平面向量知識點歸納

一.向量的基本概念與基本運算

1、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小．②零向量：長度為0的向量，記為0，其方向是任意的，0與任意向量平行③單位向量：模為1個單位長度的向量④平行向量（共線向量）⑤相等向量：長度相等且方向相同的向量2、向量加法：設ABa,BCb，則a+b=ABBC=AC（1）0aa0a；（2）向量加法滿足交換律與結合律；．ABBCCDPQQRAR，但這時必須“首尾相連”3、向量的減法：①相反向量：與a長度相等、方向相反的向量，叫做a②向量減法：向量a加上b的相反向量叫做a與b的差，③作圖法：ab可以表示為從b的終點指向a的終點的向量（a、b有共同起點）4、實數與向量的積：實數λ與向量a的積是一個向量，記作λa，它的長度與方向規定如下：（Ⅰ）aa；（Ⅱ）當0時，λa的方向與a的方向相同；當0時，λa的方向與a的方向

相反；當0時，a0，方向是任意的5、兩個向量共線定理：向量b與非零向量a共線有且只有一個實數，使得b=a6、平面向量的基本定理：如果e1,e2是一個平面2(1)若ax1,y1,bx2,y2，則abx1x2,y1y2(2)若Ax1,y1,Bx2,y2，則ABx2x1,y2y1

(3)若a=(x,y)，則a=(x,y)(4)若ax1,y1,bx2,y2，則a//bx1y2x2y10(5)若ax1,y1,bx2,y2，則abx1x2y1y2若ab，則x1x2y1y20

三．平面向量的數量積1已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為，則a·b=︱a︱·︱b︱cos叫做a與b的數量積（或內積）規定0a0ab2b︱cos=∈R，稱為向量b在a投影的絕對值稱為射影|a|aa3數量積的幾何意義：·b等于的長度與b在a方向上的投影的乘積224aaa|a|5

22ababab

222aba2abb22ab；22a2abb6①交換律成立：abba②對實數的結合律成立：abababR

③分配律成立：abcacbccab

特別注意：（1）結合律不成立：abcabc；

（2）消去律不成立abac不能bca=0或b=0（3）ab=0不能

7已知兩個向量a(x1,y1),b(x2,y2)，則a·b=x1x2y1y2008已知兩個非零向量a與b，作OA=a,OB=b,則∠AOB=（0180）叫做向量a與b的夾角abcos=cosa,b

ab00當且僅當兩個非零向量a與b同方向時，θ=0，當且僅當a與b反方向時θ=180，同時0與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題09垂直：如果a與b的夾角為90則稱a與b垂直，記作a⊥b10：a⊥ba·b＝Ox1x2y1y2空間向量與立體幾何

1、空間向量及其運算：（1）空間中的平行（共線）條件：a//bb0xR,axb

（2）空間中的共面條件：a,b,c共面（b,c不共線）x,yR,axbycOC推論：對于空間任一點和不共線三點A、B、，OPxOAyOBzOCxyz1，則四點O、

A、B、C共面

（3）空間向量分解定理：如果三個向量a,b,c不共面，那么對空間任一向量pxaybzc

（4）空間向量的加、減、數乘、數量積定義及運算若ax1,y1,z1,bx2,y2,z2，則：abx1x2,y1y2,z1z2ax1,y1,z1ab1x2zx1y2y1z注1：數量積不滿足結合律；

注2：空間中的基底要求不共面。

2、空間向量在立體幾何證明中的應用：

（1）證明AB//CD，即證明AB//CD

（2）證明ABCD，即證明ABCD0AB//（3）證明（平面）（或在面內），即證明AB垂直于平面的法向量或證明AB與平面內的基底共面；（4）證明AB，即證明AB平行于平面的法向量或證明AB垂直于平面內的兩條相交的直線所對應的向量；

（5）證明兩平面//（或兩面重合），即證明兩平面的法向量平行或一個面的法向量垂直于另一個平面；

（6）證明兩平面，即證明兩平面的法向量垂直或一個面的法向量在內一個面內。

平面向量真題集訓

2004年

（9）已知平面上直線l的方向向量e(43,)，點O(0,0)和A(1,-2)在l上的射影分別是O1和A1，則O1A1＝e，55

其中

＝（）

1111（A）（B）－（C）2

（D）－255

2005

年

8.已知點A（，1），B（0，0）C（

等于（）

A.2B.C.－3D.－，0）.設∠BAC的平分線AE與BC相交于E，那么有

x（1）（文）已知向量a＝（4，2），向量b＝（，3），且a//b,則x＝()

（A）9(B)6(C)5(D)32006年

2007年

1CDCACB，則（）5．在△ABC中，已知D是AB邊上一點，若AD2DB，3

2112A．B．C．D．3333

2009年

6.已知向量a2,1,ab10,|ab||b|（）

A.B.C.5D.25

2010年

uuruuruuur（8）△ABC中，點D在AB上，CD平方ACB．若CBa，CAb，a1，b2，則CD（）

（A）1

3a2

3b（B）2

3a1

3b（C）3

5a4

5b（D）4

5a3

5b

2011年

1（3）設向量a、b滿足ab1，ab,則a2b2

（A

（B

（C

（D

利用向量法解決立體幾何問題

基本知識回顧

向量平行，垂直的坐標表示：平行x1y2-x2y1=0，垂直x1x2+y1y2=0

直線的方向向量：1.直線的方向向量把直線上任意兩點的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量.如圖1,在空間直角坐標系中,由A(x1,y1,z1)與B(x2,y2,z2)確定的直線AB的方向向量是：AB(x2x1,y2y1,z2z1)

平面的法向量：如果表示向量n的有向線段所在的直線垂直于平面α,稱這個向量垂直于平面α,記作n⊥α,這時向量n叫做平面α的法向量.

