數學必修1各章知識點總結第一章集合與函數概念一、集合(一)集合有關概念1.集合的含義2.集合的中元素的三個特性:確定性、互異性、無序性3.集合的表示:(1)常用數集及其記法(2)列舉法(3)描述法4、集合的分類:有限集、無限集、空集5.1.子集、真子集、空集;2.有n個元素的集合,含有2n個子集,2n-1個真子集;3.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.(一)函數的有關概念1.函數的概念:設A、B是非空的數集,如果按照某個確定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個數x,在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應,那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數.記作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數的定義域;與x的值相對應的y值叫做函數值,函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域.定義域:能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域.2.常用的函數表示法及各自的優點:○1解析法:必須注明函數的定義域;○2圖象法:描點法作圖要注意:確定函數的定義域;化簡函數的解析式;觀察函數的特征;○3列表法:選取的自變量要有代表性,應能反映定義域的特征.優點:解析法:便于算出函數值.列表法:便于查出函數值.圖象法:便于量出函數值.求函數的定義域時列不等式組的主要依據是:(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被開方數不小于零;(3)對數式的真數必須大于零;(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1;(5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的,那么它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合;(6)指數為零底不可以等于零;(7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.相同函數的判斷方法:(以下兩點必須同時具備)(1)表達式相同(與表示自變量和函數值的字母無關);(2)定義域一致.求函數值域方法:(先考慮其定義域)(1)函數的值域取決于定義域和對應法則,不論采取什么方法求函數的值域都應先考慮其定義域.(2)應熟練掌握一次函數、二次函數、指數函數、對數函數的值域,它是求解復雜函數值域的基礎.(3)求函數值域的常用方法有:直接法、換元法、配方法、分離常數法、判別式法、單調性法等.2.函數圖象知識歸納(1)定義:在平面直角坐標系中,以函數y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標,函數值y為縱坐標的點P(x,y)的集合C,叫做函數y=f(x),(x∈A)的圖象.C上每一點的坐標(x,y)均滿足函數關系y=f(x),反過來,以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x,y),均在C上.函數圖象既可以是連續的曲線,也可以是直線、折線、離散的點等等,注意判斷一個圖形是否是函數圖象的依據.(2)畫法:描點法;圖象變換法常用變換方法有三種:平移變換;對稱變換;*伸縮變換.3.區間的概念(1)區間的分類:開區間、閉區間、半開半閉區間;(2)無窮區間;(3)區間的數軸表示.4.映射一般地,設A、B是兩個非空的集合,如果按某一個確定的對應法則f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應,那么就稱對應f:A→B為從集合A到集合B的一個映射.記作“f(對應關系):A(原象集)→B(象集)”對于映射f:A→B來說,則應滿足:(1)集合A中的每一個元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(2)集合A中不同的元素,在集合B中對應的象可以是同一個;(3)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象.5.分段函數(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數;(2)各部分的自變量的取值情況;(3)分段函數的定義域是各段定義域的交集,值域是各段值域的并集.(二)函數的性質1.函數的單調性(局部性質)(1)定義設函數y=f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1,x2,當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),那么就說f(x)在區間D上是增函數.