幾何-直線型幾何-畢克定理-0星題課程目標知識點考試要求具體要求考察頻率畢克定理B1.了解格點圖形的概念。

2.熟悉畢克定理并且能夠應用畢克定理解決相關的格點面積。少考知識提要畢克定理概念

格點多邊形：多邊形的邊必須是直線段，頂點要在格點上． 正方形格點和畢克定理

一張由水平線和垂直線組成的方格紙，我們把水平線和垂直線的交點稱為“格點”．

水平線和垂直線圍成的每個小正方形稱為“面積單位”．

畢克定理：S=N+L2-1

其中，N表示多邊形內部格點數，L表示多邊形邊界上的格點數，三角形畢克定理

S=(N+L2-1)×2=2N+L-12

其中，N表示多邊形內部格點數，精選例題畢克定理1.如下圖所示，網格中每個小正方格的面積都為1平方厘米．小明在網格紙上畫了一匹紅鬃烈馬的剪影（馬的輪廓由小線段組成，小線段的端點在格子點上或在格線上），則這個剪影的面積為

平方厘米．【答案】

56.5【分析】

通過分割和格點面積公式可得小馬總面積為56.5個正方形，即面積為56.5平方厘米．2.如圖相鄰兩個格點間的距離是1，則圖中陰影三角形的面積為

．【答案】

12【分析】

連接AD、CD、BC．則可根據格點面積公式，可以得到△ABC的面積為：1+△ACD的面積為：3+△ABD的面積為：2+所以BO:OD所以S3.如圖，水平相鄰和豎直相鄰的兩個格點間的距離都是1，則圖中陰影部分的面積是

．【答案】

17【分析】

根據畢克定理，正方形格點圖算面積：面積內部點：8個；邊界點：20個；所以面積：8+20÷2-1=17.4.在平面上，用邊長為1的單位正方形構成正方形網格，頂點都落在單位正方形的頂點（又稱為格點）上的簡單多邊形叫做格點多邊形．最簡單的格點多邊形是格點三角形，而除去三個頂點之外．內部或邊上不含格點的格點三角形稱為本原格點三角形．如右圖所示的格點三角形BRS．每一個格點多邊形都能夠很容易地劃分為若干個本原格點三角形．那么，右圖中的格點六邊形EFGHKB可以劃分為

個本原格點三角形．【答案】

36【分析】

根據格點面積公式：格點多邊形面積可得面積：15+8÷2+1=18,每個本原格點三角形最小面積是1×1×所以可以劃分為本原格點三角形的個數為18÷5.下圖中正六邊形的面積為24平方米，其中A、B、C都是所在邊的中點，D是BC的三等分點，陰影部分的面積是

平方米．【答案】

5【分析】

將六邊形分割為三角形格點，如上圖所示，正六邊形被分成24個面積為1平方米的正三角形，根據畢克公式，內部點n=2，邊上點b=3，則陰影的面積為：(2+3÷2-1)×2=5（平方米）．6.圖中由16個1×1的小正方形組成，圖中△ABC的面積是

．【答案】

7【分析】

法一：畢克定理．由正方形格點下的畢克定理可知：面積那么△ABC的面積為：6+4÷2-1=7.法二：圖形分割．△ABC和另外三個邊外的三角形恰好組成一個正方形；因此△ABC的面積為：4×4-(4×2÷2)-(2×3÷2)-(4×1÷2)=7.7.如圖，相鄰兩個格點的距離都是1，“鄉村小屋”的面積是多少？【答案】

18【分析】

方法一：利用割補，圖形是由18個單位正方形組成的，所以面積是18．方法二：利用畢克定理，N:9個，L:20個，S=9+208.如圖，如果每個小等邊三角形的面積都是1平方厘米．四邊形ABCD和三角形EFG的面積分別是多少平方厘米？【答案】

20平方厘米，10平方厘米【分析】

四邊形ABCD中，N:9個，L:4個，畢克定理可知S在三角形EFG中，N:4個，L:4個，S9.如圖，已知相鄰兩個格點距離為1，計算這個格點多邊形的面積是多少？【答案】

10【分析】

方法一：利用割補．三角形包含在4×6的長方形中，所以利用整體減部分，所以圖中三角形面積是4×6-2×4÷2-2×4÷2-2×6÷2=10．方法二：利用畢克定理，N:8個，L:6個，S=8+610.已知相鄰兩個格點距離為1，求下列各個格點多邊形的面積是多少？【答案】

15；20【分析】

利用畢克定理，圖（1）N:10個，L:12個，面積是10+12÷2-1=15；圖（2）N:16，L:10，面積是16+10÷2-1=20．11.如圖，計算圖形面積是多少？（每相鄰三個點“∵”或“∴”成面積為1的等邊三角形）【答案】

12【分析】

方法一：利用分割法，將原四邊形分割成兩個三角形ABC和ABD，ABC是單位三角形CEF面積的4倍，從而面積是4．同理ABD的面積是單位三角形CEF的8倍，所以面積是8，因此四邊形面積是4+8=12．方法二：利用三角形畢克定理：S=N+L2-1×2，N:512.計算圖形面積是多少？（每相鄰三個點“∵”或“∴”成面積為1的等邊三角形）【答案】

