2017-2018學年遼寧省大連五校高二（上）期末數(shù)學試卷（文科）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）對于常數(shù)m、n，“mn＞0”是“方程mx2﹣ny2=1的曲線是雙曲線的”（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（5分）若a＜b＜0，則下列不等式中錯誤的是（）A． B． C．|a|＞|b| D．a(chǎn)2＞b23．（5分）下列函數(shù)中，最小值為4的是（）A．y=log3x+4logx3 B．y=ex+4e﹣xC．y=sinx+（0＜x＜π） D．y=x+4．（5分）已知實數(shù)x，y滿足，則目標函數(shù)z=x﹣2y的最小值是（）A．﹣9 B．15 C．0 D．﹣105．（5分）下列命題中，說法錯誤的是（）A．“若p，則q”的否命題是“若?p，則?q”B．“p∧q是真命題”是“p∨q是真命題”的充分不必要條件C．“?x＞2，x2﹣2x＞0”的否定是“?x≤2，x2﹣2x≤0”D．“若b=0，則f（x）=ax2+bx+c是偶函數(shù)”的逆命題是真命題6．（5分）設a＞0，b＞0，若是3a與32b的等比中項，則的最小值為（）A．5 B．6 C．7 D．87．（5分）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓+=1的左、右焦點，P是以F1F為直徑的圓與該橢圓的一個交點，且∠PF1F2=2∠PF2F1，則這個橢圓的離心率是（）A．﹣1 B．2﹣ C． D．8．（5分）設Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，a2﹣8a5=0，則=（）A． B． C．2 D．179．（5分）等差數(shù)列{an}中，Sn是其前n項和，，則S11=（）A．﹣11 B．11 C．10 D．﹣1010．（5分）設F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左右焦點，點M（a，b）．若∠MF1F2=30°，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C．2 D．11．（5分）設{an}為等差數(shù)列，若，且它的前n項和Sn有最小值，那么當Sn取得最小正值時的n值為（）A．18 B．19 C．20 D．2112．（5分）已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f'（x），當x＜0時，f（x）滿足，2f（x）+xf'（x）＜xf（x），則f（x）在R上的零點個數(shù)為（）A．5 B．3 C．1或3 D．1二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13．（5分）函數(shù)的遞增區(qū)間為．14．（5分）在數(shù)列{an}中，a2=，a3=，且數(shù)列{nan+1}是等比數(shù)列，則an=．15．（5分）已知函數(shù)，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]上是單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是．16．（5分）拋物線y2=2px（p＞0）的焦點為F，已知點A，B為拋物線上的兩個動點，且滿足∠AFB=120°．過弦AB的中點M作拋物線準線的垂線MN，垂足為N，則的最大值為．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．（10分）若數(shù)列{an}滿足．（1）求證：數(shù)列{an﹣1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設bn=log2（1﹣an），若數(shù)列的前n項和為Tn，求證：Tn＜1．18．（12分）已知函數(shù)f（x）=ax2﹣（a+1）x+1（a≠0）．（1）若f（x）≤2在R上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（2）解關于x的不等式f（x）＜0．19．（12分）已知過點A（﹣4，0）的動直線l與拋物線G：x2=2py（p＞0）相交于B、C兩點，當直線的斜率是時，．（1）求拋物線G的方程；（2）設線段BC的中垂線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍．20．（12分）已知數(shù)列{an}，{bn}，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，a2=4b1，Sn=2an﹣2，．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）證明為等差數(shù)列．（3）若數(shù)列{cn}的通項公式為，令pn=c2n﹣1+c2n．Tn為{pn}的前n項的和，求Tn．21．（12分）已知橢圓的左頂點為A，右焦點為F，過點F的直線交橢圓于B，C兩點．（Ⅰ）求該橢圓的離心率；（Ⅱ）設直線AB和AC分別與直線x=4交于點M，N，問：x軸上是否存在定點P使得MP⊥NP？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．22．（12分）已知函數(shù)f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x（a∈R）（1）若曲線f（x）與g（x）在公共點A（1，0）處有相同的切線，求實數(shù)a，b的值；（2）若a＞0，b=1，且曲線f（x）與g（x）總存在公共的切線，求正數(shù)a的最小值．