝FG，∠ADF＝∠FHG＝90°，∴△ADF≌△FHG，∴HF＝AD＝4，DF＝GH.設DF＝GH＝t，則EH＝8－4－t＝4－t.∵GH∥AD，∴△EGH∽△EAD，21(3)點P是拋物線上的一個動點(不與點A，B，E重合)，直線AP，BP分別與拋物線的對稱軸相交于點M，N，求證：△PEM與△PEN的面積相等．證明：如圖②，設點P由題意知m≠±2且m≠6，設直線AP的表達式為y＝px＋q，依題意，得∴直線AP的表達式為y＝－

(m－6)x－(m－6)，當x＝2時，y＝－

(m－6)x－(m－6)＝－2m＋12，21∴點M的坐標為(2，－2m＋12)，∴EM＝|8－(－2m＋12)|＝|2m－4|，同理可求直線BP的表達式為y＝－

(m＋2)x＋3(m＋2)，當x＝2時，y＝－

(m＋2)x＋3(m＋2)＝2m＋4，∴點N的坐標為(2，2m＋4)，∴EN＝|2m＋4－8|＝|2m－4|.設點P到直線MN的距離為h，則