1984年全國高中數學聯賽試題第一試1．選擇題(本題滿分40分，每小題答對得5分答錯得0分，不答得1分)⑴集合S={eq\o(\s\up6(－2),Z)|argZ=α，α為常數}在復平面上的圖形是()A．射線argZ=2αB．射線argZ=－2αC．射線argZ=αD．上述答案都不對⑵下列四個圖形的陰影部分(不包括邊界)滿足不等式logx(logxy2)>0的是()⑶對所有滿足1≤n≤m≤5的m，n，極坐標方程ρ=eq\f(1,1－C\o(\s\up5(n),\s\do3(m))cosθ)表示的不同雙曲線條數是()A．15B．10C．7D．6⑷方程sinx=lgx的實根個數是()A．1B．2C．3D．大于3⑸若a>0，a≠1，F(x)是一個奇函數，則G(x)=F(x)?(eq\f(1,ax－1)+eq\f(1,2))是A．奇函數B．偶函數C．不是奇函數也不是偶函數D．奇偶性與a的具體數值有關⑹若F(eq\f(1－x,1+x))=x，則下列等式中正確的是()A．F(－2－x)=－2－F(x)B．F(－x)=F(eq\f(1+x,1－x))C．F(x－1)=F(x)D．F(F(x))=－x⑺若動點P(x，y)以等角速度ω在單位圓上逆時針運動，則點Q(－2xy，y2－x2)的運動方式是A．以角速度ω在單位圓上順時針運動B．以角速度ω在單位圓上逆時針運動C．以角速度2ω在單位圓上順時針運動D．以角速度2ω在單位圓上逆時針運動⑻若四面體的一條棱長是x，其余棱長都是1，體積是F(x)，則函數F(x)在其定義域上A．是增函數但無最大值B．是增函數且有最大值C．不是增函數但無最大值D．不是增函數但有最大值2．填充題(本題滿分10分，每小題5分)⑴如圖，AB是單位圓的直徑，在AB上任取一點D，作DC⊥AB，交圓周于C，若點D的坐標為D(x，0)，則當x∈時，線段AD、BD、CD可以構成銳角三角形．⑵方程coseq\f(x,4)=cosx的通解是，在(0，24π)內不相同的解有個．第二試1．(本題滿分15分)下列命題是否正確？若正確，請給予證明．否則給出反例．⑴若P、Q是直線l同側的兩個不同點，則必存在兩個不同的圓，通過P、Q且與直線l相切；⑵若a>0，b>0，且a≠1，b≠1，則logab+logba≥2．⑶設A、B是坐標平面上的兩個點集，Cr={(x，y)|x2+y2≤r2}，若對任何r≥0，都有Cr∪ACr∪B，則必有AB．2．(本題滿分10分)已知兩條異面直線a、b所成的角為θ，它們的公垂線AA的長度為d，在直線a、b上分別取點E、F，設AE=m，AF=n，求EF(A在直線a上，A在直線b上)．3．(本題滿分15分)如圖，在△ABC中，P為邊BC上任意一點，PE∥BA，PF∥CA，若S△ABC=1，證明：S△BPF、S△PCE、S□PEAF中至少有一個不小于eq\f(4,9)(SXY…Z表示多邊形XY…Z的面積)．4．(本題滿分15分)設an是12+22+32+…+n2的個位數字，n=1，2，3…，試證：0.a1a2…an…是有理數．5．(本題滿分15分)設x1，x2，…，xn都是正數，求證：eq\f(x\o(\s\up5(2),\s\do3(1)),x2)+eq\f(x\o(\s\up5(2),\s\do3(2)),x3)+…+eq\f(x\o(\s\up5(2),\s\do3(n－1)),xn)+eq\f(x\o(\s\up5(2),\s\do3(n)),x1)≥x1+x2+…+xn．

1984年全國高中數學聯賽試題解答第一試1．選擇題(本題滿分40分，每小題答對得5分答錯得0分，不答得1分)⑴集合S={eq\o(\s\up6(－2),Z)|argZ=α，α為常數}在復平面上的圖形是()A．射線argZ=2αB．射線argZ=－2αC．射線argZ=αD．上述答案都不對解：由于argZ∈[0.2π)，故不存在答案B．argeq\o(\s\up5(－),Z)=2π－α，故選D．⑵下列四個圖形的陰影部分(不包括邊界)滿足不等式logx(logxy2)>0的是()解：當0<x<1時，得1>y2>x>0；當x>1時，得y2>x>1．選D．⑶對所有滿足1≤n≤m≤5的m，n，極坐標方程ρ=eq\f(1,1－C\a(n,m)cosθ)表示的不同雙曲線條數是()A．15B．10C．7D．6解：由e=Ceq\a(n,m)，若表示雙曲線，則e>1，由Ceq\a(n,m)>1，可得m、n的不同取值為Ceq\a(1,5)=5，Ceq\a(2,5)=10，Ceq\a(1,4)=4，Ceq\a(2,4)=6，Ceq\a(1,3)=3，Ceq\a(1,2)=2，共有6個不同的值，故選D．⑷方程sinx=lgx的實根個數是()A．1B．2C．3D．大于3解：作y=sinx及y=lgx的圖象，當x>10時，lgx>1．故二者只在(0，10)內可能有交點．經作圖可知，二者在(0，π)內有一交點，在(2π，3π)內有一交點．選C．⑸若a>0，a≠1，F(x)是一個奇函數，則G(x)=F(x)?(eq\f(1,ax－1)+eq\f(1,2))是A．奇函數B．偶函數C．不是奇函數也不是偶函數D．奇偶性與a的具體數值有關解：G(x)=F(x)?eq\f(ax+1,2(ax－1))，故G(－x)=G(x)，且G(x)的定義域是F(x)的定義域與{x|x≠0，x∈R}的交集，為以原點為對稱的區域，故選B．