重慶市江津中學校2024-2025學年九年級上學期12月定時作業(yè)

數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

A.打開電視機，正在播放《開學第一課》B.經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈

C.任意畫一個三角形，其內角和是180。D.買一張彩票，一定不會中獎

3.下列方程為一元二次方程的是（）

A.ax2+bx+c=0B.x2-2x—3y-0

C.2x2=0D.孫+1=0

4.已知點（1，M）、（T,%）都在函數y=f+4x+5的圖象上，則弘、%的大小關系為（）

A.必*2B.C.必<%D.無法確定

5.如圖，NB是O。的直徑，C,。在上，且在48異側,若//01)=40。，則/BCD的

C.70°D.75°

6.如圖，一塊含有30。角的直角三角板4BC,在水平桌面上繞點C按順時針方向旋轉到

試卷第1頁，共8頁

HB'C的位置，若/C=15cm,那么頂點A從開始到結束所經過的路徑長為（）

A.10%cmB.57icmC.\57icmD.20^cm

7.下列圖形都是由同樣大小的黑點按一定規(guī)律組成的，其中第①個圖形中一共有3個黑點,

第②個圖形中一共有8個黑點，第③個圖形中一共有14個黑點，……，則第⑥個圖形中黑

點的個數是（）

A.29B.38C.48D.59

8.已知拋物線了="2+6尤+。（。#0）的部分圖象如圖所示，若-3<><0,則x的取值范圍

是（）

B.-l<x<0或2<x<3

C.-l<x<3D.T<x<0或l<x<3

9.如圖，在V48c中，ZACB=90°,將V/BC繞點/順時針旋轉90。得到V4DE,NBAD

的平分線交5c的延長線于點尸，連接。尸，若ZC=3,BC=1,則。尸的長為（）

試卷第2頁，共8頁

C.y/6D.V2+I

10.已知關于x的整式M：ox"+6無3+cx?+公+e,其中0,"c,d,e為整數，且a<6<c<〃<e,

下列說法：①存在M為四次三項式；②令函數〉=ax4+6x3+cx2+dx+e,當尤=1時，函數

值為30,當x=0函數值為20,貝1Ja+6+c+d=10；③若px+q（其中p、q為整數）為整

式M的因式，則q一定整除e；④若a+6+c+d+e=15,且a,b,c,d,e均為自然數，

則滿足條件的M共有7個.其中正確的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

二、填空題

11.已知點4。,-2）與點3（-1,2）關于原點對稱，則。=.

12.一個不透明的袋子中有紅球和黑球共25個，這些球除顏色外都相同，將袋子中的球攪

拌均勻，從中隨機摸出一個球，記下它的顏色再放回袋子中，不斷重復這一過程，共摸了400

次球，發(fā)現有160次摸到黑球，由此估計袋中的黑球大約有個.

13.已知a、6是關于x的一元二次方程/+2》-7=0的兩個根，則代數式

a2+5a+3b=-

14.如圖是拋物線形拱橋，以頂點建立平面直角坐標系滿足>此時拱頂離水面2m,

若再下降1m時，水面寬度增加.

試卷第3頁，共8頁

15.如圖，邊長為右與石的兩個正方形并排放在一起，在大正方形中畫一個以它的頂點8

為圓心，邊長為半徑的圓弧NC,連接CRAF,則圓弧/C與線段CF,/尸所圍成的陰影部

分的面積是（結果保留萬）.

%+3、1

---->jc—I

16.若關于x的不等式組2_有且只有3個整數解，且關于y的一元二次方程

5x-2>m+4

（加-6）必+2了-1=0有兩個實數根，則符合條件的所有整數〃?的和為

17.如圖，是。。的直徑，點。為48下方O。上一點，點。為揚的中點，連結

7

CD,CA,AD.延長/C、DB交于點、E,若CE=5,BD=~,則。。的半徑為,

AD=.

18.材料一：對于一個三位正整數，若百位數字與個位數字之和減去十位數字的差為6,則

稱這個三位數為“中順數”，例如:237,因為2+7-3=6,所以237是“中順數”；

材料二：若/=而（1<?<9,04649,0<c<9,且a,6,c均為整數），i己尸。）=。一3。.

己知％=痂，^=麗是兩個不同的“中順數”，且尸&）+尸（幻能被13整除，貝！I

X=.滿足條件最小的才2=

三、解答題

19.解下列一元二次方程:

（1）X2-2X-2=0;

試卷第4頁，共8頁

⑵（無一2『=5（2-x）.

20.在學習圓的相關知識后，小帥同學進行了關于弦切角的相關探索（弦切角定義：頂點在

圓上，一邊與圓相交，另一邊與圓相切的角；如圖1,直線〃與O。相切于點/,即是。。

的一條弦，則/皿就是弦切角），探究弦切角的大小與它所夾弧所對的圓周角度數關系.請

根據這個思路完成以下作圖和填空.

