高中平面向量知識點總結(jié)平面向量1、向量的定義:既有大小又有方向的量叫向量2、向量的表示方法(1)幾何表示:以A為起點，以B為終點的有向線段記作AB，如果有向線段AB表示一個向量，通常我們就說向量AB.(2)字母表示:印刷時粗黑體字母a，b，c…向量手寫時帶箭頭的小寫字母a，b…3、向量點的長度(模)a4、零向量:長度為0的向向量的大小叫做向量的長或模，記作|AB|、,量，記為0，其方向是任意的，0與任意向量平行a,0,a,,0單位向量:模為1個單位長度的向量向量a0為單位向量,a0,,平行向量(共線向量):方向相同或相反的非零向量記作a?b5、相等向量:abx1x2即大小相等，方向相同(x1,y1)(x2,y2)yy21a6、對于任意非零向量的單位向量是.,a,7、向量的加法(1)三角形法則設(shè)ABa,BCb，則a+b=AB,BC=AC對于零向量與任意向量a的和有0,aa,0a(2)平行四邊形法則已知兩個不共線的向量a，b，做ABa,BCb，則A、B、D三點不共線，以AB、AD為鄰邊作平行四邊形ABCD，則對角線上的向量AC=a+b.當兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則;當兩向量是首尾連接時，用三角形法則(向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加:(AB,BC,CD,,PQ,QRAR，但這時必須“首尾相連”8、向量加法的運算律(1)交換律a+b=b+a(2)結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)9、向量的減法a,ba,(,b)即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量圖:10、相反向量:與a長度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量.記作,a(1),(,a)=a，即a與,a互為相反向量;(2)若a、b是互為相反向量，則a=,b,b=,a,a+b=0;(3)a+(,a)=(,a)+a=0;(4)零向量的相反向量仍是零向量(5)對于用起點和終點表示的向量，則有AB=—BA,即AB和-BA互為相反向量11、已知向量α，b，則||α|-|b||???|α|?|b|12、向量數(shù)乘運算實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作λa，它的長度與方向規(guī)定如下:(1)aa;(2)當0時，a與a同向當0時，a與a異向當0或a=0時，a013、向量數(shù)乘的運算律(1)λ(μa)=(λμ)a(2)(λ+μ)a=λa+μa(3)λ(a+b)=λa+λb(4)(—λa)=—(λa)=λ(—a)λ(a—b)=λa-λb14、向量共線判定定理當向量a?0，對于向量b，如果有一個實數(shù)，使b=a，那么ab共線.向量b與向量a(a?0)共線有且只有一個實數(shù)，使得b=a.15、向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，對于任意向量a、b以及任意實數(shù)λ、μ1、μ2恒有(μ1a?μ2b)=μ1a+μ2b16、平面向量的基本定理如果e1,e2是一個平面θ=0?ab同向圖θ=180?ab同向θ=90?ab垂直，記為a?b18、平面向量的正交分解把一個向量分解成兩個互相垂直的向量19、平面向量的坐標表示(1)直角坐標在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，對于平aa，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x，y使=xi+yj，則把有面內(nèi)的的一個向量a序數(shù)對(x，y)叫做向量的坐標。(2)坐標表示在向量a的直角坐標中，x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，a=(x，y)叫做向量的坐標表示。(3)在向量的直角坐標中，i=(1,0)j=(0,1)0=(0,0)20、若a,x1,y1,,b,x2,y2,和實數(shù)λ(1)ab,x1x2,y1y2,a=(x1,y1)(2)(3)若A,x1,y1,,B,x2,y2,，則AB=OB-OA=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1)21、向量平行條件(1)若a,x1,y1,,b,x2,y2,，a//bx1y2,x2y10(2)若a,x1,y1,,b,x2,y2,，如果b不平行于坐標軸，即x2y，則?02?0x1y1a//b=即兩個向量平行的條件是成比例(注意此時x2?y2?0)x2y222、向量的數(shù)量積已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為，則a?b=,a,?,b,cos其中是a與b的夾角，,a,cos叫做向量a在b方向上的投影。規(guī)定0a023、數(shù)量積的幾何意義a?b等于a的長度,a,與b在a方向上的投影,b,cos的乘積24、a與b都是非零向量，它們的夾角為(1)aba?b=0(2)ab同向時a?b=,a,?,b,ab反向時a?b=—,a,?,b,(3)aaa|a|或222,a,=a?a=a(4)cos=,a,?,b,a?b(5)|a?b|?,a,?,b,25、向量數(shù)量積的運算律(1)交換律:abba,,(3)分配律:,ab,cacbcc,ab,特別注意:(1)結(jié)合律不成立:a,bc,,ab,cwhy,前者表示與a共線的向量，后者表示與向量c共線的向量，而a與c不一定共線。(2)結(jié)合律:,a,babab,R,,,(2)消去律不成立abac不(3)ab=0不能a=0或b=0bc26、平面向量的數(shù)量積的坐標運算:已知兩個向量a(x1,y1),b(x2,y2)，則a?b=x1x2,y1y27、垂直設(shè)兩個非零向量a(x1,y1),b(x2,y2)，則abx1x2,y1y20a?ba?b,Ox1x2,y1y228、設(shè)a=(x，y)，則,a,=x設(shè)A=(x1，y1)B=(x2，y2)，則AB=0029、已知兩個非零向量a與b，作OA=a,OB=b,則?AOB=(0180)叫做向量a與b的夾角(x2?x1)+(y2?y1)22x1x2,y1y2abcos=cosa,b=(可用此公式求兩向量夾角)2222abx1,y1x2,y2當x1x2,y1y2<0，?(，π];2當x1x2,y1y2>0，?[0，);2當x1x2,y1y2=0，=20當且僅當兩個非零向量a與b同方向時，θ=0，當且僅當a與b反方向時θ=180030、向量a的單位向量的坐標表示aa0=(x，y)=,a,a0為a的單位向量31、對于求直線L1:A1x+B1y+C1=0與直線L2:A2x+B2y+C2=0的夾角，則只要求與兩直線平行的向量的夾角，再取這兩個向量的夾角或補角，即與直線L1、L2分別平行的向量m=(A1，B1)，n=(A2，B2)，設(shè)向量m、n的夾角為cos=當cos<0時，直線L1L2夾角等于π-θ銳角當cos>0時，直線L1L2夾角等于θ32、三角形面積公式S=33、a=|a|12?,,?,,22221+1?1+2?bsinC可利用夾角公式求出sinC22222(a?b)(a?b)=|a?b|=|a|?2a?b+|b|34、證三點共線35、直線L的向量參數(shù)方程式運用2.2的例一設(shè)A、B是直線L上任意兩點，O是L外一點，則對于L上任一點P，存在實數(shù)t，是向量OP=(1-t)OA+tOB當t=P為AB中點時，OP=2211正弦定理在?ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，三角形外接圓的半徑為R。則有即