遂寧市高中2022屆第二學(xué)期教學(xué)水平監(jiān)測數(shù)學(xué)試題本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.總分150分.考試時間120分鐘.第Ⅰ卷（選擇題，滿分60分）注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、考號用0.5毫米的黑色墨水簽字筆填寫在答題卡上.并檢查條形碼粘貼是否正確.2．選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對應(yīng)題目標(biāo)號的位置上，非選擇題用0.5毫米黑色墨水簽字筆書寫在答題卡對應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.3．考試結(jié)束后，將答題卡收回.一、選擇題（本大題共12小題，每題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求）1.現(xiàn)有這么一列數(shù)：1，，，，（），，，…，按照規(guī)律，（）中的數(shù)應(yīng)為（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意得出每個數(shù)的分母為，分子為連續(xù)的奇數(shù)，即可求解.【詳解】由題意知，一列數(shù)：1，，，，（），，，…，可得每個數(shù)的分母為，分子為連續(xù)的奇數(shù)，所以（）中的數(shù)應(yīng)為故選：A.【點睛】本題主要考查了數(shù)列的項的歸納推理，其中解答中根據(jù)數(shù)的排列，找出數(shù)字的規(guī)律是解答的關(guān)鍵，著重考查了歸納推理的應(yīng)用.2.設(shè)，且，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，直接判斷即可.詳解】對A，當(dāng)時，不成立，故A錯對B，若為正數(shù)，為負(fù)數(shù)，不成立，故B錯對C，由，所以，所以成立，故C正確對D，當(dāng)時，不成立，故D錯故選：C【點睛】本題考查不等式的性質(zhì)，選擇題可以使用特殊值法，便于計算，屬基礎(chǔ)題.3.在中，為線段上一點，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算求得正確答案.【詳解】.故選：D4.設(shè)單位向量，則的值為A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】由題設(shè)可得，則，應(yīng)選答案A．5.已知中，，那么滿足條件的（）A.有一個解 B.有兩個解 C.不能確定 D.無解【答案】B【解析】【分析】通過比較與的大小關(guān)系，簡單判斷可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，由所以可知有兩個解故選：B【點睛】本題考查兩邊及其一邊所對應(yīng)的角判定三角形個數(shù)，掌握比較方法以及正弦定理的使用，屬基礎(chǔ)題.6.已知數(shù)列成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的值是（）A. B. C.或 D.【答案】A【解析】【分析】利用已知等差等比數(shù)列中的項求得公差公比，再計算比值即可.【詳解】由題意可知：數(shù)列成等差數(shù)列，設(shè)公差d，則4=1+3d，解得d=1，∴a1=1+1=2，a2=1+2d=3.∵數(shù)列成等比數(shù)列，設(shè)公比為q，則4=q4,解得q2=2，∴b2=q2=2.則.故選：A.【點睛】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列，屬于基礎(chǔ)題.7.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的一部數(shù)學(xué)專著，書中有如下問題：今有女子善織，日增等尺，七日織28尺，第二日，第五日，第八日所織之和為15尺，則第十四日所織尺數(shù)為（）A.13 B.14C.15 D.16【答案】B【解析】【分析】由已知條件利用等差數(shù)列的前項和公式和通項公式列出方程組，求出首項和公差，由此能求出第十四日所織尺數(shù)．【詳解】設(shè)第一天織尺，從第二天起每天比第一天多織尺，

由已知得解得：，

∴第十四日所織尺數(shù)為．

