高中數學圓錐曲線的知識點總結高考數學圓錐曲線部分知識點梳理一、方程的曲線,C在平面直角坐標系中,如果某曲線(看作適合某種條件的點的集合或軌跡)上的點與一個二元方程的實數解建立了如下的關系,(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解,(2)以這個方程的解為坐標的fxy(,)0,點都是曲線上的點,那么這個方程叫做曲線的方程,這條曲線叫做方程的曲線.CC點與曲線的關系,若曲線的方程是,則點在曲線上,點Pxy(,)fxy(,)0,Pxy(,)fxy(,)0,,00000000C不在曲線上.fxy(,)0,,00兩條曲線的交點,若曲線,的方程分別為,,則點是,的交點CCfxy(,)0,fxy(,)0,Pxy(,)CC222110001f(x,y),0100{方程組有個不同的實數解,兩條曲線就有個不同的交點,方程組沒有實數解,曲線就沒nn,f(x,y),0200有交點.二、圓,O1{|}MOMr,、定義,點集,其中定點為圓心,定長為半徑.r2222、方程,(1)標準方程,圓心在,半徑為的圓方程是Cab(,)()()xaybr,，,,r222圓心在坐標原點,半徑為的圓方程是xyr，,r2222DEF，,,40(2)一般方程,?當時,一元二次方程叫做圓的一般方程,圓心為xyDxEyF，，，，,022DEF，,4DE22(,,,)半徑是.配方,將方程化為xyDxEyF，，，，,022222DEDEF，,422()()xy，，，,224DE22(,,,)DEF，,,40?當時,方程表示一個點2222DEF，,,40?當時,方程不表示任何圖形.CMM(,)xy,3,點與圓的位置關系已知圓心Cab(,),半徑為,點的坐標為,則||MCr,點在圓,r0022||()()MCxayb,,，,CCMM內,||MCr,點在圓上,||MCr,點在圓外,其中.,,00,4,直線和圓的位置關系,?直線和圓有相交、相切、相離三種位置關系,直線與圓相交有兩個公共點,,直線與圓相切有一個公共點,直線與圓相離沒有公共點.,,Cab(,)AxByC，，,0?直線和圓的位置關系的判定,(i)判別式法,(ii)利用圓心到直線的距離-1-Aa，Bb，C與半徑的大小關系來判定.d,r22A，B三、圓錐曲線的統一定義,l平面內的動點到一個定點的距離與到不通過這個定點的一條定直線的距離之比是一個常數Pxy(,)Fc(,0)l,則動點的軌跡叫做圓錐曲線.其中定點稱為焦點,定直線稱為準線,正常數稱為離心率.當eee(0),Fc(,0)01,,ee,1e,1時,軌跡為橢圓,當時,軌跡為拋物線,當時,軌跡為雙曲線.四、橢圓、雙曲線、拋物線,橢圓雙曲線拋物線,的距離之1,到兩定點FF121,到兩定點,的距離之和FF12差的絕對值為定值為定值的點的2(2||)aaFF,12的點的軌2(02||)aaFF,,與定點和直線的距離12定義軌跡跡相等的點的軌跡.2,與定點和直線的距離之比為2,與定點和直線的距離之比為定值的點的軌跡.e(01),,e定值的點的軌跡.e(1)e,點集,點集,點集,軌跡{|||||2,MMFMFa，,{|||||2,MMFMFa,,,{|||MMFM,點1212條件到直線的距離l}||2}FFa,||2}FFa,1212yB1Mba圖形xcAFA1F122B222aax=x=-cc標方準2222xyxy2y,2pxa,b，,1,,1(0,0)ab,,(>0)2222abab方程程-2-參數,,x,acosx,asec,,2,x,2pt,,,,(為參數)y,bsiny,btant,,,y,2pt,(參數,為離心角)(參數,為離心角)方程x,0,,,axa范圍,,,,,byb||xa,yR,中心原點原點O(0,0)O(0,0),(,0),a(,0)a(0,0)頂點,(,0),a(,0)a,(0,),b(0,)b對稱軸,軸,軸,軸,yyxx軸x2a2b2a2b軸長軸長,短軸長實軸長,虛軸長.pF(,0),,Fc(,0)Fc(,0),Fc(,0)Fc(,0),焦點12122px,,2a2x,,2acx,,準準線與焦點位于頂點c準線垂直于實軸,且在兩頂點線兩側,且到頂點的距離準線垂直于長軸,且在橢圓外.的內側.相等.