⑹若F(eq\f(1－x,1+x))=x，則下列等式中正確的是()A．F(－2－x)=－2－F(x)B．F(－x)=F(eq\f(1+x,1－x))C．F(x－1)=F(x)D．F(F(x))=－x解：令t=eq\f(1－x,1+x)，得x=eq\f(1－t,1+t)，即F(t)=eq\f(1－t,1+t)，經一一驗證，知F(－2－x)=－2－F(x)，選A．⑺若動點P(x，y)以等角速度ω在單位圓上逆時針運動，則點Q(－2xy，y2－x2)的運動方式是A．以角速度ω在單位圓上順時針運動B．以角速度ω在單位圓上逆時針運動C．以角速度2ω在單位圓上順時針運動D．以角速度2ω在單位圓上逆時針運動解：令x=cosωt，y=sinωt．則－2xy=－sin2ωt=cos(eq\f(3π,2)－2ωt)y2－x2=－cos2ωt=sin(eq\f(3π,2)－2ωt)．顯然－2ωt與ωt旋轉方向相反．故選C．⑻若四面體的一條棱長是x，其余棱長都是1，體積是F(x)，則函數F(x)在其定義域上A．是增函數但無最大值B．是增函數且有最大值C．不是增函數但無最大值D．不是增函數但有最大值解：定義域為0<x<eq\r(3)，當x=eq\f(\r(3),2)時，F(x)最大，故選D．2．填充題(本題滿分10分，每小題5分)⑴如圖，AB是單位圓的直徑，在AB上任取一點D，作DC⊥AB，交圓周于C，若點D的坐標為D(x，0)，則當x∈時，線段AD、BD、CD可以構成銳角三角形．解：由對稱性，先考慮0≤x<1的情況，設AD=a，BD=b，CD=c，則a+b=2，ab=c2，且必有a≥c≥b，于是只要考慮c2+b2>a2，即(1－x)(1+x)+(1－x)2>(1+x)2，解得0≤x<eq\r(5)－2．∴2－eq\r(5)<x<eq\r(5)－2．⑵方程coseq\f(x,4)=cosx的通解是，在(0，24π)內不相同的解有個解：eq\f(x,4)=2kπ±x，x=eq\f(8,3)kπ，與x=eq\f(8,5)mπ．當0<eq\f(8,3)k<24時，k=1，2，…，8；當0<eq\f(8,5)m<24時，m=1，2，…，14；而當k=3，m=5及k=6，m=10時，解是相同的，故共有8+14－2=20個不同的解．第二試1．(本題滿分15分)下列命題是否正確？若正確，請給予證明．否則給出反例．⑴若P、Q是直線l同側的兩個不同點，則必存在兩個不同的圓，通過P、Q且與直線l相切；⑵若a>0，b>0，且a≠1，b≠1，則logab+logba≥2．⑶設A、B是坐標平面上的兩個點集，Cr={(x，y)|x2+y2≤r2}，若對任何r≥0，都有Cr∪ACr∪B，則必有AB．解：⑴若PQ∥l，則只能作出一個圓過P、Q且與直線l相切；⑵若a>1，0<b<1，則logab+logba≤－2；⑶A={(x，y)|x2+y2≤r2}，B={(x，y)|0<x2+y2≤r2}，于是Cr∪ACr∪B恒成立，但不滿足AB．2．(本題滿分10分)已知兩條異面直線a、b所成的角為θ，它們的公垂線AA的長度為d，在直線a、b上分別取點E、F，設AE=m，AF=n，求EF(A在直線a上，A在直線b上)．解：EF=eq\r(m2+n2+d2±2mncosθ)．(證明見課本)．3．(本題滿分15分)如圖，在△ABC中，P為邊BC上任意一點，PE∥BA，PF∥CA，若S△ABC=1，證明：S△BPF、S△PCE、S□PEAF中至少有一個不小于eq\f(4,9)(SXY…Z表示多邊形XY…Z的面積)．證明：如圖，三等分BC于M、N，若點P在BM上(含點M)，則由于PE∥AB，則△CPE∽△CBA．CP∶CB≥eq\f(2,3)．于是S△PCE≥eq\f(4,9)．同理，若P在NC上(含點N)，則S△BPF≥eq\f(4,9)．若點P在線段MN上．連EF，設eq\f(BP,BC)=r(eq\f(1,3)<r<eq\f(2,3))，則eq\f(CP,BC)=1－r．S△BPF=r2，S△PCE=(1－r)2．∴S△BPF+S△PCE=r2+(1－r)2=2r2－2r+1=2(r－eq\f(1,2))2+eq\f(1,2)<2(eq\f(1,3)-eq\f(1,2))2+eq\f(1,2)=eq\f(5,9)．于是S□AEPF≥eq\f(4,9)．故命題成立．4．(本題滿分15分)設an是12+22+32+…+n2的個位數字，n=1，2，3…，試證：0.a1a2…an…是有理數．解由于12+22+…+n2的個位數字只與1到n的個位數字的平方和有關，故只要考慮這些數的個位數字的平方：但12≡1．22≡4，32≡9，42≡6，52≡5，62≡6，72≡9，82≡4，92≡1，02≡0(mod10)∴a1=1，a2=5，a3=4，a4=0，a5=5，a6=1，a7=0，a8=4，a9=5，a10=5，a11=6，a12=0，a13=9，a14=5，a15=0，a16=6，a17=5，a18=9，a19=0，a20=0．由a20=0知，a20k+r=ar(k，r∈N，0≤r≤19，并記a0=0)，即0.a1a2…an…是一個循環節為20位數的