階段拔尖專訓6相似與長度計算問題1溫馨提示：點擊進入講評2345【高分秘籍】初中階段線段長度求值的四種策略：策略一﹕最深奧的相似三角形法，先從直觀上看可能相似的三角形大概有哪幾對，再結合所求的線段，找出它們的關系即可很快地找出我們所需要的相似三角形，然后找出與所求線段對應的線段，其他一對對應線段要根據已知條件去找. 策略二﹕最容易忽略的建立直角坐標系法．當你在幾何范圍內不能順利解決時，千萬不要忘了通過建系、設點的坐標、兩點之間距離公式這種方法可以很好地解決問題.策略三﹕最親民的勾股定理法，所有計算長度問題的方法中，勾股定理是最常用的，或者說是使用頻率最高的．我們要構造包含所求線段的直角三角形，這是我們解決問題的關鍵. 策略四﹕最高大上的三角函數法，首先要將所求的線段放在一個直角三角形內，一般是不會直接給我們直角三角形的，所以關鍵是添加輔助線——作垂線，構造直角三角形，然后利用特殊角的三角函數去解決問題.【證明】∵AB為⊙O的直徑，AF⊥CD于點F，∴∠ACB＝∠AFD＝90°.又∵∠B＝∠D，∴△ACB∽△AFD.1．[2024西安一模]如圖，AB為⊙O的直徑，C為圓上異于A，B的點，E為AB上一點，連接CE并延長交⊙O于點D，連接AC，AD，BC，過點A作AF⊥CD于點F. (1)求證：△ACB∽△AFD；返回2．[2024威海]如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，且BC＝CD.點E是線段AB延長線上一點，連接EC并延長交射線AD于點F.∠FEG的平分線EH交射線AC于點H，∠H＝45°. (1)求證：EF是⊙O的切線；

【證明】如圖，連接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.

∵BC＝CD，∴∠BAC＝∠DAC.

∴∠OCA＝∠DAC.∴OC∥AF.∴∠F＝∠OCE.

∵EH平分∠FEG，∴∠FEH＝∠GEH.∵∠GEH＝∠H＋∠BAC，∠FEG＝∠F＋∠BAF，∴2∠H＋2∠BAC＝∠F＋∠BAF.又∵∠BAF＝2∠BAC，∴∠F＝2∠H＝90°.∴∠OCE＝∠F＝90°，即OC⊥EF.

又∵OC是⊙O的半徑，∴EF是⊙O的切線．(2)若BE＝2，CE＝4，求AF的長. 【解】∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.∴∠OBC＋∠BAC＝90°.∵EF是⊙O的切線，∴∠OCB＋∠BCE＝90°.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∴∠BCE＝∠EAC.返回3．[2024溫州模擬]如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD，點E在CD上，∠DAE＝45°，F為BC的中點，連接AF，交BD于點G，連接EF. (1)求證：BD＝2EF；

【證明】∵四邊形ABCD是矩形，AB＝2AD，∴AB＝CD＝2AD，∠ADC＝∠DAB＝90°，AD＝BC.∵∠DAE＝45°，∴∠DEA＝90°－45°＝45°＝∠DAE.∴AD＝ED.

∴CD＝2DE.∴E為DC的中點．又∵F為BC的中點，∴EF是△BCD的中位線．∴BD＝2EF.(2)當EF＝6時，求GH的長. 返回4．【證明】∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD.又∵∠CEF＝2∠BAD，∴∠BAC＝∠CEF.又∵∠BCA＝∠FCE，∴△ABC∽△EFC.如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，點P在∠BAC的平分線AD上，過點P作線段EF分別交BD，AC于點E，F，已知∠CEF＝2∠BAD. (1)求證：△ABC∽△EFC；

(2)若BE＝DE＝3，F是AC的中點，求CF的長.返回5．【解】如圖所示，點E即為所求．[2024安陽期末]如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于點D. (1