漸近byx,,無無a線2222焦距2()ccab,,2()ccab,，左支,||()PFexa,,，1焦半||()PFexa,,,2p||,||PFaexPFaex,，,,||PFx,，122右支,徑||PFexa,，1||PFexa,,2-3-222b2b2p通徑aa離心cce,1e,(0,e,1)e,(e,1)aa率【備注1】雙曲線,222,1,等軸雙曲線,雙曲線稱為等軸雙曲線,其漸近線方程為,離心率.y,,xe,2x,y,,a22yx,2,共軛雙曲線,以已知雙曲線的虛軸為實軸,實軸為虛軸的雙曲線,叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.,,,22ab2222yyxx,,0與互為共軛雙曲線,它們具有共同的漸近線,.,,,,2222abab2222yxyxyx,,,(,,0),,0,3,共漸近線的雙曲線系方程,的漸近線方程為,如果雙曲線的漸近線為,,02222ababab22yx,,,(,,0)時,它的雙曲線方程可設為.22ab【備注2】拋物線,pp22x,,,1,拋物線的焦點坐標是(,0),準線方程,開口向右,拋物線ypxp,,2(0)ypxp,,2(0)22ppp2x,,的焦點坐標是(,0),準線方程,開口向左,拋物線的焦點坐標是(0,),準線方xpyp,,2(0)222ppp2y,,y,,程,開口向上,拋物線的焦點坐標是(0,),準線方程,開口向下.xpyp,,2(0)222p2MMF,x，Mxy(,),2,拋物線上的點與焦點的距離,ypxp,,2(0)0002pp2,3,設拋物線的標準方程為,則拋物線的焦點到其頂點的距離為,頂點到準線的距離,ypxp,,2(0)22p焦點到準線的距離為.五、坐標的變換,,1,坐標變換,在解析幾何中,把坐標系的變換(如改變坐標系原點的位置或坐標軸的方向)叫做坐標變換.實施坐標變換時,點的位置,曲線的形狀、大小、位置都不改變,僅僅只改變點的坐標與曲線的方程.,2,坐標軸的平移,坐標軸的方向和長度單位不改變,只改變原點的位置,這種坐標系的變換叫做坐標軸的平移,簡稱移軸.-4-''',3,坐標軸的平移公式,設平面內任意一點,它在原坐標系中的坐標是,在新坐標系中的M(,)xyxOyxOyxxh,，','''坐標是.設新坐標系的原點在原坐標系中的坐標是,則O(,)hkxOy(x,y),yyk,，',叫做平移(或移軸)公式.六、橢圓的常用結論,1.點處的切線平分在點處的外角.PPTP,PFF12證明,如圖,設,,.Fc(,0),Fc(,0)Pxy(,)120022'xy22xyy對橢圓方程兩邊求導得,，,1，,02222abab22bxbx''0,？,,ykky,,,,PTxy(,)2200ayay0yy00又,kkkk,,,,PFPF1212xcxc，,002,,,kkb()2？，,，,，,,tan2tan()PFFPTF2121，kkcy202b同理？，,tan4cy0，,，24故總結,角相等利用和差角的正切值轉換成直線斜率,多利用幾何方法補充角平分線定理22xxyyxy00，,1，,1Pxy(,)P2.若在橢圓上,則過的橢圓的切線方程是.,和圓上點的切線做比較,00002222abab22'xy22xyy，,1，,0解析,對橢圓方程兩邊求導得,2222abab22bxbx''0,？,,ykky,,,,PTxy(,)2200ayay0xxyy00，,1故直線方程為22ab總結,常見的求切線的方法22xy，,1PPxy(,)PP、PP3.若在橢圓外,則過作橢圓的兩條切線切點為,則切點弦的直線方程是0000121222ab-5-xxyy00.，,122ab2補充圓的切線公式,()()()()xaxaybybr,,，,,,002圓的切點弦公式,()()()()xaxaybybr,,，,,,00總結,知識點的對比性記憶22xy4.橢圓的左右焦點分別為,點為橢圓上任意一點,則橢圓的焦P，,1FF、，,FPF,(0)ab,,121222ab,2點角形的面積為Sb,tan.,FPF122證明,設,則由余弦定理可得PFmPFn,,,1222242coscmnmn,，,,224()2(cos1)cmnmn,，,，,22b,mn,，1cos1sin,,22Smnbb,,,,sintan,,PFF12，21cos2,11SabC,sin總結,求面積的方法,底乘高、大減小、割補法、2222xy，,15.