專題02平面向量的數量積七種考法一、方法講解1.辨析數量積的運算律數量積運算不適合結合律，即，這是由于表示一個與共線的向量，表示一個與共線的向量，而與不一定共線，因此與不一定相等．2.平面向量的數量積運算數量積的運算要注意時，，但時不能得到或，因為時，也有．3.平面向量的長度、角度、垂直問題根據平面向量數量積的性質：，，等，所以平面向量數量積可以用來解決有關長度、角度、垂直的問題注：平面向量的模長范圍問題，常用的方法有：（1）坐標法：即通過建立直角坐標系，通過向量坐標運算求得；（2）基向量表示法：即通過選設平面的基底，用基底表示相關向量，運算求得；（3）構造幾何圖形法：即根據模長定值構造圓形，由向量點乘等于零得到兩向量垂直4.投影向量向量在向量方向上的投影向量為在上的投影是一個數量，它可以為正，可以為負，也可以等于0．二、重難點例題及變式類型一、辨析數量積的運算律例．已知非零向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【解析】如圖所示，,當時，與垂直，，所以成立，此時，∴不是的充分條件，當時，，∴,∴成立，∴是的必要條件，綜上，“”是“”的必要不充分條件

故選：B.【變式訓練1】若，，均為任意向量，，則下列等式不一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】選項A是向量加法的結合律，正確；選項B是向量數量積運算對加法的分配律，正確；選項C是數乘運算對向量加法的分配律，正確；選項D．根據數量積和數乘定義，等式左邊是與共線的向量，右邊是與共線的向量，兩者一般不可能相等，也即向量的數量積運算沒有結合律存在．D錯．故選：D．【變式訓練2】設是三個非零的平面向量，且相互不共線，則下列結論正確的是（

）A． B．C．與垂直 D．【答案】C【解析】選項A：因為是三個非零的平面向量，且相互不共線，所以不會同時與垂直，所以與不會同時為0，所以，故A錯誤；（注意向量的數量積為一個常數）選項B：，由于，（點撥：向量夾角的取值范圍是）所以，故B錯誤；選項C：因為，且由A知與不相等，所以與垂直，（點撥：若兩向量的數量積為0，則兩向量垂直）故C正確；選項D：因為是非零向量，且不共線，所以設，從而，在中，兩邊之差小于第三邊，所以，（提示：不共線，所以中的等號不成立）故D錯誤．故選:C.類型二、平面向量的數量積運算例．（1）已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】∵，又∵∴9，∴故選：C.（2）已知向量，若，則實數（

）A． B． C． D．1【答案】【解析】，，解得.故選：A.（3）如圖所示，在邊長為2的等邊中，點為中線BD的三等分點（靠近點B），點F為BC的中點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知有，，，所以．已知是AC的中點，則，，所以，則．故選：D．【變式訓練1】已知向量，，若，則．【答案】【解析】，即，，，，，.故答案為：.【變式訓練2】已知非零不共線向量滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設，則，由兩邊平方得，，整理得，，因是非零不共線向量，則，即，解得，，此時函數是增函數，故，即的取值范圍為.故選：D.【變式訓練3】已知邊長為1的正方形ABCD，點E，F分別是BC，CD的中點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】邊長為1的正方形ABCD，，，，，所以.故選：D.類型三、平面向量的夾角問題例．（1）已知向量為單位向量，且，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為向量均為單位向量，即，且，，則，兩邊平方可得，即，所以，又，所以與的夾角為．故選：C．（2）已知向量，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，則，，所以.故選：B.【變式訓練1】已知向量，滿足，且，則向量，夾角的余弦值是.【答案】【解析】因為，所以，所以.因為，所以，所以，則.故答案為：【變式訓練2】已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．6【答案】C【解析】,,即,解得,故選：C類型四、平面向量的模長例．（1）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】因為，所以，即，又因為，所以，從而.故選：B.（2）已知向量，且，則.【答案】【解析】，因為，所以，解得，所以.故答案為：.（3）已知向量，，，則的最小值為.【答案】【解析】，所以.當時等號成立.故答案為：.【變式訓練1】若向量滿足，，，則.【答案】【解析】由，有，即，得.又，得.故答案為：.【變式訓練2】已知向量滿足，則【答案】【解析】可得，故，故答案為：【變式訓練3】在平行四邊形中，若則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】由可得，因，故時，，即的最小值為.故選：B．類型五、投影向量例．（1）已知向量，若，則在上的投影向量為．【答案】【解析】因為，所以，又，所以，解得，因為，所以在上的投影向量為.故答案為：（2）若非零向量，滿足，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據題意可得，所以，則所以，則在方向上的投影向量為.故選：B【變式訓練1】已知向量，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，，所以在上的投影向量為.故選：A【變式訓練2】已知平面向量與滿足：在方向上的投影向量為，在方向上的投影向量為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在方向上的投影向量為，即，①在方向上的投影向量為，即，②由①②得，又，所以.故選：D類型六、平面向量的垂直問題例．（1）已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】因為，所以，所以即，故，故選：D.