參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）對于常數(shù)m、n，“mn＞0”是“方程mx2﹣ny2=1的曲線是雙曲線的”（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解答】解：若方程mx2﹣ny2=1的曲線是雙曲線，則mn＞0，即“mn＞0”是“方程mx2﹣ny2=1的曲線是雙曲線”的充要條件，故選：C2．（5分）若a＜b＜0，則下列不等式中錯誤的是（）A． B． C．|a|＞|b| D．a(chǎn)2＞b2【解答】解：∵a＜b＜0，∴＞，|a|＞|b|，a2＞ab＞b2．因此A，C，D正確．對于B：a＜b＜0時，可得＜，因此B不正確．故選：B．3．（5分）下列函數(shù)中，最小值為4的是（）A．y=log3x+4logx3 B．y=ex+4e﹣xC．y=sinx+（0＜x＜π） D．y=x+【解答】解：A.0＜x＜1時，y＜0，不正確B．∵ex＞0，∴=4，當且僅當x=ln2時取等號，正確．C．令sinx=t∈（0，1），則y=f（t）=t+，y′=1﹣＜0，因此函數(shù)f（t）在（0，1）上單調(diào)遞減，∴f（t）＞f（1）=5，不正確．D．x＜0時，y＜0，不正確．故選：B．4．（5分）已知實數(shù)x，y滿足，則目標函數(shù)z=x﹣2y的最小值是（）A．﹣9 B．15 C．0 D．﹣10【解答】解：如圖作出陰影部分即為實數(shù)x，y滿足的可行域，由z=x﹣2y，得y=x﹣z，平移直線y=x﹣z，由圖象可知當直線y=x﹣z經(jīng)過點A，直線y=x﹣z的截距最大，此時z最小，由得點A（3，6），當x=3，y=6時，z=x﹣2y取最小值為﹣9．故選：A．5．（5分）下列命題中，說法錯誤的是（）A．“若p，則q”的否命題是“若?p，則?q”B．“p∧q是真命題”是“p∨q是真命題”的充分不必要條件C．“?x＞2，x2﹣2x＞0”的否定是“?x≤2，x2﹣2x≤0”D．“若b=0，則f（x）=ax2+bx+c是偶函數(shù)”的逆命題是真命題【解答】解：對于A，“若p，則q”的否命題是“若?p，則?q”，故A正確；對于B，若p∧q是真命題，則P、q均為真命題，則p∨q是真命題；反之，p∨q是真命題，p與q不一定都是真命題，則p∧q不一定是真命題，∴“p∧q是真命題”是“p∨q是真命題”的充分不必要條件，故B正確；對于C，“?x＞2，x2﹣2x＞0”的否定是“?x＞2，x2﹣2x≤0”，故C錯誤；對于D，命題“若b=0，則f（x）=ax2+bx+c是偶函數(shù)”的否命題為：“若b≠0，則f（x）=ax2+bx+c不是偶函數(shù)”，是真命題，則“若b=0，則f（x）=ax2+bx+c是偶函數(shù)”的逆命題是真命題，故D正確．故選：C．6．（5分）設a＞0，b＞0，若是3a與32b的等比中項，則的最小值為（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：a＞0，b＞0，是3a與32b的等比中項，∴3a?32b==3．∴a+2b=1．則=（a+2b）=4++≥4+2=8，當且僅當a=2b=時取等號．故選：D．7．（5分）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓+=1的左、右焦點，P是以F1F為直徑的圓與該橢圓的一個交點，且∠PF1F2=2∠PF2F1，則這個橢圓的離心率是（）A．﹣1 B．2﹣ C． D．【解答】解：∵P是以F1F2為直徑的圓與該橢圓的一個交點，∴△PF1F2為直角三角形，且∠P=90°，∵∠PF1F2=2∠PF2F1，∴∠PF1F2=60°，F(xiàn)1F2=2c，∴PF1=c，PF2=c，由橢圓的定義知，PF1+PF2=c+c=2a，即==﹣1∴離心率為﹣1．故選：A8．（5分）設Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，a2﹣8a5=0，則=（）A． B． C．2 D．17【解答】解：根據(jù)題意，等比數(shù)列{an}中a2﹣8a5=0，即a2=8a5，則有a1q=8a1q4，即有q3=，解可得q=，則===1+q4=1+（）4=；故選：A．9．（5分）等差數(shù)列{an}中，Sn是其前n項和，，則S11=（）A．﹣11 B．11 C．10 D．﹣10【解答】解：，得，由，得，d=2，，∴S11=﹣11，故選A10．（5分）設F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左右焦點，點M（a，b）．若∠MF1F2=30°，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C．2 D．【解答】解：由題意可得F1（﹣c，0），M（a，b），直線MF1的斜率為tan30°=，即有=，即a+c=b，平方可得（a+c）2=3b2=3（c2﹣a2）=3（c+a）（c﹣a），化簡可得a+c=3（c﹣a），即為c=2a，可得e==2．故選：C．11．（5分）設{an}為等差數(shù)列，若，且它的前n項和Sn有最小值，那么當Sn取得最小正值時的n值為（）A．18 B．19 C．20 D．21【解答】解：∵Sn有最小值，∴d＞0，故可得a10＜a11，又：S20=10（a1+a20）=10（a10+a11）＞0，S19=19a10＜0∴S20為最小正值故選C12．（5分）已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f'（x），當x＜0時，f（x）滿足，2f（x）+xf'（x）＜xf（x），則f（x）在R上的零點個數(shù)為（）A．5 B．3 C．1或3 D．1【解答】解：構造函數(shù)F（x）=（x＜0），所以F′（x）==[2f（x）+xf'（x）﹣xf（x）]，因為2f（x）+xf′（x）＜xf（x），x＜0，所以F′（x）＞0，所以函數(shù)F（x）在x＜0時是增函數(shù)，又F（0）=0所以當x＜0，F(xiàn)（x）＜F（0）=0成立，因為對任意x＜0，＞0，所以f（x）＜0，由于f（x）是奇函數(shù)，所以x＞0時f（x）＞0，即f（x）=0只有一個根就是0．