橢圓的焦半徑公式||MFaex,，,,其中(0)ab,,1022ab(Fc(,0),,Fc(,0),Mxy(,)).12002222bxcxa()，22222200解析,||()2MFcxyxcxxb,，，,，，，,,10000022aa？,，||MFaex10||MFaex,，同理10222xybABAB，,1kk,,,Mxy(,)6.是橢圓的不平行于對稱軸的弦,為的中點,則,即OMAB00222aba2bx0K,,.AB2ay0222222akxkay,bx000ykxxy,,，()xxx，,,2k,,解析,設直線方程為,聯立可得,001202222bak，ay0-6-2222xxyyxyxy00007.若在橢圓內,則被所平分的中點弦的方程是,，,1，,，Pxy(,)P0000222222ababab22xyO8、已知橢圓,為坐標原點,為橢圓上兩動點,且.,1,，,1(0)ab,,PQ、OPOQ,22ab22224abab111122;,2,的最小值為;,3,的最小值是.S，,，||||OPOQ，,OPQ22222222ab，ab，||||OPOQab222222222解析:設直線方程為,聯立可得ykxm,，()20akbxkmaxamab，，，,,2222amab,22可得xxyykxxkmxxm,,，，，,()12121212222akb，222mab由xxyy，,,,012122221，，kab2222211||||||11OPOQPQab，，，,,,,，2222222222||||||||||OPOQOPOQPQdabab221111||||OPOQ，22222,2,||||()(||||)()()OPOQOPOQ，,，,，2222abab222224abab22,,3,同理可求||||OPOQ，,S,OPQ2222，abab，七、雙曲線的常用結論,PPTP1、點處的切線平分在點處的內角.,PFF1222xxyyxy00,,1,,12、若Pxy(,)在雙曲線上,則過P的雙曲線的切線方程是.(0,0)ab,,00002222abab22xy,,13、若Pxy(,)在雙曲線外,則過P作雙曲線的兩條切線切點為PP、,則切點弦(0,0)ab,,00001222abxxyy00,,1PP的直線方程是.1222ab22xyP,,1FF、，,FPF,、雙曲線4的左右焦點分別為,點為雙曲線上任意一點,則雙曲(0,0)ab,,121222ab,2Sbco,t線的焦點角形的面積為.,FPF12222xy,,1Fc(,0),Fc(,0)Mxy(,)5、雙曲線(0,0)ab,,的焦半徑公式,(,,當在右支上時,120022ab||MFexa,，||MFexa,,Mxy(,)||MFexa,,，||MFexa,,,,,當在左支上時,,.1020001020222bxxy0ABAB,,1Mxy(,)K,(0,0)ab,,6、是雙曲線的不平行于對稱軸的弦,為的中點,則.AB00222abay0-7-2222xxyyxyxy00007、若在雙曲線內,則被所平分的中點弦的方程.,,1Pxy(,)P,,,(0,0)ab,,0000222222ababab22xyO8、已知雙曲線,為坐標原點,為雙曲線上兩動點,且.,,1(0)ba,,PQ、OPOQ,22ab22224abab111122,1,;,2,的最小值為;,3,的最小值是.S，,,||||OPOQ，,OPQ22222222ba,ba,||||OPOQab八、拋物線的常用結論,24ac,bb21、頂點.(),ay，by，c,x4a2a22、設是過拋物線的焦點的弦,,則ABFAxyBxy(,),(,)ypxp,,2(0)11222p2,1,xxyyp,,,,121242p,2,，，,,為弦的傾斜角,弦長||()ABxxpAB122sin,pykx,,()解析,,一,設直線為,代入拋物線方程可得,2222224(48)0kxpkpxpk,，，,則xxxx，,,...,...121222(1)pk，22||1()4ABkxxxx,，，,,12122kpp||()()ABxx,,,，,,,二,利用定義1222112,3,，,||||FAFBp11112xxp，，12，,，,,解析,2pppp||||FAFBpxx，，xxxx，，，()1212122224AB,4,以弦為直徑的圓與準線相切''AO、BABA,5,與在準線上