北京市海淀區2024-2025學年第二學期期中練習（一模）數學試題2025.04本試卷共6頁，150分。考試時長120分鐘。考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分(選擇題共40分)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。(1)已知集合,則?U(A) (B)(C) (D)(2)在復平面內，復數z=i(A) (B)(C) (D)(3)函數fxA122 (C) (D)(4)已知直線經過圓x2+y2(A)-1 B(C)0 (D)1(5)已知四個數a=lg(A)a (B)b(C)c (D)d(6)已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，點M(A)1 BC3 (7)已知A?紙的長寬比約為2:1.現將一張A?紙卷成一個圓柱的側面(無重疊部分).當該圓柱的高等于A?紙的長時，設其體積為V?，軸截面的面積為S1;當該圓柱的高等于A4紙的寬時，設其體積為VAV1=VCV1=V(8)已知是公差為d的等差數列，是公比為q的等比數列.若0<q<1,則“an?(A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件(C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件(9)已知函數y=3(A)1 B(C)π D(10)對于無窮數列和正整數,若存在滿足n1<n2<?<nk且an1n1=(A)若an=n2,則數列(B)若an=n?1+cosnπ,則數列具有性質(C)存在數列和,使得和均不具有性質P2,且an+bn具有性質P2025(D)若數列和均具有性質,則an+bn具有性質第二部分(非選擇題共110分)二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。(11)已知x?24=(12)已知雙曲線y2a2?x(13)已知向量,,則的最大值為_______________;與的夾角的取值范圍是___________.(14)已知函數.若的值域為則的一個取值為___________；若的值域為R，則的取值范圍是__________________.(15)如圖所示，某游樂場有一款游樂設施，該設施由轉輪A和轉輪B組成，B的圓心固定在轉輪A上的點Q處，某個座椅固定在轉輪B上的點M處.A的半徑為10米，B的半徑為5米，A的圓心P距離地面豎直高度為20米.游樂設施運行過程中，A與B分別繞各自的圓心逆時針方向勻速旋轉，A旋轉一周用時π分鐘，B旋轉一周用時分鐘.當Q在P正下方且M在Q正下方時，開始計時，設在第t分鐘M距離地面的豎直高度為h(t)米.給出下列四個結論：①?②最大值是35;③M在豎直方向上的速度大小低于40米/分鐘；④存在使得t=t0時M到P的距離等于15米.其中所有正確結論的序號為_____________三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。(16)(本小題13分)如圖，五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形.(Ⅰ)求證:EF∥CB;(Ⅱ)若平面ABCD⊥平面ABF,AB=AF=EF=1,BF=2,求直線DE與平面BCEF所成角的大小.(17)(本小題13分)在△ABC中，已知2a(Ⅰ)求sinB的值;(Ⅱ)若∠B為銳角，再從條件①、條件②和條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使△ABC存在且唯一，求△ABC的面積.條件①:c=5;條件②：cos條件③：a注：如果選擇的條件不符合要求，第(Ⅱ)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.

(18)(本小題14分)某工廠有一組型號相同的設備，在日常維護中發現部分設備有發熱的情況，經過查閱歷史數據，發現設備是否發熱與設備狀態(完好或損壞)有較強的相關性，從發熱和未發熱情況的數據中各自隨機抽取1000條數據，整理如下圖所示：日常維護時，對單臺設備有三種可能的操作：保留觀察、停機更換或檢查維修，對單臺設備的不同狀態，這三種操作給工廠帶來的經濟損失如下(單位：千元)：操作經濟損失設備狀態保留觀察停機更換檢查維修完好0105損壞1257假設用頻率估計概率，且各設備之間的狀態相互獨立.(Ⅰ)已知某設備未出現發熱情況，試估計該設備損壞的概率；(Ⅱ)該工廠現有2臺設備出現發熱情況，準備對這2臺設備都進行檢查維修.記檢查維修這2臺設備給工廠帶來的總經濟損失為X千元，求X的分布列和數學期望EX；(Ⅲ)該工廠的某車間現有2臺設備，維護時發現其中一臺出現發熱情況，另一臺未出現發熱情況.下面有三種維護這2臺設備的操作方案：發熱情況操作方案編號發熱未發熱①檢查維修保留觀察②停機更換檢查維修③停機更換保留觀察直接寫出使得工廠總經濟損失的期望最小的方案的編號.