區間D稱為y=f(x)的單調增區間.如果對于區間D上的任意兩個自變量的值x1,x2,當x1<x2時,都有f(x1)>f(x2),那么就說f(x)在這個區間上是減函數.區間D稱為y=f(x)的單調減區間.定義的變形應用:如果對任意的12,xxD∈,且21xx≠有0)()(1212>--xxxfxf或者2121(()())()0fxfxxx-->,則函數)(xf在區間D上是增函數;如果對任意的12,xxD∈,且21xx≠有2121()()0fxfxxx-<-或者2121(()())()0fxfxxx--<,則函數)(xf在區間D上是減函數.注意:函數的單調性是函數的局部性質.(2)圖象的特點如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數,那么說函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性,在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的,減函數的圖象從左到右是下降的.(3)函數單調區間與單調性的判定方法(A)定義法:○1任取x1,x2∈D,且x1<x2;○2作差f(x1)-f(x2);○3變形(通常是因式分解和配方);○4定號(即判斷差f(x1)-f(x2)的正負);○5下結論(指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性).(B)圖象法(從圖象上看升降)(C)復合函數的單調性復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x),y=f(u)的單調性密切相關,其規律:“同增異減”注意:函數的單調區間只能是其定義域的子區間,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集.2.函數的奇偶性(整體性質)(1)偶函數一般地,對于函數f(x)的定義域內的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函數.(2)奇函數一般地,對于函數f(x)的定義域內的任意一個x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函數.(3)具有奇偶性的函數的圖象的特征偶函數的圖象關于y軸對稱;奇函數的圖象關于原點對稱.利用定義判斷函數奇偶性的步驟:○1首先確定函數的定義域,并判斷其是否關于原點對稱;○2確定f(-x)與f(x)的關系;○3作出相應結論:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,則f(x)是偶函數;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,則f(x)是奇函數.注意:函數定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件.首先看函數的定義域是否關于原點對稱,若不對稱則函數是非奇非偶函數.若對稱,(1)再根據定義判定;(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定;(3)利用定理,或借助函數的圖象判定.3.函數的解析表達式(1)函數的解析式是函數的一種表示方法,要求兩個變量之間的函數關系時,一是要求出它們之間的對應法則,二是要求出函數的定義域.(2)求函數的解析式的主要方法有:湊配法;待定系數法;換元法;消參法.如果已知函數解析式的構造時,可用待定系數法;已知復合函數f[g(x)]的表達式時,可用換元法,這時要注意元的取值范圍;當已知表達式較簡單時,也可用湊配法;若已知抽象函數表達式,則常用解方程組消參的方法求出f(x)4.函數最大(小)值(1)利用二次函數的性質(配方法)求函數的最大(小)值;(2)利用圖象求函數的最大(小)值;(3)利用函數單調性的判斷函數的最大(小)值:函數y=f(x)在區間[a,b]上單調遞增,在區間[b,c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b);函數y=f(x)在區間[a,b]上單調遞減,在區間[b,c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b).第二章基本初等函數一、指數函數(一)指數與指數冪的運算1.根式的概念:一般地,如果axn=,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.◆負數沒有偶次方根;0的任何次方根都是0,記作00=n.當n是奇數時,aann=,當n是偶數時,???<≥-==)0()0(||aaaaaann2.分數指數冪正數的分數指數冪的意義,規定:)1,,,0(*>∈>=nNnmaaanmnm,)1,,,0(11*>∈>==-nNnmaaanmnmnm◆0的正分數指數冪等于0,0的負分數指數冪沒有意義3.