24【分析】

利用畢克定理．N:8個，L:10個，S=8+10÷2-113.如圖，是一個漂亮禮盒的平面圖，已知相鄰兩個格點距離為1，請求出圖形的面積是多少？【答案】

21【分析】

方法一：利用割補，圖中長方形的面積是2×6=12，左邊三角形我們可以把它包含在一個4×4的方陣中如下左圖，用總面積減去其他三角形的面積，所以左邊三角形面積是4×4-3×4÷2-1×2÷2-2×4÷2=5，右邊三角形同理包含在一個4×5的長方形中，所以右邊三角形的面積是4×5-1+5×4÷2-4×1÷2-4×1÷2=4，所以禮盒的總面積是方法二：利用畢克定理，略．14.計算下面各圖形面積是多少？（每相鄰三個點“∵”或“∴”成面積為1的等邊三角形）【答案】

22；23【分析】

利用畢克定理．圖（1），N:7個，L:10個，S=7+10÷2-1圖（2），N:5，L:15，S=5+15÷2-115.已知相鄰兩個格點距離為1，分別計算圖中兩個格點多邊形的面積是多少？【答案】

9；10【分析】

方法一：利用割補．左圖包含在3×4的長方形中，所以利用整體減部分，所以左圖面積是3×4-1×3÷2-1×3÷2=9；右圖包含在4×4的正方形中，所以右圖的面積是4×4-2×1÷2-1×1÷2-3×3÷2=10．方法二：利用畢克定理，在左圖中N:6個，L:8個，左圖的面積是S=6+82-1=9；在右圖中N:6個，L:816.如圖，水平方向和豎直方向上相鄰兩點之間的距離都是m，若四邊形ABCD的面積是23，求五邊形EFGHI的面積．【答案】

28【分析】

根據畢克定理：S=a+b÷2-1,有(10+5÷2-1)×有m所以五邊形EFGHI的面積是(12+6÷2-1)×2=28.17.如圖，每個小正方形的面積均為2平方厘米．陰影多邊形的面積是多少平方厘米？【答案】

19平方厘米【分析】

陰影部分的面積為：7+718.下圖是由8個邊長為1厘米的正方形所組成，共有15個格點．請以這15個格點中的3個為頂點作一個面積為3.5平方厘米的三角形．【答案】

【分析】

方法一：總面積為1×1×8=8（平方厘米），所以需要去掉8-3.5=4.5（平方厘米），如上圖所示，圖中三角形ABC的面積是3.5平方厘米．方法二：根據格點圖形面積的計算公式，三角形的面積是3.5平方厘米，則三角形的邊上和內部應該各有三個格點，同樣能作出如圖所示圖形．19.求下列格點多邊形的面積（每相鄰三個點“∵”或“∴”成面積為1的等邊三角形）．【答案】

19；19；18；21【分析】

方法一：分割法，略．方法二：畢克定理，圖（1）N:7個，L:7個，S=7+7÷2-1圖（2）N:8個，L:5個，S=8+5÷2-1圖（3）N:7個，L:6個，S=7+6÷2-1圖（4）N:8個，L:7個，S=8+7÷2-120.如圖，如果每一個小三角形的面積是1平方厘米，那么四邊形ABCD的面積是多少平方厘米？【答案】

20【分析】

方法一：正三角形方形格點陣中多邊形面積公式：(2N+L-2)×其中N為圖形內格點數，L為圖形周界上格點數．有N=9，L=4，所以用粗線圍成的圖形的面積為：(9×2+4-2)×1=20(方法二：如下圖，我們先數出粗實線內完整的小正三角形有10個，而將不完整的小正三角形分成4部分計算，其中①部分對應的平行四邊形面積為4，所以①部分的面積為2，②、③、④部分對應的平行四邊形面積分別為2，8，6，所以②、③、④部分的面積分別為1，4，3．所以粗實線內圖形的面積為10+2+1+4+3=20(21.如圖，計算各個格點多邊形的面積是多少？（水平方向或豎直方向的兩個相鄰格點距離是1）．【答案】

16；15；10；15；12【分析】

圖（1），是正方形數格點距離邊長是4，所以面積為4×4=16(單位面積)圖（2），長方形長是5，寬是3，所以面積為5×3=15(單位面積)圖（3），三角形的面積是5×4÷2=10(單位面積)圖（4），平行四邊形面積是5×3=15(單位面積)圖（5），梯形面積是3+5×3÷2=1222.如圖，有21個點，每相鄰三個點成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等邊三角形．計算三角形ABC的面積是多少？【答案】

10【分析】

方法一：利用割補，將ABC分割成四個三角形，易得S△DEF=1，S△ACD=2，S△AEB方法二：畢克定理，N:4個，L:4個，所以S△ABC23.如圖，每一個小方格的面積都是1平方厘米，那么用粗線圍成的圖形的面積是多少平方厘米？【答案】