在空間直角坐標系中,如何求平面法向量的坐標呢?設a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α內的兩個不共線的非零向量,由直線與平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,則n⊥α.換句話說,若n·a=0且n·b=0,則n⊥α

求平面法向量的基本步驟：

第一步(設):設出平面法向量的坐標為n=(x,y,z).

第二步(列):根據n·a=0且n·b=0可列出方程組

第三步(解):把z看作常數,用z表示x、y.

第四步(取):取z為任意一個正數(當然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐標.

(一).判定直線、平面間的位置關系

（1）直線與直線的位置關系，不重合的兩條直線a,b的方向向量分別為a,b.

①若a∥b,即a=λb,則a∥b.②若a⊥b,即a·b=0,則a⊥b

(2)直線與平面的位置關系直線L的方向向量為a,平面α的法向量為n,

①若a∥n,即a=λn,則L⊥α

②若a⊥n,即a·n=0,則a∥α.

（3)平面與平面的位置關系

平面α的法向量為n1,平面β的法向量為n2

①若n1∥n2,即n1=λn2,則α∥β②若n1⊥n2,即n1·n2=0,則α⊥β

(二)、用向量解決距離問題

①兩點A,B間距離|AB|由AB2

ABAB可算出；若ABab，則由數量積得AB2ab2ab22，若已知

兩點坐標，則可直接用兩點間距離公式.

②點P到直線AB的距離

過點P作直線AB的垂線PD，垂足為D，則由PDAB且點A,B,D共線得PDAB0,ADAB，解出D點后再求|PD|。

③異面直線a、b的距離

可先設a、b的公垂線段EF（

aEF0

Ea、Fb），再由垂直向量性質得

bEF0

，從而得到E、

F

的坐標，最后算出所求EF.④點P到平面的距離h

先設平面的斜線為PAA，再求的法向量n，運用向量平移，不難得到推論“h等

于PA在法向量n上的射影PA

n

PAn

的絕對值”，即h

，最后由此算出所求距離.

nn

④兩平行平面,之間的距離

由平行平面間的距離定義知道，平面上任意一點A到的距離就是到的距離，因此，我們也可把到的距離轉化為A到的距離，運用求點與面距離的方法來求。

(三)、用向量解決角的問題

①兩條異面直線a、b間夾角

在直線a上取兩點A、B，在直線b上取兩點C、D，若直線a與b的夾角為，則

cos|cosABC,

D

注意,由于兩向量的夾角范圍為0,180,而異面直線所成角的范圍為090，若兩向量夾角為鈍角,轉化到異面直線夾角時為180°

②直線a與平面所成的角（如圖11）

圖1－1

2

圖1－2

2

圖1－3

2

移得：若時

（圖12）；若時

2

（圖13）.

平面的法向量n是向量的一個重要內容，是求直線與平面所成角、求點到平面距離的必備工具.由n可知，要求得法向量n，只需在平面上找出兩個不共線向量a、b，最后通過解方程

an0組得到n

bn0

.

x

③求二面角的大小

已知二面角α—l—β，n1,n2分別是平面α和平面β的一個法向量，設二面角α—l—β的大小

為θ，規定0≤θ≤π，則n1,n2（這里若平面α的法向量是二面角的內部指向平面α內的

一點，則平面β的法向量必須是由平面β內的一點指向二面角的內部，如圖2-1，否則從二面角內

部一點出發向兩個半平面作法向量時，二面角n1,n2，如圖2-2）

2-1

2-2

二面角的大小（如右圖），也可用兩個向量所成的夾角表示，在、上分別作棱的垂線AB、CD（A、C），從圖中可知：等于AB、CD所成的角.

2004年—2012年云南省高考立體幾何解答題匯總

2004年

20．（本小題滿分12分）

如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=2，側棱AA1=1，側面AA1B1B的兩條

對角線交點為D，B1C1的中點為M.（Ⅰ）求證CD⊥平面BDM；

（Ⅱ）求面B1BD與面CBD所成二面角的大小.

2005年

（18）(本小題滿分12分)

在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD．（Ⅰ）證明AB⊥平面VAD．

（Ⅱ）求面VAD與面VDB所成的二面角的大小．

2006年

（19）（本小題滿分１２分）

如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC,D、E分別為BB1、AC1的中點。（I）證明：ED為異面直線BB1與AC1的公垂線；

AADC1（II

）設AA1AC,求二面角1的大小。

C1

1

B1

D

E

B

A

C

2007年

19．（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐SABCD中，底面ABCD為正方形，

側棱SD⊥底面ABCD，E，F分別為AB，SC的中點．（1）證明EF∥平面SAD；

（2）設SD2DC，求二面角AEFD的大小．

A

S

F

C

E

B

2008年

19．（本小題滿分12分）

A1

D

1

1

C1

如圖，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB4，點E在CC1上且C1E3EC．

E

（Ⅰ）證明：A1C平面BED；（Ⅱ）求二面角A1DEB的大小．

A

D

C

2009年

18（本小題滿分12分）

如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC,D、E分別為AA1、B1C的中點，DE平面BCC1（I）證明：ABAC

（II）設二面角ABDC為60°，求B1C與平面BCD所成的角的大小。

2010年

（19）（本小題滿分12分）

如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D為BB1的中點，E為AB1上的一點，AE=3EB1

（Ⅰ）證明：DE為異面直線AB1與CD的公垂線；（Ⅱ）設異面直線AB1與CD的夾角