（1）如圖2,A3是。。的直徑，C、。是圓上兩點，連接BC、CD、8。，請尺規(guī)作圖：延長48,

過點2作垂直N3,即。。的切線MN；（M在點2左側，N在點8右側.保留作圖痕

跡，不寫作法）

⑵在（1）的條件下，求證：ZDBN=ZBCD.

證明：連接4D,

：48是O。的直徑，

：.ZADB=90°；

：MN是過點8的切線，

，①，即443N=90°,

：.ZDBN+ZABD=90°,

又?.?N/+/A8Z）=90°,

②，

又,:NN和NC是弧所對的圓周角，

二③，

：.ZDBN=ZC,

由此，我們可以得到弦切角的結論：弦切角等于④.

21.為了建設書香校園，更好地滿足學生的閱讀需求，某校決定新增四類書籍（科普類、文

學類、藝術類、工具類），并計劃根據學生的需求情況進行采購.為此，學校隨機抽取了部

試卷第5頁，共8頁

分學生進行調查(每名學生必選且只選一類圖書)，并將調查結果進行統(tǒng)計分析，繪制成如

下不完整的統(tǒng)計圖.

根據以上信息，解答下列問題：

(1)選文學類圖書的學生有人，?=

(2)若該校共有學生1800人，請估計該校學生中需要工具類圖書的人數；

(3)某班計劃從報名的甲、乙、丙三名學生中隨機選擇兩名學生作為班級圖書管理員，請用

列表或畫樹狀圖的方法，求同時選中乙和丙的概率.

22.2024年“五一”假期期間，四面山景區(qū)特產店銷售某種類特產，進價50元/件，售價為

60元/件.

(1)如果特產按原價銷售每天可售出60件，經市場調查反映，特產每降價1元，每天可多售

出10件，若特產供貨充足，商家想要薄利多銷，且每天獲利630元，應降價多少元？

(2)在(1)的條件下，每天的總利潤為沙，試求出特產降價多少元時，總利潤少最大，最

大利潤是多少元？

23.如圖，N3是。。的直徑，點C為。。上一點，連接3C,點。在以的延長線上，點￡

在上，過點￡作。0的垂線分別交。C的延長線于點尸，交BC于點G,且"=2/8.

⑵若/3=22.5。且08=2,EF=4,求EG的長度.

試卷第6頁，共8頁

24.如圖1,在V48c中，ZABC=90°,AB=4cm,3C=3cm.點尸從點N出發(fā)，以2cm/s

的速度沿折線Nf5-C運動，同時點。從點3出發(fā)，以1cm/s的速度沿線段2C運動，

當點。到達點C時，P。停止運動.設點尸運動的時間為x(s),AAPQ的面積為弘(cm).

6---r--T--]---;

5

4

圖1圖2

⑴請直接寫出必與x的函數關系式，并注明自變量x的取值范圍(面積必不取0)；

(2)在圖2平面直角坐標系中，畫出M的函數圖象，并寫出這個函數的一條性質：；

(3)若必與x的函數圖象與直線%=-x+〃有一個交點，則n的取值范圍是.

25.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于/(-1,0),5(3,0)

(1)求拋物線的解析式.

(2)設點尸是直線/C上方拋物線上的一動點，過點P作尸N平行x軸，交拋物線于點N,PM

垂直NC于點當尸在對稱軸左方時，求尸N+血尸M的最大值，并求出此時點尸的坐標.

⑶拋物線上是否存在一點。，使=45。，若存在，請求出點0的坐標；若不能，請說

明理由.

26.如圖所示，VN8C為等腰三角形，A8=ZC,點。是線段3c上一點，連接4D.

試卷第7頁，共8頁

⑴如圖1,若/2/C=90。，把40繞/順時針旋轉90。到/E,連接8￡、ED,滿足B￡=l,

AE=5求8c的長；

(2)如圖2,若ABAC=120。，把4D繞/順時針旋轉60°到AP,連接BP、PD,求證：BP=。尸；

⑶在(2)的條件下，點若G為平面內一點，若N/GC=90。，當尸G取最小值時，請直接寫

出空的值.

試卷第8頁，共8頁

參考答案:

題號12345678910

答案ACCACABBAD

1.A

【分析】本題考查軸對稱及中心對稱的識別，掌握中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，要注

意：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對

稱中心,旋轉180度后與原圖重合.根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念逐選項判斷即可.

【詳解】解：A、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，此選項符合題意；

B、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，此選項不合題意；

C、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，此選項不合題意；

D、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，此選項不合題意，

故選：A.

2.C

【分析】本題考查事件的分類，根據必然事件是一定條件，一定會發(fā)生的事件，進行判斷即

可.

【詳解】解：A、打開電視機，正在播放《開學第一課》，是隨機事件，不符合題意；

B、經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈，是隨機事件，不符合題意；

C、任意畫一個三角形，其內角和是180。，是必然事件，符合題意；

D、買一張彩票，一定不會中獎，是隨機事件，不符合題意；

故選C.