6.5【分析】

方法一：正方形格點陣中多邊形面積公式：(N+L2-1)×單位正方形面積，其中有N=4，L=7，則用粗線圍成圖形的面積為：(4+方法二：如下圖，先求出粗實線外格點內的圖形的面積，有①=3÷2=1.5還有三個小正方形，所以粗實線外格點內的圖形面積為1.5+l+1+1+1+1+3=9.5,而整個格點陣所圍成的圖形的面積為16，所以粗線圍成的圖形的面積為：16-9.5=6.5(24.如圖，中相鄰兩個格點的距離都是1，圖中三個圖形的面積分別是多少？【答案】

3；11；5.5【分析】

方法一：利用割補，第一個圖“喇叭”的面積是3；第二個圖“狗”的面積是11；第三個圖“貓”的面積是5.5．方法二：利用畢克定理，S=N+L2-1．用N表示多邊形內部格點，L內部點25.計算下圖面積并完成表格．（每個小正方形面積是1）【答案】

見解析【分析】

幾何-直線型幾何-畢克定理-1星題課程目標知識點考試要求具體要求考察頻率畢克定理B1.了解格點圖形的概念。

2.熟悉畢克定理并且能夠應用畢克定理解決相關的格點面積。少考知識提要畢克定理概念

格點多邊形：多邊形的邊必須是直線段，頂點要在格點上． 正方形格點和畢克定理

一張由水平線和垂直線組成的方格紙，我們把水平線和垂直線的交點稱為“格點”．

水平線和垂直線圍成的每個小正方形稱為“面積單位”．

畢克定理：S=N+L2-1

其中，N表示多邊形內部格點數，L表示多邊形邊界上的格點數，三角形畢克定理

S=(N+L2-1)×2=2N+L-12

其中，N表示多邊形內部格點數，精選例題畢克定理1.圖中由16個1×1的小正方形組成，圖中△ABC的面積是

．【答案】

7【分析】

法一：畢克定理．由正方形格點下的畢克定理可知：面積那么△ABC的面積為：6+4÷2-1=7.法二：圖形分割．△ABC和另外三個邊外的三角形恰好組成一個正方形；因此△ABC的面積為：4×4-(4×2÷2)-(2×3÷2)-(4×1÷2)=7.2.如圖，計算各個格點多邊形的面積是多少？（水平方向或豎直方向的兩個相鄰格點距離是1）．【答案】

16；15；10；15；12【分析】

圖（1），是正方形數格點距離邊長是4，所以面積為4×4=16(單位面積)圖（2），長方形長是5，寬是3，所以面積為5×3=15(單位面積)圖（3），三角形的面積是5×4÷2=10(單位面積)圖（4），平行四邊形面積是5×3=15(單位面積)圖（5），梯形面積是3+5×3÷2=123.如圖，相鄰兩個格點的距離都是1，“鄉村小屋”的面積是多少？【答案】

18【分析】

方法一：利用割補，圖形是由18個單位正方形組成的，所以面積是18．方法二：利用畢克定理，N:9個，L:20個，S=9+204.下圖是由8個邊長為1厘米的正方形所組成，共有15個格點．請以這15個格點中的3個為頂點作一個面積為3.5平方厘米的三角形．【答案】

【分析】

方法一：總面積為1×1×8=8（平方厘米），所以需要去掉8-3.5=4.5（平方厘米），如上圖所示，圖中三角形ABC的面積是3.5平方厘米．方法二：根據格點圖形面積的計算公式，三角形的面積是3.5平方厘米，則三角形的邊上和內部應該各有三個格點，同樣能作出如圖所示圖形．5.已知相鄰兩個格點距離為1，分別計算圖中兩個格點多邊形的面積是多少？【答案】

9；10【分析】

方法一：利用割補．左圖包含在3×4的長方形中，所以利用整體減部分，所以左圖面積是3×4-1×3÷2-1×3÷2=9；右圖包含在4×4的正方形中，所以右圖的面積是4×4-2×1÷2-1×1÷2-3×3÷2=10．方法二：利用畢克定理，在左圖中N:6個，L:8個，左圖的面積是S=6+82-1=9；在右圖中N:6個，L:86.如圖，已知相鄰兩個格點距離為1，計算這個格點多邊形的面積是多少？【答案】

10【分析】

方法一：利用割補．三角形包含在4×6的長方形中，所以利用整體減部分，所以圖中三角形面積是4×6-2×4÷2-2×4÷2-2×6÷2=10．方法二：利用畢克定理，N:8個，L:6個，S=8+6幾何-直線型幾何-畢克定理-2星題課程目標知識點考試要求具體要求考察頻率畢克定理B1.了解格點圖形的概念。

2.熟悉畢克定理并且能夠應用畢克定理解決相關的格點面積。少考知識提要畢克定理概念

格點多邊形：多邊形的邊必須是直線段，頂點要在格點上． 正方形格點和畢克定理

一張由水平線和垂直線組成的方格紙，我們把水平線和垂直線的交點稱為“格點”．

水平線和垂直線圍成的每個小正方形稱為“面積單位”．

畢克定理：S=N+L2-1

其中，N表示多邊形內部格點數，L表示多邊形邊界上的格點數，三角形畢克定理

S=(N+L2-1)×2=2N+L-12

其中，N表示多邊形內部格點數，精選例題畢克定理1.如下圖所示，網格中每個小正方格的面積都為1平方厘米．小明在網格紙上畫了一匹紅鬃烈馬的剪影（馬的輪廓由小線段組成，小線段的端點在格子點上或在格線上），則這個剪影的面積為