實數指數冪的運算性質(1)rsrsaaa+?=(0,,)arsR>∈;(2)()rsrsaa=),,0(Rsra∈>;(3)()rrrabab=(0,)arR>∈.(二)指數函數及其性質1.指數函數的概念:一般地,函數)1,0(≠>=aaayx且叫做指數函數,其中x是自變量,函數的定義域為R.注意:指數函數的底數的取值范圍,底數不能是負數、零和1.2.指數函數的圖象和性質(1)在[a,b]上,)1a0a(a)x(fx≠>=且值域是)]b(f),a(f[(a>1)或)]a(f),b(f[(0<a<1);(2)若0x≠,則1)x(f≠;)x(f取遍所有正數當且僅當Rx∈;(3)對于指數函數)1a0a(a)x(fx≠>=且,總有a)1(f=.二、對數函數(一)對數的概念:一般地,如果Nax=)1,0(≠>aa,那么數x叫做以.a為底..N的對數,記作:Nxalog=(a—底數,N—真數,Nalog—對數式)說明:○1注意底數的限制0>a,且1≠a;○2xNNaax=?=log.兩個重要對數:○1常用對數:以10為底的對數Nlg;○2自然對數:以無理數71828.2=e為底的對數的對數Nln.指數式與對數式的互化冪值真數N?logN(二)對數的運算性質如果0>a,且1≠a,0>M,0>N,那么:○1Ma(log2=)NMalog+Nalog;○2=NMalogMalog-Nalog;○3naMlogn=Malog)(Rn∈.注意:換底公式abbccalogloglog=(0>a,且1≠a;0>c,且1≠c;0>b).利用換底公式可得下面的結論:(1)bmnbanamloglog=;(2)abbalog1log=.(三)對數函數1、對數函數的概念:函數0(log>=axya,且)1≠a叫做對數函數,其中x是自變量,函數的定義域是(0,+∞).注意:○1對數函數的定義與指數函數類似,都是形式定義,注意辨別.如:xy2log2=,5log5xy=都不是對數函數,而只能稱其為對數型函數.○2對數函數對底數的限制:0a>,且1a≠.21.冪函數定義:一般地,形如αxy=)(Ra∈的函數稱為冪函數,其中α為常數.2.冪函數性質歸納:(1)所有的冪函數在(0,+∞)都有定義并且圖象都過點(1,1);(2)當0>α時,冪函數的圖象通過原點,并且在區間),0[+∞上是增函數.特別地,當1>α時,冪函數的圖象下凸;當10<<α時,冪函數的圖象上凸;(3)當0<α時,冪函數的圖象在區間),0(+∞上是減函數.在第一象限內,當x從右邊趨向原點時,圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸,當x趨于∞+時,圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸.第三章函數的應用一、方程的根與函數的零點1.函數零點的概念:對于函數))((Dxxfy∈=,把使0)(=xf成立的實數x叫做函數))((Dxxfy∈=的零點.2.函數零點的意義:函數)(xfy=的零點就是方程0)(=xf實數根,亦即函數)(xfy=的圖象與x軸交點的橫坐標.即:方程0)(=xf有實數根?函數)(xfy=的圖象與x軸有交點?函數)(xfy=有零點.3.函數零點的求法:○1(代數法)求方程0)(=xf的實數根;○2(幾何法)對于不能用求根公式的方程,可以將它與函數)(xfy=的圖象聯系起來,并利用函數的性質找出零點.4.二次函數的零點:二次函數)0(2≠++=acbxaxy.(1)△>0,方程02=++cbxax有兩不等實根,二次函數的圖象與x軸有兩個交點,二次函數有兩個零點.(2)△=0,方程02=++cbxax有兩相等實根,二次函數的圖象與x軸有一個交點,二次函數有一個二重零點或二階零點.(3)△<0,方程02=++cbxax無實根,二次函數的圖象與x軸無交點,二次函數無零點.二、函數的應用解答數學應用題的關鍵有兩點:一是認真讀題,縝密審題,確切理解題意,明確問題的實際背景,然后進行科學的抽象、概括,將實際問題歸納為相應的數學問題;二是要合理選取參變數,設定變元后,就要尋找它們之間的內在聯系,選用恰當的代數式表示問題中的關系,建立相應的函數、方程、不等式等數學模型;最終求解數學模型使實際問題獲解.數學必修2各章知識點總結第一章空間幾何體12三視圖定義:正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影);側視圖(從左向右)、俯視圖(從上向下)注:正視圖反映了物體的高度和長度;俯視圖反映了物體的長度和寬度;側視圖反映了物體的高度和寬度.3、空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法斜二測畫法特點:①原來與x軸平行的線段仍然與x軸平行且長度不變;②原來與y軸平行的線段仍然與y軸平行,長度為原來的一半.4、柱體、錐體、臺體的表面積與體積(((3)球體的表面積和體積公式:V球=33Rπ;S球面=4R第二章空間點、直線、平面之間的位置關系1、空間點、直線、平面之間的位置關系(1)平面①平面的概念:平面是無限伸展的.