故選：B．【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差數(shù)列的前項和，是基礎(chǔ)的計算題．8.在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，其中，那么一定是（）A.銳角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正弦定理，將等式中的邊消去，化為關(guān)于角的等式，整理化簡可得角的關(guān)系，進(jìn)而確定三角形的形狀．【詳解】由正弦定理可得：，整理得，因此有，可得或，當(dāng)時，為等腰三角形；當(dāng)時，有，為直角三角形，故選：D．【點睛】本題考查通過正弦定理化簡判定三角形形狀，熟悉正弦定理、余弦定理以及三角形面積公式，屬基礎(chǔ)題.9.已知，都是銳角，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】計算得到，，再根據(jù)展開得到答案.【詳解】，都是銳角，，，故，..故選：.【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系，和差公式，意在考查學(xué)生的計算能力.10.如圖所示，隔河可以看到對岸兩目標(biāo)A，B，但不能到達(dá)，現(xiàn)在岸邊取相距4km的C，D兩點，測得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面內(nèi))，則兩目標(biāo)A，B間的距離為km.A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】由已知可求，，由正弦定理可求的值，在中，，由正弦定理可求的值，進(jìn)而由余弦定理可求的值．【詳解】由已知，中，，，由正弦定理，，所以，在中，，由正弦定理，，所以，在中，由余弦定理，，解得：．所以與的距離.故選B【點睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．11.設(shè)是的重心，且，若外接圓的半徑為1，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)是三角形的重心得到，結(jié)合已知條件進(jìn)行化簡，求得，由此判斷出三角形是等邊三角形，再結(jié)合三角形外接圓半徑以及正弦定理，求得三角形的邊長，由此求得三角形的面積.【詳解】∵是的重心，∴，則，代入得，，∵不共線，∴且，即，∴是等邊三角形，又外接圓的半徑為1，∴由正弦定理得，，則，∴.故選：B.【點睛】本小題主要考查三角形重心的向量表示，考查正弦定理的運(yùn)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.12.當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，則的值為（）A.- B.C.- D.【答案】A【解析】【分析】利用輔助角公式可知函數(shù)，然后把代入結(jié)合平方關(guān)系可得，最后利用兩角和的正弦公式計算可得結(jié)果.【詳解】由題可知：所以，則所以所以故選：A【點睛】本題考查輔助角公式以及平方關(guān)系，還考查了兩角和的正弦公式，著重考查計算，屬基礎(chǔ)題.第Ⅱ卷（非選擇題，滿分90分）注意事項：1．請用藍(lán)黑鋼筆或圓珠筆在第Ⅱ卷答題卡上作答，不能答在此試卷上.2．試卷中橫線及框內(nèi)注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答題卡上作答.二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.當(dāng)時，的最小值為________．【答案】5【解析】【分析】構(gòu)造乘積為定值，應(yīng)用基本不等式求出最小值即可.【詳解】因為,則，當(dāng)時，的最小值為5.故答案為：5.14.在中，是方程的兩根，則_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)韋達(dá)定理以及兩角和的正切公式計算即可.【詳解】由題可知：是方程的兩根所以所以故答案為：【點睛】本題主要考查兩角和的正切公式，牢記公式，細(xì)心計算，屬基礎(chǔ)題.15.如圖，在半徑為圓上，C為圓心，A為圓上的一個定點，B為圓上的一個動點，若，則_____．【答案】9【解析】分析】化簡，兩邊平方可得，然后將用表示，然后進(jìn)行計算即可.【詳解】由題可知：，兩邊平方可得所以故答案為：9【點睛】本題考查向量的運(yùn)算以及向量的數(shù)量積，屬基礎(chǔ)題.16.已知數(shù)列滿足…，設(shè)數(shù)列滿足：，數(shù)列的前項和為，若恒成立，則的最小值是_______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意可得，然后可得，利用裂項相消法可得，最后化簡以及函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)果.【詳解】由題可知：…①當(dāng)時，…②①-②是可得：，所以當(dāng)時，符合上式，所以則所以所以又，所以又函數(shù)在單調(diào)遞減所以所以恒成立，則故答案為：【點睛】本題主要考查裂項相消法求和以及數(shù)列中恒成立問題，審清題意，細(xì)心計算，屬中檔題.三、解答題：解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C的坐標(biāo)分別是（-2，1）、（-1，3)、(3，4).（1）求頂點D的坐標(biāo)；（2）求與所成夾角的余弦值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)表示，計算，可得結(jié)果.（2）用坐標(biāo)表示，，然后根據(jù)平面向量的夾角公式計算即可.【詳解】（1）設(shè)頂點D的坐標(biāo)為．，，，，，又，所以．即解得所以頂點D的坐標(biāo)為．