平方厘米．【答案】

56.5【分析】

通過分割和格點面積公式可得小馬總面積為56.5個正方形，即面積為56.5平方厘米．2.在平面上，用邊長為1的單位正方形構成正方形網格，頂點都落在單位正方形的頂點（又稱為格點）上的簡單多邊形叫做格點多邊形．最簡單的格點多邊形是格點三角形，而除去三個頂點之外．內部或邊上不含格點的格點三角形稱為本原格點三角形．如右圖所示的格點三角形BRS．每一個格點多邊形都能夠很容易地劃分為若干個本原格點三角形．那么，右圖中的格點六邊形EFGHKB可以劃分為

個本原格點三角形．【答案】

36【分析】

根據格點面積公式：格點多邊形面積可得面積：15+8÷2+1=18,每個本原格點三角形最小面積是1×1×所以可以劃分為本原格點三角形的個數為18÷3.如圖相鄰兩個格點間的距離是1，則圖中陰影三角形的面積為

．【答案】

12【分析】

連接AD、CD、BC．則可根據格點面積公式，可以得到△ABC的面積為：1+△ACD的面積為：3+△ABD的面積為：2+所以BO:OD所以S4.如圖，水平相鄰和豎直相鄰的兩個格點間的距離都是1，則圖中陰影部分的面積是

．【答案】

17【分析】

根據畢克定理，正方形格點圖算面積：面積內部點：8個；邊界點：20個；所以面積：8+20÷2-1=17.5.下圖中正六邊形的面積為24平方米，其中A、B、C都是所在邊的中點，D是BC的三等分點，陰影部分的面積是

平方米．【答案】

5【分析】

將六邊形分割為三角形格點，如上圖所示，正六邊形被分成24個面積為1平方米的正三角形，根據畢克公式，內部點n=2，邊上點b=3，則陰影的面積為：(2+3÷2-1)×2=5（平方米）．6.圖中由16個1×1的小正方形組成，圖中△ABC的面積是

．【答案】

7【分析】

法一：畢克定理．由正方形格點下的畢克定理可知：面積那么△ABC的面積為：6+4÷2-1=7.法二：圖形分割．△ABC和另外三個邊外的三角形恰好組成一個正方形；因此△ABC的面積為：4×4-(4×2÷2)-(2×3÷2)-(4×1÷2)=7.7.如圖，已知相鄰兩個格點距離為1，計算這個格點多邊形的面積是多少？【答案】

10【分析】

方法一：利用割補．三角形包含在4×6的長方形中，所以利用整體減部分，所以圖中三角形面積是4×6-2×4÷2-2×4÷2-2×6÷2=10．方法二：利用畢克定理，N:8個，L:6個，S=8+68.下圖是由8個邊長為1厘米的正方形所組成，共有15個格點．請以這15個格點中的3個為頂點作一個面積為3.5平方厘米的三角形．【答案】

【分析】

方法一：總面積為1×1×8=8（平方厘米），所以需要去掉8-3.5=4.5（平方厘米），如上圖所示，圖中三角形ABC的面積是3.5平方厘米．方法二：根據格點圖形面積的計算公式，三角形的面積是3.5平方厘米，則三角形的邊上和內部應該各有三個格點，同樣能作出如圖所示圖形．9.如圖，計算各個格點多邊形的面積是多少？（水平方向或豎直方向的兩個相鄰格點距離是1）．【答案】

16；15；10；15；12【分析】

圖（1），是正方形數格點距離邊長是4，所以面積為4×4=16(單位面積)圖（2），長方形長是5，寬是3，所以面積為5×3=15(單位面積)圖（3），三角形的面積是5×4÷2=10(單位面積)圖（4），平行四邊形面積是5×3=15(單位面積)圖（5），梯形面積是3+5×3÷2=1210.如圖，如果每個小等邊三角形的面積都是1平方厘米．四邊形ABCD和三角形EFG的面積分別是多少平方厘米？【答案】

20平方厘米，10平方厘米【分析】

四邊形ABCD中，N:9個，L:4個，畢克定理可知S在三角形EFG中，N:4個，L:4個，S11.已知相鄰兩個格點距離為1，分別計算圖中兩個格點多邊形的面積是多少？【答案】

9；10【分析】

方法一：利用割補．左圖包含在3×4的長方形中，所以利用整體減部分，所以左圖面積是3×4-1×3÷2-1×3÷2=9；右圖包含在4×4的正方形中，所以右圖的面積是4×4-2×1÷2-1×1÷2-3×3÷2=10．方法二：利用畢克定理，在左圖中N:6個，L:8個，左圖的面積是S=6+82-1=9；在右圖中N:6個，L:812.如圖，每個小正方形的面積均為2平方厘米．陰影多邊形的面積是多少平方厘米？【答案】

19平方厘米【分析】

陰影部分的面積為：7+713.如圖，有21個點，每相鄰三個點成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等邊三角形．計算三角形ABC的面積是多少？【答案】