②平面的表示:通常用希臘字母α、β、γ表示,如平面α(通常寫在一個銳角內);也可以用兩個相對頂點的字母來表示,如平面BC.③點與平面的關系:點A在平面α內,記作Aα∈;點A不在平面α內,記作Aα?.點與直線的關系:點A在直線l上,記作:A∈l;點A在直線l外,記作A?l.直線與平面的關系:直線l在平面α內,記作l?α;直線l不在平面α內,記作l?α.(2)平面基本性質即三條公理的“文字語言”、“符號語言”、“圖形語言”列表如下:推論1:經過一條直線和這條直線外的一點,有且只有一個平面;推論2:經過兩條相交直線,有且只有一個平面;推論3:經過兩條平行直線,有且只有一個平面.(3)空間直線與直線之間的位置關系公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行①空間兩條直線的位置關系:????????相交直線:同一平面內,有且只有一個公共點;共面直線平行直線:同一平面內,沒有公共點;異面直線:不同在任何一個平面內,沒有公共點.②異面直線判定:過平面外一點與平面內一點的直線與平面內不過該點的直線是異面直線③異面直線所成角:已知兩條異面直線,ab,經過空間任一點O作直線//,//aabb'',把,ab''所成的銳角(或直角)叫異面直線,ab所成的角(或夾角).,ab''所成的角的大小與點O的選擇無關,為了簡便,點O通常取在異面直線的一條上;異面直線所成的角的范圍為(0,90]?,如果兩條異面直線所成的角是直角,則叫兩條異面直線垂直,記作ab⊥.求兩條異面直線所成角的步驟可以歸納為四步:選點→平移→定角→計算.④等角定理:如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行,那么這兩角相等或互補.(4)空間直線與平面之間的位置關系直線在平面內——有無數個公共點.三種位置關系的符號表示:aα?;a∩α=A;a∥α.(5)平面與平面之間的位置關系:平行——沒有公共點,記作α∥β.相交——有一條公共直線,記作α∩β=b.2、空間中的平行問題(1)直線與平面平行的判定及其性質線面平行的判定定理:平面外一條直線與此平面內一條直線平行,則該直線與此平面平行.(線線平行?線面平行)符號表示為:,,////ababaααα???.線面平行的性質定理:如果一條直線和一個平面平行,經過這條直線的平面和這個平面相交,那么這條直線和交線平行.線面平行?線線平行符號表示為:////aaabbαβαβ??????=?(2)平面與平面平行的判定及其性質兩個平面平行的判定定理(1)如果一個平面內的兩條相交直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行.(線面平行→面面平行),用符號表示為:,,////,//ababPabβββααα??=????.*(2)如果在兩個平面內,各有兩組相交直線對應平行,那么這兩個平面平行.(線線平行→面面平行),*(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行,兩個平面平行的性質定理(1)如果兩個平面平行,那么一個平面內的直線與另一個平面平行.(面面平行→線面平行)用符號表示為:α∥β,a?β//aα?(2)如果兩個平行平面都和第三個平面相交,那么它們的交線平行.(面面平行→線線平行)用符號表示為:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b//ab?3、空間中的垂直問題(1)線線、面面、線面垂直的定義①兩條異面直線的垂直:如果兩條異面直線所成的角是直角,就說這兩條異面直線互相垂直.②線面垂直:如果一條直線和一個平面內的任何一條直線垂直,就說這條直線和這個平面垂直.③平面和平面垂直:如果兩個平面相交,所成的二面角(從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形)是直二面角(平面角是直角),就說這兩個平面垂直.(2)垂直關系的判定和性質定理①線面垂直判定定理和性質定理判定定理:如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直這個平面.(線線垂直→線面垂直)用符號表示為:l⊥m,l⊥n,m∩n=B,m?α,n?α?l⊥α性質定理:如果兩條直線同垂直于一個平面,那么這兩條直線平行.用符號表示為:a⊥α,b⊥α?//ab②面面垂直的判定定理和性質定理判定定理:如果一個平面經過另一個平面的一條垂線,那么這兩個平面互相垂直.(線面垂直→面面垂直)用符號表示為:a?α,α⊥β?α⊥β.性質定理:如果兩個平面互相垂直,那么在一個平面內垂直于他們的交線的直線垂直于另一個平面.(面面垂直→線面垂直)用符號表示為:αβ⊥,lαβ=,aα?,al⊥?aβ⊥.4、空間角問題(1)直線與直線所成的角①兩平行直線所成的角:規定為0.②兩條相交直線所成的角:兩條直線相交其中不大于直角的角,叫這兩條直線所成的角.