階段拔尖專訓(xùn)10相似與切割線定理的綜合問題1溫馨提示：點(diǎn)擊進(jìn)入講評(píng)234類型1教材新探【高分秘籍】1.切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)．切割線定理的推論：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等．如圖①，設(shè)ABP，CDP是⊙O的兩條割線，PT是⊙O的一條切線，切點(diǎn)為T，則PT2＝PA·PB＝PC·PD.2．相交弦：在圓的內(nèi)部相交的兩條弦．相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等．如圖②，弦AB和CD相交于⊙O內(nèi)一點(diǎn)P，那么PA·PB＝PC·PD.如果弦與直徑垂直相交，那么弦長的一半是它分直徑所成的兩條線段長的比例中項(xiàng)．1．[2024商丘模擬]閱讀與思考：學(xué)習(xí)了圓的相關(guān)知識(shí)后，某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們進(jìn)行了如下探究活動(dòng)，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)任務(wù)．如圖①，A是⊙O外一點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線AC，AE分別交⊙O于點(diǎn)B，C，D，E，則有AB·AC＝AD·AE.證明：如圖，連接BE，DC.∵∠BCD＝∠BED(依據(jù)：①__________________________________)，∠CAD＝∠EAB，∴△ACD∽△AEB.∴＝②________．∴AB·AC＝AD·AE.任務(wù)：(1)上述閱讀材料中①處應(yīng)填的內(nèi)容是___________________________________，②處應(yīng)填的內(nèi)容是________；同弧所對(duì)的圓周角相等(或圓周角定理)(2)興趣小組的同學(xué)們繼續(xù)思考，當(dāng)直線AE與圓相切時(shí)，是否仍有類似的結(jié)論．請(qǐng)將下列已知、求證補(bǔ)充完整，并給出證明．已知：如圖②，A是⊙O外一點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線AC交⊙O于點(diǎn)B，C，______________．求證：AE2＝________．AE切⊙O于點(diǎn)EAB·AC返回2．[2024廣州一模]閱讀與思考：九年級(jí)學(xué)生小剛喜歡看書，他在學(xué)習(xí)了圓后，在家里突然看到某本數(shù)學(xué)書上居然還有一個(gè)相交弦定理(圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等)，下面是書上的證明過程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．圓內(nèi)的兩條弦相交，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等．已知：如圖①，⊙O的兩弦AB，CD相交于點(diǎn)P.求證：AP·BP＝CP·DP.證明：如圖①，連接AC，BD.∵∠C＝∠B，∠A＝∠D，∴△APC∽△DPB，(根據(jù)：①______________)∴＝②______________．∴AP·BP＝CP·DP.∴圓內(nèi)的兩條弦相交，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等.任務(wù)：(1)請(qǐng)將上述證明過程補(bǔ)充完整．①：_____________________________；②：________；(2)小剛又看到一道課后習(xí)題，如圖②，AB是⊙O的弦，P是AB上一點(diǎn)，AB＝10cm，PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半徑．兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似【解】如圖，延長OP交⊙O于點(diǎn)D，延長PO交⊙O于點(diǎn)F，設(shè)⊙O的半徑為rcm，則PF＝(5＋r)cm，PD＝(r－5)cm，根據(jù)(1)中結(jié)論得AP·BP＝DP·FP，即4×(10－4)＝(r＋5)(r－5)，解得r＝7或r＝－7(不符合題意，舍去)，所以⊙O的半徑為7cm.返回3．[2024運(yùn)城模擬]閱讀與思考：學(xué)完直線與圓的位置關(guān)系后，圓的切線的特殊性引起了小王的重視，下面是他的數(shù)學(xué)筆記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．歐幾里得最早在《幾何原本》中，把切線定義為和圓相交，但恰好只有一個(gè)交點(diǎn)的直線．切線：幾何上，切線指的是一條剛好觸碰到曲線上某一點(diǎn)的直線．平面幾何中，將和圓只有一個(gè)公共交點(diǎn)的直線叫做圓的切線．證明切線的常用方法：①定義法；②距離法(圓心到直線的距離等于半徑)；③利用切線的判定定理來證明．添加輔助線的常見方法：見切點(diǎn)連圓心，沒有切點(diǎn)作垂直．圖①是古代的“石磨”，其原理是在磨盤的邊緣連接一個(gè)固定長度的“連桿”，推動(dòng)“連桿”然后帶動(dòng)磨盤轉(zhuǎn)動(dòng)，將糧食磨碎，物理學(xué)上稱這種動(dòng)力傳輸工具為“曲柄連桿機(jī)構(gòu)”．任務(wù)：(1)依據(jù)1：___________________________________________；依據(jù)2：______________________________；(2)在圖②中，若⊙O的半徑為6，AP＝8，求BP的長．一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°返回4．古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得(約公元前325－公元前265)，被稱為“幾何學(xué)之父”．在其所著的《幾何原本》中第3卷給出其中一個(gè)命題：如果圓外的一點(diǎn)向圓引兩條直線，一條與圓相切，一條穿過圓，那么以該點(diǎn)到凹圓之間的線段與到凸圓之間的線段為邊構(gòu)成的矩形的面積等于以該點(diǎn)向圓引的切線所構(gòu)成的正方形的面積．命題解讀：如圖①，直線AP為⊙O的切線，直線AC為⊙O的割線，以AP為邊構(gòu)造正方形APDE，作AF＝AB，以AF，AC為邊構(gòu)造矩形ACGF，可得正方形APDE的面積等于矩形ACGF的面積，由此可得AP2＝AB·AC.某數(shù)學(xué)興趣小組利用圖②對(duì)