10【分析】

方法一：利用割補，將ABC分割成四個三角形，易得S△DEF=1，S△ACD=2，S△AEB方法二：畢克定理，N:4個，L:4個，所以S△ABC14.如圖，是一個漂亮禮盒的平面圖，已知相鄰兩個格點距離為1，請求出圖形的面積是多少？【答案】

21【分析】

方法一：利用割補，圖中長方形的面積是2×6=12，左邊三角形我們可以把它包含在一個4×4的方陣中如下左圖，用總面積減去其他三角形的面積，所以左邊三角形面積是4×4-3×4÷2-1×2÷2-2×4÷2=5，右邊三角形同理包含在一個4×5的長方形中，所以右邊三角形的面積是4×5-1+5×4÷2-4×1÷2-4×1÷2=4，所以禮盒的總面積是方法二：利用畢克定理，略．15.如圖，如果每一個小三角形的面積是1平方厘米，那么四邊形ABCD的面積是多少平方厘米？【答案】

20【分析】

方法一：正三角形方形格點陣中多邊形面積公式：(2N+L-2)×其中N為圖形內格點數，L為圖形周界上格點數．有N=9，L=4，所以用粗線圍成的圖形的面積為：(9×2+4-2)×1=20(方法二：如下圖，我們先數出粗實線內完整的小正三角形有10個，而將不完整的小正三角形分成4部分計算，其中①部分對應的平行四邊形面積為4，所以①部分的面積為2，②、③、④部分對應的平行四邊形面積分別為2，8，6，所以②、③、④部分的面積分別為1，4，3．所以粗實線內圖形的面積為10+2+1+4+3=20(16.如圖，計算圖形面積是多少？（每相鄰三個點“∵”或“∴”成面積為1的等邊三角形）【答案】

12【分析】

方法一：利用分割法，將原四邊形分割成兩個三角形ABC和ABD，ABC是單位三角形CEF面積的4倍，從而面積是4．同理ABD的面積是單位三角形CEF的8倍，所以面積是8，因此四邊形面積是4+8=12．方法二：利用三角形畢克定理：S=N+L2-1×2，N:517.如圖，相鄰兩個格點的距離都是1，“鄉村小屋”的面積是多少？【答案】

18【分析】

方法一：利用割補，圖形是由18個單位正方形組成的，所以面積是18．方法二：利用畢克定理，N:9個，L:20個，S=9+2018.如圖，水平方向和豎直方向上相鄰兩點之間的距離都是m，若四邊形ABCD的面積是23，求五邊形EFGHI的面積．【答案】

28【分析】

根據畢克定理：S=a+b÷2-1,有(10+5÷2-1)×有m所以五邊形EFGHI的面積是(12+6÷2-1)×2=28.19.求下列格點多邊形的面積（每相鄰三個點“∵”或“∴”成面積為1的等邊三角形）．【答案】

19；19；18；21【分析】

方法一：分割法，略．方法二：畢克定理，圖（1）N:7個，L:7個，S=7+7÷2-1圖（2）N:8個，L:5個，S=8+5÷2-1圖（3）N:7個，L:6個，S=7+6÷2-1圖（4）N:8個，L:7個，S=8+7÷2-120.已知相鄰兩個格點距離為1，求下列各個格點多邊形的面積是多少？【答案】

15；20【分析】

利用畢克定理，圖（1）N:10個，L:12個，面積是10+12÷2-1=15；圖（2）N:16，L:10，面積是16+10÷2-1=20．21.計算圖形面積是多少？（每相鄰三個點“∵”或“∴”成面積為1的等邊三角形）【答案】

24【分析】

利用畢克定理．N:8個，L:10個，S=8+10÷2-122.計算下圖面積并完成表格．（每個小正方形面積是1）【答案】

見解析【分析】

23.計算下面各圖形面積是多少？（每相鄰三個點“∵”或“∴”成面積為1的等邊三角形）【答案】

22；23【分析】

利用畢克定理．圖（1），N:7個，L:10個，S=7+10÷2-1圖（2），N:5，L:15，S=5+15÷2-124.如圖，每一個小方格的面積都是1平方厘米，那么用粗線圍成的圖形的面積是多少平方厘米？【答案】

6.5【分析】

方法一：正方形格點陣中多邊形面積公式：(N+L2-1)×單位正方形面積，其中有N=4，L=7，則用粗線圍成圖形的面積為：(4+方法二：如下圖，先求出粗實線外格點內的圖形的面積，有①=3÷2=1.5還有三個小正方形，所以粗實線外格點內的圖形面積為1.5+l+1+1+1+1+3=9.5,而整個格點陣所圍成的圖形的面積為16，所以粗線圍成的圖形的面積為：16-9.5=6.5(25.如圖，中相鄰兩個格點的距離都是1，圖中三個圖形的面積分別是多少？【答案】

3；11；5.5【分析】

方法一：利用割補，第一個圖“喇叭”的面積是3；第二個圖“狗”的面積是11；第三個圖“貓”的面積是5.5．方法二：利用畢克定理，S=N+L2-1．用N表示多邊形內部格點，L內部點幾何-直線型幾何-畢克定理-3星題課程目標知識點考試要求具體要求考察頻率畢克定理B1.了解格點圖形的概念。