故選：D．二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13．（5分）函數(shù)的遞增區(qū)間為．【解答】解：函數(shù)，f′（x）=﹣2x2+3x﹣1，令f′（x）≥0，即﹣2x2+3x﹣1≥0，解得：x≤1，故函數(shù)在遞增，故答案為：．14．（5分）在數(shù)列{an}中，a2=，a3=，且數(shù)列{nan+1}是等比數(shù)列，則an=．【解答】解：∵數(shù)列{an}中，a2=，a3=，且數(shù)列{nan+1}是等比數(shù)列，2a2+1=3+1=4，3a3+1=7+1=8，∴數(shù)列{nan+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，∴，解得an=．故答案為：．15．（5分）已知函數(shù)，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]上是單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是[﹣e2，+∞）．【解答】解∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]上是單調(diào)遞增函數(shù)，∴f′（x）≥0在區(qū)間[2，4]上恒成立，即（x﹣1）ex+a≥0在區(qū)間[2，4]上恒成立，記g（x）=（x﹣1）ex+a，則g（x）min≥0，g′（x）=xex，∵x∈[2，4]，∴g′（x）＞0，故g（x）在[2，4]遞增，故g（x）min=g（2）=e2+a≥0，解得：a≥﹣e2，故實數(shù)a的范圍是：a≥﹣e2．故答案為：[﹣e2，+∞）．16．（5分）拋物線y2=2px（p＞0）的焦點為F，已知點A，B為拋物線上的兩個動點，且滿足∠AFB=120°．過弦AB的中點M作拋物線準線的垂線MN，垂足為N，則的最大值為．【解答】解：設|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF，由拋物線定義，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab，配方得，|AB|2=（a+b）2﹣ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．∴≤=，即的最大值為．故答案為：．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．（10分）若數(shù)列{an}滿足．（1）求證：數(shù)列{an﹣1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設bn=log2（1﹣an），若數(shù)列的前n項和為Tn，求證：Tn＜1．【解答】證明：（1）∵an=2an﹣1﹣1∴an﹣1=2（an﹣1﹣1），又∵a1=﹣1，∴a1﹣1=﹣2∴數(shù)列{an﹣1}是首項為﹣2，公比為2的等比數(shù)列∴，∴．（2）由（1）知：∴，∴，所以．18．（12分）已知函數(shù)f（x）=ax2﹣（a+1）x+1（a≠0）．（1）若f（x）≤2在R上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（2）解關于x的不等式f（x）＜0．【解答】解：（1）∵f（x）≤2在R上恒成立，即ax2﹣（a+1）x﹣1≤0在R上恒成立，所以；（2）f（x）＜0?ax2﹣（a+1）x+1＜0?（ax﹣1）（x﹣1）＜0（*）當0＜a＜1時，（*）式等價于；當a=1時，（*）式等價于（x﹣1）2＜0?x∈?；當a＞1時，（*）式等價于；當a＜0時，（*）式等價于或x＞1綜上，當0＜a＜1時，f（x）＜0的解集為；當a=1時，f（x）＜0的解集為?；當a＞1時，f（x）＜0的解集為；當a＜0時，f（x）＜0的解集為．19．（12分）已知過點A（﹣4，0）的動直線l與拋物線G：x2=2py（p＞0）相交于B、C兩點，當直線的斜率是時，．（1）求拋物線G的方程；（2）設線段BC的中垂線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍．【解答】解：（1）設B（x1，y1），C（x2，y2），當直線l的斜率是時，l的方程為，即x=2y﹣4，由得2y2﹣（8+p）y+8=0，∴，又∵，∴y2=4y1，由這三個表達式及p＞0得y1=1，y2=4，p=2，則拋物線的方程為x2=4y…（5分）（2）設l：y=k（x+4），BC的中點坐標為（x0，y0）由得x2﹣4kx﹣16k=0∴，線段的中垂線方程為，∴線段BC的中垂線在y軸上的截距為：b=2k2+4k+2=2（k+1）2，由△=16k2+64k＞0得k＞0或k＜﹣4，∴b∈（2，+∞）…（7分）20．（12分）已知數(shù)列{an}，{bn}，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，a2=4b1，Sn=2an﹣2，．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）證明為等差數(shù)列．（3）若數(shù)列{cn}的通項公式為，令pn=c2n﹣1+c2n．Tn為{pn}的前n項的和，求Tn．【解答】解：（1）當n＞1時，?an=2an﹣1當n=1時，S1=2a1﹣2?a1=2，綜上，{an}是公比為2，首項為2的等比數(shù)列，則：．（2）證明：∵a2=4b1，∴b1=1，∵，∴綜上，是公差為1，首項為1的等差數(shù)列．（3）由（2）知：∴pn=c2n﹣1+c2n=，∴，兩式相減得：，∴∴．21．（12分）已知橢圓的左頂點為A，右焦點為F，過點F的直線交橢圓于B，C兩點．（Ⅰ）求該橢圓的離心率；（Ⅱ）設直線AB和AC分別與直線x=4交于點M，N，問：x軸