PAGE1-課下梯度提能（十七）一、題組對點訓練對點練一用基底表示向量1．已知e1，e2是表示平面內全部向量的一組基底，那么下面四組向量中，不能作為一組基底的是()A．e1，e1＋e2B．e1－2e2，e2－2e1C．e1－2e2，4e2－2e1D．e1＋e2，e1－e2A.eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)cB.eq\f(5,3)c－eq\f(2,3)bC.eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)cD.eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)c3．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝eq\f(1,3)BC，E，F分別為線段AD與BC的中點．試以a，b為基底表示向量對點練二向量的夾角問題4．若向量a與b的夾角為60°，則向量－a與－b的夾角是()A．60°B．120°C．30°D．150°5．已知非零向量a，b，c滿意a＋b＋c＝0，向量a，b的夾角為120°，且|b|＝2|a|，則向量a與c的夾角為________．對點練三平面對量基本定理的應用7．設向量e1與e2不共線，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，則實數x，y的值分別為()A．0，0B．1，1C．3，0D．3，48．在?ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點．若,其中λ，μ∈R，則λ＋μ的值為________．9．設e1，e2是平面內一組基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，則向量e1＋e2可以表示為以a，b為基向量的線性組合，即e1＋e2＝________．10．設e1，e2是不共線的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)證明：a，b可以作為一組基底；(2)以a，b為基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．二、綜合過關訓練1．以下說法中正確的是()A．若a與b共線，則存在實數λ，使得a＝λbB．設e1和e2為一組基底，a＝λ1e1＋λ2e2，若a＝0，則λ1＝λ2＝0C．λa的長度為λ|a|D．假如兩個向量的方向恰好相反，則這兩個向量是相反向量2．A，B，O是平面內不共線的三個定點，且，點P關于點A的對稱點為Q，點Q關于點B的對稱點為R，則等于()A．a－bB．2(b－a)C．2(a－b)D．b－a3.已知e1，e2不共線，且a＝ke1－e2，b＝e2－e1，若a，b不能作為基底，則k等于________．4．如圖，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于點H，M為AH的中點．若則λ＋μ＝________．5．如圖所示，在正方形ABCD中，E為AB的中點，P是以A為圓心，AB為半徑的圓弧eq\o(BD,\s\up8(︵))上的隨意一點，設∠PAB＝θ，向量(λ，μ∈R)，若μ－λ＝1，則θ＝________．6．如圖所示，平行四邊形ABCD中，M為DC的中點，N是BC的中點，(1)試以b，d為基底表示；(2)試以m，n為基底表示.7.如圖所示，在△ABC中，點M是AB的中點，且，BN與CM相交于點E，設＝a，＝b，試用基底a，b表示向量.答案[學業水平達標練]1.解析：選C因為4e2－2e1＝－2(e1－2e2)，從而e1－2e2與4e2－2e1共線．2.3.4.解析：選A平移向量a，b使它們有公共起點O，如圖所示，則由對頂角相等可得向量－a與－b的夾角也是60°.5.解析：由題意可畫出圖形，如圖所示．在△OAB中，因為∠OAB＝60°，|b|＝2|a|，所以∠ABO＝30°，OA⊥OB，即向量a與c的夾角為90°.答案：90°6.解：如圖，以OA，OB所在射線為鄰邊，OC為對角線作平行四邊形ODCE，在Rt△OCD中，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.7.解析：選D∵向量e1與e2不共線，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＝4y－7，,10－y＝2x，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝4.))8.答案：eq\f(4,3)9.解析：設e1＋e2＝ma＋nb(m，n∈R)，∵a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，∴e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2∵e1與e2不共線，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－n＝1，,2m＋n＝1，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(2,3)，,n＝－\f(1,3).))∴e1＋e2＝eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b.答案：eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b10.解：(1)證明：若a，b共線，則存在λ∈R，使a＝λb，則e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共線，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,3λ＝－2，))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,λ＝－\f(2,3).))∴λ不存在，故a與b不共線，可以作為一組基底．(2)設c＝ma＋nb(m、n∈R)，則3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋n＝3，,－2m＋3n＝－1，))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝1.))∴c＝2a＋b.(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＋μ＝4，,－2λ＋3μ＝－3，))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝3，,μ＝1.))故所求λ，μ的值分別為3和1.二、綜合過關訓練1.解析：選BA錯，a≠0，b＝0時，λ不存在．C錯，λ＜0時不成立．D錯，相反向量的模相等，故選B.2.3.解析：向量a，b不能作為基底，則向量a，b共線，可設a＝λb，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－λ，,－1＝λ，))則k＝1.答案：14.解析：因為AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1，BH＝eq\f(1,3)BC.因為點M為AH的中點，即λ＝eq\f(1,2)，μ＝eq\f(1,6)，所以λ＋μ＝eq\f(2,3).答案：e