2.熟悉畢克定理并且能夠應用畢克定理解決相關的格點面積。少考知識提要畢克定理概念

格點多邊形：多邊形的邊必須是直線段，頂點要在格點上． 正方形格點和畢克定理

一張由水平線和垂直線組成的方格紙，我們把水平線和垂直線的交點稱為“格點”．

水平線和垂直線圍成的每個小正方形稱為“面積單位”．

畢克定理：S=N+L2-1

其中，N表示多邊形內部格點數，L表示多邊形邊界上的格點數，三角形畢克定理

S=(N+L2-1)×2=2N+L-12

其中，N表示多邊形內部格點數，精選例題畢克定理1.如下圖所示，網格中每個小正方格的面積都為1平方厘米．小明在網格紙上畫了一匹紅鬃烈馬的剪影（馬的輪廓由小線段組成，小線段的端點在格子點上或在格線上），則這個剪影的面積為

平方厘米．【答案】

56.5【分析】

通過分割和格點面積公式可得小馬總面積為56.5個正方形，即面積為56.5平方厘米．2.在平面上，用邊長為1的單位正方形構成正方形網格，頂點都落在單位正方形的頂點（又稱為格點）上的簡單多邊形叫做格點多邊形．最簡單的格點多邊形是格點三角形，而除去三個頂點之外．內部或邊上不含格點的格點三角形稱為本原格點三角形．如右圖所示的格點三角形BRS．每一個格點多邊形都能夠很容易地劃分為若干個本原格點三角形．那么，右圖中的格點六邊形EFGHKB可以劃分為

個本原格點三角形．【答案】

36【分析】

根據格點面積公式：格點多邊形面積可得面積：15+8÷2+1=18,每個本原格點三角形最小面積是1×1×所以可以劃分為本原格點三角形的個數為18÷3.如圖，水平相鄰和豎直相鄰的兩個格點間的距離都是1，則圖中陰影部分的面積是

．【答案】

17【分析】

根據畢克定理，正方形格點圖算面積：面積內部點：8個；邊界點：20個；所以面積：8+20÷2-1=17.4.如圖相鄰兩個格點間的距離是1，則圖中陰影三角形的面積為

．【答案】

12【分析】

連接AD、CD、BC．則可根據格點面積公式，可以得到△ABC的面積為：1+△ACD的面積為：3+△ABD的面積為：2+所以BO:OD所以S5.下圖中正六邊形的面積為24平方米，其中A、B、C都是所在邊的中點，D是BC的三等分點，陰影部分的面積是

平方米．【答案】

5【分析】

將六邊形分割為三角形格點，如上圖所示，正六邊形被分成24個面積為1平方米的正三角形，根據畢克公式，內部點n=2，邊上點b=3，則陰影的面積為：(2+3÷2-1)×2=5（平方米）．6.圖中由16個1×1的小正方形組成，圖中△ABC的面積是

．【答案】

7【分析】

法一：畢克定理．由正方形格點下的畢克定理可知：面積那么△ABC的面積為：6+4÷2-1=7.法二：圖形分割．△ABC和另外三個邊外的三角形恰好組成一個正方形；因此△ABC的面積為：4×4-(4×2÷2)-(2×3÷2)-(4×1÷2)=7.7.如圖，水平方向和豎直方向上相鄰兩點之間的距離都是m，若四邊形ABCD的面積是23，求五邊形EFGHI的面積．【答案】

28【分析】

根據畢克定理：S=a+b÷2-1,有(10+5÷2-1)×有m所以五邊形EFGHI的面積是(12+6÷2-1)×2=28.8.如圖，每個小正方形的面積均為2平方厘米．陰影多邊形的面積是多少平方厘米？【答案】

19平方厘米【分析】

陰影部分的面積為：7+79.如圖，是一個漂亮禮盒的平面圖，已知相鄰兩個格點距離為1，請求出圖形的面積是多少？【答案】

21【分析】

方法一：利用割補，圖中長方形的面積是2×6=12，左邊三角形我們可以把它包含在一個4×4的方陣中如下左圖，用總面積減去其他三角形的面積，所以左邊三角形面積是4×4-3×4÷2-1×2÷2-2×4÷2=5，右邊三角形同理包含在一個4×5的長方形中，所以右邊三角形的面積是4×5-1+5×4÷2-4×1÷2-4×1÷2=4，所以禮盒的總面積是方法二：利用畢克定理，略．10.如圖，相鄰兩個格點的距離都是1，“鄉村小屋”的面積是多少？【答案】

18【分析】

方法一：利用割補，圖形是由18個單位正方形組成的，所以面積是18．方法二：利用畢克定理，N:9個，L:20個，S=9+2011.如圖，如果每個小等邊三角形的面積都是1平方厘米．四邊形ABCD和三角形EFG的面積分別是多少平方厘米？【答案】

20平方厘米，10平方厘米【分析】

四邊形ABCD中，N:9個，L:4個，畢克定理可知S在三角形EFG中，N:4個，L:4個，S12.如圖，如果每一個小三角形的面積是1平方厘米，那么四邊形ABCD的面積是多少平方厘米？【答案】