（2）若是夾角為的兩個單位向量，與垂直，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意有，又因為與垂直，所以，整理得，解得.故選：B.【變式訓練1】已知向量，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，所以，，由可得，，即，整理得：．故選：D．【變式訓練2】已知，是單位向量，且它們的夾角是，若，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由得，，即，解得，故選：B．類型七、數量積范圍的綜合問題例．已知向量，，且.（1）求的值；（2）求的取值范圍；（3）記函數，若的最小值為，求實數的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）向量，，.（2），，，，，所以的取值范圍為.（3）由（1）（2）可知，函數，令，則，，其圖像拋物線開口向上，對稱軸方程為，當，即時，最小值為，解得（舍去）；當，即時，最小值為，解得或（舍去）；當，即時，最小值為.綜上可知，.【變式訓練1】是等腰直角三角形，其中，是所在平面內的一點，若（且），則在上的投影向量的長度的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，（且），則（且），則在線段上，如圖所示，

當與重合時，在上的投影向量的長度取得最大值，最大值為；當與重合時，在上的投影向量的長度取得最小值，最大值為；則在上的投影向量的長度的取值范圍是．故選：B.【變式訓練2】如圖，A?B是單位圓上的相異兩定點（O為圓心），且（為銳角）.點C為單位圓上的動點，線段交線段于點.（1）求（結果用表示）；（2）若①求的取值范圍：②設，求的取值范圍.【答案】（1）（2）①②【解析】（1）.（2）①.設.由題意得，則所以因為，則所以，所以最小值是0，最大值是3，則；②設，則，所以，由得，即，整理得，所以，所以.令.，令∵，則，即∴在上單調遞增，則所以的取值范圍是.三、能力測試練1．已知和是兩個單位向量，若，則向量與向量的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為和是單位向量，所以又因為，所以，所以，所以，又，所以向量與向量的夾角為.故選：B.2．已知平面向量，，若，則實數（

）A．-1 B．-2 C．1 D．2【答案】D【解析】因為，，所以，，因為，所以，解得.故選：D3．已知是單位向量，且在上的投影向量為，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為是單位向量，且，兩邊平方得，，即（*），由在上的投影向量為，可得，所以，即，代入（*）可得，，即，所以，因為，所以．故選：B．4．已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖所示，，則由題意可知:，由勾股定理可得

當點位于直線異側時或PB為直徑時，設，則：，則當時，有最大值.

當點位于直線同側時，設，則：，，則當時，有最大值.綜上可得，的最大值為.故選：A.5．（多選）關于平面向量，下列說法不正確的是（

）A．若，則B．C．若，則D．【答案】ACD【解析】對于A，若，則不一定有，A錯誤；對于B，根據分配律即可得到，B正確；對于C，若，則可能，那么，C錯誤；對于D，若，則有，那么就不一定有，D錯誤.故選：ACD6.（多選）已知點，，，，則下列結論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若， D．的最大值為【答案】ACD【解析】由題意可知，，對于A，當時，，所以,即，故，故A正確；對于B，因為，所以存在實數，使得，即，解得，故或，故B錯誤；對于C，因為，所以，解得，故C正確；對于D，因為，所以，其中，所以當時，，故D正確.故選：ACD.7.已知向量，，若向量，的夾角為銳角，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為，，所以；因為向量，的的夾角為銳角，所以有，解得.又當向量，共線時，，解得：，所以實數的取值范圍為.故選：C.8．如圖，在四邊形中，，，且，則實數的值為，若是線段上的動點，且，則的最小值為．【答案】【解析】，，，，解得，以點為坐標原點，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，,∵，∴的坐標為,∵又∵,則，設，則（其中），，，，所以，當時，取得最小值.故答案為：；.9．如圖，在等腰梯形中，，，，是的中點.（1）記，且，求，值；（2）記，是線段上一動點，且，求的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】（1）依題意，所以，即，即，又，解得，（負值舍去）；（2）過點作，如圖建立平面直角坐標系，因為，，所以，，，，，所以，，，因為，所以所以，所以，令，，設且，則，當時，，則，又，所以；當時，，則，又，所以；所以在上單調遞減，在上單調遞增，又，，，且，所以，所以，即的取值范圍為.10．在等腰梯形ABCD中，