③兩條異面直線所成的角:過空間任意一點O,分別作與兩條異面直線a,b平行的直線ba'',,形成兩條相交直線,這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角.(2)直線和平面所成的角①平面的平行線與平面所成的角:規定為0.②平面的垂線與平面所成的角:規定為90.③平面的斜線與平面所成的角:平面的一條斜線和它在平面內的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個平面所成的角.求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角:“一作,二證,三計算”.(3)二面角和二面角的平面角①二面角的定義:從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做二面角的棱,這兩個半平面叫做二面角的面.②二面角的平面角:以二面角的棱上任意一點為頂點,在兩個面內..分別作垂直于...棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫二面角的平面角.③直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角.兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角,那么這兩個平面垂直;反過來,如果兩個平面垂直,那么所成的二面角為直二面角④求二面角的方法定義法:在棱上選擇有關點,過這個點分別在兩個面內作垂直于棱的射線得到二面角平面角.*垂面法:已知二面角內一點到兩個面的垂線時,過兩垂線作平面與兩個面的交線所成的角為二面角的平面角第三章直線與方程1、直線的傾斜角與斜率(1)直線的傾斜角定義:x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角.特別地,當直線與x軸平行或重合時,我們規定它的傾斜角為0度.因此,傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°(2)直線的斜率①定義:傾斜角不是90°的直線,它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率.直線的斜率常用k表示.即tankα=.斜率反映直線與軸的傾斜程度.當[)90,0∈時,0≥k;當()180,90∈α時,0<k;當90=α時,k不存在.②過兩點的直線的斜率公式:)(211212xxxxyyk≠--=③設1122(,),AxyBxy,(),則線段AB中點坐標公式為1212(,)22xxyy++βaαb2、直線的方程注意:各式的適用范圍;○2特殊的方程如:平行于x軸的直線:by=(b為常數);平行于y軸的直線:ax=(a為常數).(2)直線系方程(即具有某一共同性質的直線)①平行直線系:平行于已知直線0000=++CyBxA(00,BA是不全為0的常數)的直線系方程為:000=++CyBxA(C為參數)②垂直直線系:垂直于已知直線0000=++CyBxA(00,BA是不全為0的常數)的直線系方程為:000=+-CyAxB(C為參數)③過定點的直線系:(ⅰ)斜率為k的直線系方程為()00xxkyy-=-,直線過定點()00,yx;*(ⅱ)過兩條直線0:1111=++CyBxAl,0:2222=++CyBxAl的交點的直線系方程為()()0222111=+++++CyBxACyBxAλ(λ為參數),其中直線2l不在直線系中.3、兩直線平行與垂直已知111:bxkyl+=,222:bxkyl+=,則212121,//bbkkll≠=?;12121-=?⊥kkll注意:利用斜率判斷直線的平行與垂直時,要注意斜率的存在與否.4、兩條直線的交點0:1111=++CyBxAl,0:2222=++CyBxAl相交,交點坐標即方程組???=++=++00222111CyBxACyBxA的一組解.方程組無解21//ll?;方程組有無數解?1l與2l重合5、距離公式:(1)平面上任意兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)間的距離為|P1P2|特別地,當12,PP所在直線與x軸平行時,1212||||PPxx=-;當12,PP所在直線與y軸平行時,1212||||PPyy=-;(2)平面上任意一點P0(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0(A,B不同時為0)的距離為d=|Ax0+By0+C|\r(A2+B2).(3)兩條平行直線l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0(其中A,B不同時為0,且C1≠C2)間的距離為d=|C1-C2|\r(A2+B2).第三章圓與方程1、圓的定義:平面內到一定點的距離等于定長的點的集合叫圓,定點為圓心,定長為圓的半徑.2、圓的方程(1)標準方程()()222rbyax=-+-,圓心()ba,,