20【分析】

方法一：正三角形方形格點陣中多邊形面積公式：(2N+L-2)×其中N為圖形內格點數，L為圖形周界上格點數．有N=9，L=4，所以用粗線圍成的圖形的面積為：(9×2+4-2)×1=20(方法二：如下圖，我們先數出粗實線內完整的小正三角形有10個，而將不完整的小正三角形分成4部分計算，其中①部分對應的平行四邊形面積為4，所以①部分的面積為2，②、③、④部分對應的平行四邊形面積分別為2，8，6，所以②、③、④部分的面積分別為1，4，3．所以粗實線內圖形的面積為10+2+1+4+3=20(13.已知相鄰兩個格點距離為1，求下列各個格點多邊形的面積是多少？【答案】

15；20【分析】

利用畢克定理，圖（1）N:10個，L:12個，面積是10+12÷2-1=15；圖（2）N:16，L:10，面積是16+10÷2-1=20．14.計算下圖面積并完成表格．（每個小正方形面積是1）【答案】

見解析【分析】

15.計算下面各圖形面積是多少？（每相鄰三個點“∵”或“∴”成面積為1的等邊三角形）【答案】

22；23【分析】

利用畢克定理．圖（1），N:7個，L:10個，S=7+10÷2-1圖（2），N:5，L:15，S=5+15÷2-116.下圖是由8個邊長為1厘米的正方形所組成，共有15個格點．請以這15個格點中的3個為頂點作一個面積為3.5平方厘米的三角形．【答案】

【分析】

方法一：總面積為1×1×8=8（平方厘米），所以需要去掉8-3.5=4.5（平方厘米），如上圖所示，圖中三角形ABC的面積是3.5平方厘米．方法二：根據格點圖形面積的計算公式，三角形的面積是3.5平方厘米，則三角形的邊上和內部應該各有三個格點，同樣能作出如圖所示圖形．17.如圖，計算各個格點多邊形的面積是多少？（水平方向或豎直方向的兩個相鄰格點距離是1）．【答案】

16；15；10；15；12【分析】

圖（1），是正方形數格點距離邊長是4，所以面積為4×4=16(單位面積)圖（2），長方形長是5，寬是3，所以面積為5×3=15(單位面積)圖（3），三角形的面積是5×4÷2=10(單位面積)圖（4），平行四邊形面積是5×3=15(單位面積)圖（5），梯形面積是3+5×3÷2=1218.如圖，中相鄰兩個格點的距離都是1，圖中三個圖形的面積分別是多少？【答案】

3；11；5.5【分析】

方法一：利用割補，第一個圖“喇叭”的面積是3；第二個圖“狗”的面積是11；第三個圖“貓”的面積是5.5．方法二：利用畢克定理，S=N+L2-1．用N表示多邊形內部格點，L內部點19.計算圖形面積是多少？（每相鄰三個點“∵”或“∴”成面積為1的等邊三角形）【答案】

24【分析】

利用畢克定理．N:8個，L:10個，S=8+10÷2-120.如圖，已知相鄰兩個格點距離為1，計算這個格點多邊形的面積是多少？【答案】

10【分析】

方法一：利用割補．三角形包含在4×6的長方形中，所以利用整體減部分，所以圖中三角形面積是4×6-2×4÷2-2×4÷2-2×6÷2=10．方法二：利用畢克定理，N:8個，L:6個，S=8+621.已知相鄰兩個格點距離為1，分別計算圖中兩個格點多邊形的面積是多少？【答案】

9；10【分析】

方法一：利用割補．左圖包含在3×4的長方形中，所以利用整體減部分，所以左圖面積是3×4-1×3÷2-1×3÷2=9；右圖包含在4×4的正方形中，所以右圖的面積是4×4-2×1÷2-1×1÷2-3×3÷2=10．方法二：利用畢克定理，在左圖中N:6個，L:8個，左圖的面積是S=6+82-1=9；在右圖中N:6個，L:822.求下列格點多邊形的面積（每相鄰三個點“∵”或“∴”成面積為1的等邊三角形）．【答案】

19；19；18；21【分析】

方法一：分割法，略．方法二：畢克定理，圖（1）N:7個，L:7個，S=7+7÷2-1圖（2）N:8個，L:5個，S=8+5÷2-1圖（3）N:7個，L:6個，S=7+6÷2-1圖（4）N:8個，L:7個，S=8+7÷2-123.如圖，每一個小方格的面積都是1平方厘米，那么用粗線圍成的圖形的面積是多少平方厘米？【答案】

6.5【分析】

方法一：正方形格點陣中多邊形面積公式：(N+L2-1)×單位正方形面積，其中有N=4，L=7，則用粗線圍成圖形的面積為：(4+方法二：如下圖，先求出粗實線外格點內的圖形的面積，有①=3÷2=1.5還有三個小正方形，所以粗實線外格點內的圖形面積為1.5+l+1+1+1+1+3=9.5,而整個格點陣所圍成的圖形的面積為16，所以粗線圍成的圖形的面積為：16-9.5=6.5(24.如圖，有21個點，每相鄰三個點成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等邊三角形．計算三角形ABC的面積是多少？【答案】

