2024年高考數學考前模擬題

1.如圖，在三棱柱4BC?Ai3iCi中，A4_L平面A8C,4Al=AC=8C=2,NAC8=90°,

D,￡分別是4山i,C。的中點

(I)求證：Ci。〃平面AiBE；

(II)求直線與平面A18E所成角的正弦值；

(III)在棱C。上是否存在一點P,使得平面加6與平面46E所成二面角為6(T?若

存在，求出。點的坐標；若不存在，請說明理由.

【分析】(I)取A8的中點立連結。立交48于點M,可證。O〃EM,利用線面平

行的判定定理可得〃平面AiBE；

(II)建立空間直角坐標系，求出平面48E的法向號，利用向展的夾角公式，可求直線

AB與平面4由E所成角的正弦值；

(111)假設在棱C。上存在一點P,使得平面必B與平面4BE所成二面角為60°,求

出平面RW的法向量，根據向量的夾角公式，列方程求出點夕坐標，即可?得結論.

【解答】(I)證明：取A8的中點F,連接。F,交A18于點M,可知M為。尸中點，

連接EM,易知四邊形。QME為平行四邊形，

所以C\D//EM.

又平面平面48E,EMu平面A\BE,

所以〃平面

(II)解：如圖建立空間直角坐標系。-町2,則A(2,0,0),B(0,2,0),E(0,0,

1),A\(2,0,2).

：.AB=(-2,2,0),E1i=(2,0,1),EB=(0,2,-1).

設平面4相的法向量為3=(x,y,z),則降丁=°,即IQ：：；

-n=01y'一

令x=l,貝Un=(l,-1,-2).

TrT廠

所以cos<4B,n>="M

明向

所以直線AB與平面A\BE所成角的正弦值為

(III)ft?：假設在梭CCi上存在一點P,使得平面必/3與平面48E所成二面角為60°,

設尸(0,0,c),0WcW2.

則24=(2,0,-c),設平面以B的法向量為m=(x,y,z),

則盟=：,即聞&乜,

-AB=0J

取4=6則益=(c,c,2),

由(n)知平面的法向量為￡=(I,-I,-2).

所以|cos<m,n>\=磐川=_?4==

|m||n|后*2+C2+4

解得c=*<2,

故在棱CO上存在一點P,使得平面%B與平面4BE所成二面角為60°,P點的坐標

【點評】本題考查了空間向量在幾何中的應用，考查了直線與平面平行的判定、線面角

和二面角的求法，考查了運算求解能力，轉化與化歸能力，邏輯推理能力，屬于中檔題

2.如圖1,在平面四邊形A8DC中，AB=2,AC=\,CD=瓜ZA=90c,cosZBCD=i

⑴求sin。；

(2)將△8CQ沿8C折起，形成如圖2所示的三楂錐。-ABC,AD=2.

(i)三棱錐D-ABC中，證明：點。在平面ABC上的正投影為點A：

(ii)三棱錐O-A8C中，點E,F,G分別為線段AB,BC,4c的中點，設平面。￡/

與平面QAC的交線為/,Q為/上的點.求DE與平面QFG所成角的正弦值的取值范闈.

圖2

【分析】Q)在RtZV\BC中：求出BC,在△8CO中由余弦定理求出。的余弦函數值,

在△BC。中由止弦定理求解即川.

(2)(i)證明AD.LAC,推出AO_L平面ABC,得到結論.

(ii)以4坐標原點，分別以AB、AC,人。為x、y、z軸建立空間直角坐標系A-孫z,

設。(0,1,2),求出平面QFG的法向量，法=(1,0,-2),設。七與平面QFG所

成角為。，利用空間向量的數展積求解表達式，然后推出。E與平面QFG所成角的正弦

值的取值范圍.

【解答】解：(1)在RlaABC中：BC=>/AB2+AC2=V5,

在△8C。中由余弦定理：BC=CD=\/5,cos乙BCD=二卷

"Z段oC父-CL/〃□

所以80=2V2,

BCBD

在△8CO中由正弦定理：--=------；sin乙BCD=等，

stnDsinz.BCD5

所以sin。=

(2)(i)證明：在△D48中，因為48=2,AD=2,BD=2企，

所以呂/^二4/^+人。2，AQ_LA8,

在aD4c中，因為RC=1,AD=2,CD=V5,

所以。。2=心+加，ADLAC,

又因為48rMe=4,所以AQ_L平面ABC,

所以點D在平面A4C上的正投影為點人

點七和產分別在側棱44、C。上，且4K=C尸=1.

（I）求證：8c〃平面。店尺

（2）求直線AO與平面。石尸所成角的正弦值.

R

【分析】（1）分別取CD,FD\的中點M,N,連結MMAM,EN,利用中位線定理證

明四邊形AEMN是平行四邊形，AMCA是平行四邊形，從而得到〃硒，由線面

平行的判定定理證明即可；

（2）建立合適的空間直角坐標系，求出所需點的坐標和向量的坐標，然后利用待定系數

法求出平面的法向量，由向量的夾角公式求解即可.

【解答】（1）證明：如圖所示，分別取CD,FA的中點M,N,連結MMAM,EN,

則有MN是梯形CFQiD的中位線，故MN"CF"D\D,且MN=2（b+OQ）=2.

因為八1E=1,A\A//D\D,

所以E4=2=MN,旦MN〃EN,

所以四邊形AEMN是平行四邊形，

所以硒〃4M,同理可證AMCB是平行四邊形，

所以BC〃4A/〃EM

又因為ENu平面。IER〃。仁平面。歸巴

所以平面D1EF；

（2）解：以點4為坐標原點，48為工軸，A4為y軸，過點A且垂直于AB的直線為z

軸，

建立空間直角坐標系如圖所示，

則A（0,0,0）,E（0,0,2）,D（-1,亭，0）,。式一,苧，3）,F點，孚，1）,

-1T1凝T

所以AD=（-全三，0）,D]E=（?-竽，-1）,。/=（2,0,-2）,

設平面O1E77的法向量為薪=(%,y,z),

則打￥=0,即告一亨y_z=O,

(m-DtF=0(2工-2z=0

令％=>/3,則y=-1,z=V3,故m=(V3,—1,73),

設直線AQ與平面。1即所成角為仇

所以sin0=|cos<AD，/