（2）由【點睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量夾角公式，重在明白向量坐標(biāo)的表示方法以及夾角公式的記憶，屬基礎(chǔ)題.18.已知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，數(shù)列的前項和為，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依題意利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得，然后利用等比數(shù)列通項公式計算即可.（2）由（1）的結(jié)論可得，然后利用分組求和，可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意可得，即，解得：，∴，∴數(shù)列的通項公式為．（2）【點睛】本題主要考查數(shù)列的分組求和，掌握常用的求和方法：公式法、裂項相消法、分組求和法、錯位相減法等，屬基礎(chǔ)題.19.已知向量，且函數(shù).（1）求函數(shù)在時的值域；（2）設(shè)是第一象限角，且求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）用坐標(biāo)表示向量的數(shù)量積以及輔助角公式可得，然后使用整體法以及正弦函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.（2）根據(jù)（1）的條件可得，然后使用兩角和的正弦公式以及二倍角的余弦公式化簡求值即可.【詳解】(1)由，則的值域為（2）則即，又為第一象限的角，則則【點睛】本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及正弦型函數(shù)的性質(zhì)，考查三角恒等變形，本題重在考查公式的應(yīng)用以及計算能力的培養(yǎng)，屬中檔題.20.首屆世界低碳經(jīng)濟(jì)大會11月17日在南昌召開，本屆大會的主題為“節(jié)能減排，綠色生態(tài)”.某企業(yè)在國家科研部門的支持下，投資810萬元生產(chǎn)并經(jīng)營共享單車，第一年維護(hù)費為10萬元，以后每年增加20萬元，每年收入租金300萬元.（1）若扣除投資和各種維護(hù)費，則從第幾年開始獲取純利潤？（2）若干年后企業(yè)為了投資其他項目，有兩種處理方案：①純利潤總和最大時，以100萬元轉(zhuǎn)讓經(jīng)營權(quán)；②年平均利潤最大時以460萬元轉(zhuǎn)讓經(jīng)營權(quán)，問哪種方案更優(yōu)？【答案】（1）從第4年開始獲取純利潤；（2）方案②.【解析】【分析】（1）依據(jù)題意可知每年的維護(hù)費用滿足的是等差數(shù)列，然后可得利潤，令，簡單計算以及判斷可得結(jié)果.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可計算方案①所獲利潤，計算結(jié)合基本不等式可得所獲利潤，然后進(jìn)行比較可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)第年獲取利潤為y萬元，年共收入租金萬元，付出維護(hù)費構(gòu)成一個以10為首項，20為公差的等差數(shù)列，共因此利潤令，解得：所以從第4年開始獲取純利潤．（2）方案①：純利潤所以15年后共獲利潤：1440+100=1540（萬元）方案②：年平均利潤當(dāng)且僅當(dāng)，即n=9時取等號所以9年后共獲利潤：120×9+460=1540（萬元）綜上：兩種方案獲利一樣多，而方案②時間比較短，所以選擇方案②．【點睛】本題考查數(shù)列模型的應(yīng)用問題，審清題意，理清思路，細(xì)心就算，屬中檔題.21.已知的角的對邊分別為a，b，c，滿足．（1）求；（2）從下列條件中：①；②中任選一個作為已知條件，求周長的取值范圍．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）利用正弦定理將已知等式統(tǒng)一成邊的形式，化簡后，再利用余弦定理可求出角（2）若選①，則由正弦定理得，然后表示出的周長，化簡得，再求出的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得三角形周長的范圍，若選擇②，則由可得，然后利用余弦定理表示出，從而可表示出三角形的周長，再利用基本不等式可求得結(jié)果.【小問1詳解】因為，所以由正弦定理得，即，所以由余弦定理得，因為，所以，【小問2詳解】若選擇①，，由正弦定理得，所以，所以的周長為，因為，所以，所以，所以，所以，所以的周長的取值范圍為，若選擇②，，則，得，由余弦定理得，所以的周長為，因，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的周長的取值范圍為.22.函數(shù)滿足：對任意，都有，且，數(shù)列滿足.（1）證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）記數(shù)列前n項和為，且，問是否存在正整數(shù)m，使得成立，若存在，求m的最小值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；；（2）存在，4.【解析】