10【分析】

方法一：利用割補，將ABC分割成四個三角形，易得S△DEF=1，S△ACD=2，S△AEB方法二：畢克定理，N:4個，L:4個，所以S△ABC25.如圖，計算圖形面積是多少？（每相鄰三個點“∵”或“∴”成面積為1的等邊三角形）【答案】

12【分析】

方法一：利用分割法，將原四邊形分割成兩個三角形ABC和ABD，ABC是單位三角形CEF面積的4倍，從而面積是4．同理ABD的面積是單位三角形CEF的8倍，所以面積是8，因此四邊形面積是4+8=12．方法二：利用三角形畢克定理：S=N+L2-1×2，N:5幾何-直線型幾何-畢克定理-4星題課程目標知識點考試要求具體要求考察頻率畢克定理B1.了解格點圖形的概念。

2.熟悉畢克定理并且能夠應用畢克定理解決相關的格點面積。少考知識提要畢克定理概念

格點多邊形：多邊形的邊必須是直線段，頂點要在格點上． 正方形格點和畢克定理

一張由水平線和垂直線組成的方格紙，我們把水平線和垂直線的交點稱為“格點”．

水平線和垂直線圍成的每個小正方形稱為“面積單位”．

畢克定理：S=N+L2-1

其中，N表示多邊形內部格點數，L表示多邊形邊界上的格點數，三角形畢克定理

S=(N+L2-1)×2=2N+L-12

其中，N表示多邊形內部格點數，精選例題畢克定理1.在平面上，用邊長為1的單位正方形構成正方形網格，頂點都落在單位正方形的頂點（又稱為格點）上的簡單多邊形叫做格點多邊形．最簡單的格點多邊形是格點三角形，而除去三個頂點之外．內部或邊上不含格點的格點三角形稱為本原格點三角形．如右圖所示的格點三角形BRS．每一個格點多邊形都能夠很容易地劃分為若干個本原格點三角形．那么，右圖中的格點六邊形EFGHKB可以劃分為

個本原格點三角形．【答案】

36【分析】

根據格點面積公式：格點多邊形面積可得面積：15+8÷2+1=18,每個本原格點三角形最小面積是1×1×所以可以劃分為本原格點三角形的個數為18÷2.下圖中正六邊形的面積為24平方米，其中A、B、C都是所在邊的中點，D是BC的三等分點，陰影部分的面積是

平方米．【答案】

5【分析】

將六邊形分割為三角形格點，如上圖所示，正六邊形被分成24個面積為1平方米的正三角形，根據畢克公式，內部點n=2，邊上點b=3，則陰影的面積為：(2+3÷2-1)×2=5（平方米）．3.如圖，水平相鄰和豎直相鄰的兩個格點間的距離都是1，則圖中陰影部分的面積是

．【答案】

17【分析】

根據畢克定理，正方形格點圖算面積：面積內部點：8個；邊界點：20個；所以面積：8+20÷2-1=17.4.如下圖所示，網格中每個小正方格的面積都為1平方厘米．小明在網格紙上畫了一匹紅鬃烈馬的剪影（馬的輪廓由小線段組成，小線段的端點在格子點上或在格線上），則這個剪影的面積為

平方厘米．【答案】

56.5【分析】

通過分割和格點面積公式可得小馬總面積為56.5個正方形，即面積為56.5平方厘米．5.如圖相鄰兩個格點間的距離是1，則圖中陰影三角形的面積為

．【答案】

12【分析】

連接AD、CD、BC．則可根據格點面積公式，可以得到△ABC的面積為：1+△ACD的面積為：3+△ABD的面積為：2+所以BO:OD所以S6.如圖，水平方向和豎直方向上相鄰兩點之間的距離都是m，若四邊形ABCD的面積是23，求五邊形EFGHI的面積．【答案】

28【分析】

根據畢克定理：S=a+b÷2-1,有(10+5÷2-1)×有m所以五邊形EFGHI的面積是(12+6÷2-1)×2=28.7.如圖，是一個漂亮禮盒的平面圖，已知相鄰兩個格點距離為1，請求出圖形的面積是多少？【答案】

21【分析】

方法一：利用割補，圖中長方形的面積是2×6=12，左邊三角形我們可以把它包含在一個4×4的方陣中如下左圖，用總面積減去其他三角形的面積，所以左邊三角形面積是4×4-3×4÷2-1×2÷2-2×4÷2=5，右邊三角形同理包含在一個4×5的長方形中，所以右邊三角形的面積是4×5-1+5×4÷2-4×1÷2-4×1÷2=4，所以禮盒的總面積是方法二：利用畢克定理，略．8.如圖，計算圖形面積是多少？（每相鄰三個點“∵”或“∴”成面積為1的等邊三角形）【答案】

12【分析】

方法一：利用分割法，將原四邊形分割成兩個三角形ABC和ABD，ABC是單位三角形CEF面積的4倍，從而面積是4．同理ABD的面積是單位三角形CEF的8倍，所以面積是8，因此四邊形面積是4+8=12．方法二：利用三角形畢克定理：S=N+L2-1×2，N:59.已知相鄰兩個格點距離為1，求下列各個格點多邊形的面積是多少？【答案】

15；20【分析