(19)(本小題15分)已知橢圓W：x2a2+(Ⅰ)求橢圓W的方程及長軸長；(Ⅱ)已知點,點P在直線AC上,設直線PM與x軸交于點E,直線BP與直線EC交于點Q，判斷點Q是否在橢圓W上，并說明理由.(20)(本小題15分)已知函數f(Ⅰ)若曲線在點處的切線為y=?32x,求k(Ⅱ)若為R上的單調函數，求k的取值范圍；(Ⅲ)若函數gx=k6x3+x+(21)(本小題15分)設正整數n≥2,對于數列A:a1,a2,?,an,定義變換T，T將數列A變換成數列(Ⅰ)若A0:?1,1,1,(Ⅱ)若為奇數且不是常數列，求證：對任意正整數k，Ak都不是常數列；(Ⅲ)求證：當且僅當n=2mm∈N?時，對任意A

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）(1)D (2)D (3)A (4)B (5)C(6)C (7)B (8)D (9)D (10)D二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）(11)-7 (12) (13)3，(14)（答案不唯一，只需滿足0<a<1）, （15）①③三、解答題（共6小題，共85分）（16）（本小題13分）解：（I）由四邊形是正方形，可得.又因為平面 平面，所以平面.又因為平面 ，平面平面，所以.（II）由四邊形是正方形，可得.又因為平面平面，所以平面.所以.在中，因為，所以，由勾股定理逆定理得如圖，建立空間直角坐標系，由已知可得.所以，,設平面的一個法向量為，則,所以取 ，得,所以，設直線與平面所成角為則.又因為為銳角，所以.（17）（本小題14分）解：（I）因為,故由可得 ,因為，所以，在中，由正弦定理，所以,因為，所以.（II）選條件②解答如下：因為，所以 ，因為為銳角，所以,又因為，所以.在中，由正弦定理,所以(或者a=3)又因為所以的面積.選條件③解答如下：由（I），，且，解得,因為，所以,所以,因為為銳角，所以，又因為，所以所以的面積.（18）（本小題13分）解：（I）設“一臺設備未出現發熱情況時該設備損壞”為事件A，由圖可得.（II）X的取值范圍為，依題意，用頻率估計概率，一臺設備出現發熱情況下損壞的概率為.,X的分布列為：X101214P所以,100501005(III)①(19)(本小題15分)解：(I)由題意，解得所以，橢圓,其長軸長為.(II)由(I)得，,直線的方程為.設,其中，①當時，與重合，此時與 的交點即點,所以，在橢圓上.②當時,直線，即.令得，，即.直線，即直線，即.聯立解得即因為所以，Q在橢圓W上.綜上，Q在橢圓W上.(20)(本小題15分)解：(I)，因為曲線在處的切線方程為，所以，解得.檢驗：，故曲線在處的切線方程為·····4分(II)因為為R上的單調函數,所以對任意x,有；或對任意x,有,即恒成立，或恒成立，所以k的取值范圍是.(III)因為是奇函數，所以只需證明：k存在無數個取值使得在上恰有一個零點.,令，根據(II),時，在上是減函數.所以，任意在上是減函數.故存在.｛存在其它取點情況，由可得時,}當x變化時，的變化情況如下表:x0 2+0-0↑極大值↓故時，..{存在其它取點情況，時，由可得時，}故存在唯一的.于是時，在上存在唯一的零點.于是k存在無數個取值使得恰有三個不同的零點.(21)(本小題15分)解：(I).(II)證明：設，其中.假設存在正整數k，使得是常數列，由不是常數列，不妨設不為常數列且為常數列，記，則 .令當時，因為，且，所以.故.此時為常數列，矛盾.另法：①若，則，有，此時為常數列，矛盾.②若，則，有，矛盾.綜上，對任意正整數都不是常數列.(Ill)①首先證明，若,其中 ,則存在項的數列，使得對任意的正整數都不是常數列.證明：構造項的數列，其中.構造項的數列對任意的正整數k，設，則由(II)得，不是常數列，故不是常數列.②其次證明：若，其中