3.C

【分析】本題主要考查一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關鍵.根

據一元二次方程的定義即可得到答案.

【詳解】解：含有一個未知數，且未知數的次數是2的等式是一元二次方程，

故辦2+云+0=0,其中（0片0）,原式不是一元二次方程，選項A不符合題意；

X?-2工-3了=0含有兩個未知數，不是一元二次方程，選項B不符合題意；

2/=0是一元二次方程，選項C符合題意；

個+1=0含有兩個未知數，不是一元二次方程，選項D不符合題意；

故選C.

答案第1頁，共25頁

4.A

【分析】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，以及二次函數的性質，分別代入x=l和

x=T可得%，%的大小關系.

【詳解】解：???二次函數＞=￥+4工+5,

???當x=l時，y[=1+4+5=10,

當％=-1時，%=1-4+5=2,

故選：A.

5.C

【分析】本題考查圓周角定理，先根據鄰補角求出/5。。=140。，然后利用圓周角定理解題

即可.

【詳解】解：?：ZAOD=40°,

：.ZBOD=1SO°-ZAOD=180°-40°=140°,

/BCD=-/BOD=-xl40°=70°,

22

故選：C.

6.A

【分析】根據題意求出NAC",然后利用弧長公式即可求出結論.

【詳解】解：由題意可知：ZA=30°,ZABC=90°

???NACB=900—NA=60。

/.ZACAr=180°-ZACB=120°

工頂點A從開始到結束所經過的路徑為以C為圓心，AC為半徑的弧上

頂點A從開始到結束所經過的路徑長為"黑15=10乃c機

故選A.

【點睛】此題考查的是求點的運動路徑長，掌握弧長公式是解決此題的關鍵.

7.B

【分析】本題主要考查了圖形變化規(guī)律問題，根據各圖中點的變化特點得出規(guī)律，進而得出

答案.

答案第2頁，共25頁

【詳解】第①個圖中黑點的個數是3；

第②個圖中黑點的個數是3+5=8；

第③個圖中黑點的個數是8+6=14；

第④個圖中黑點的個數是14+7=21；

第⑤個圖中黑點的個數是21+8=29；

所以第⑥個圖中黑點的個數是29+9=38.

故選：B.

8.B

【分析】本題主要考查了拋物線與x軸的交點問題；求-3<y<0時，x的取值范圍，就是

二次函數的圖象在x軸下方且在直線>=-3的上方時對應的x的范圍.

【詳解】解：由圖象可得，拋物線的對稱軸為直線x=l,經過點(-1,0)和(0,-3),

根據拋物線的對稱性，也經過點(3,0)和(2,-3),

若一3<y<0,貝Ijx的取值范圍是一l<x<0或2Vx<3,

故選：B.

9.A

【分析】延長CR口>交于點G,由旋轉性質和角平分線的定義證明A/8尸絲A/。尸(SAS),

得到BF=DF,設BF=DF=x,證明四邊形AEGC是正方形，得到NG=90°,CG=EG=3,

得到。G=2,BG=4,得到FG=4-尤，DG2+FG2DF2,得到4。+(8-x)2=—,即

得求解.

【詳解】解：延長CF,ED交于點、G,

由旋轉知，AB=AD,

,/AF平分NBAD,

二ZBAF=ZDAF=-ABAD,

2

答案第3頁，共25頁

AF=AF,

：.A^F^A^F(SAS),

BF=DF,

設BF=DF=x,

???ZACB=90°f

???ZACG=180°-ZACB=90°,

?:/E=/ACB=9U,ZCAE=9QP,

???ZACG=ZCAE=ZE=90°,

???AC=AE,

???四邊形4￡GC是正方形，

/.ZG=90°,CG=EG=AC=3,

BC=ED=T,

：.DG=EG-ED=2,BG=CD+BC=4,

：.FG=BG-BF=4-x,

DG2+FG2=DF2,

：.22+(4-X)2=X2,

解得x=N

2

：.DF=~,

2

故選：A.

【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，正方形的判定

和性質，正確引出輔助線解決問題是解題的關鍵.

10.D

【分析】本題考查了多項式的概念，多項式乘以多項式，求函數值等知識，難度較大，熟練

掌握知識點是解題的關鍵.

①根據a<b<c<d<e,且。，b,c,d,e為整數，可得當°為0,則M的項數至少是4

項；②尤=1,x=0分別代入求解判斷；③設

M=ax4+bx3+ex2+dx+e=(^px+q)^mx3+nx2+fa+(其中私"J,g均為整數)，則常數

項e=gg,即可判斷；④當q=0時，b=l,c=2,d=?>,e=9■b=l,c=2,d=4,e=8；

答案第4頁，共25頁

b=1,c=2,d=5,e=7；b=l,c=3,d=4,e=7；6=l,c=3,d=5,e=6；b=2,c=3,d==6；

當a=l時，b=2,c=3,d=4,e=5,故共有7種情況.

【詳解】解：①根據a<6<c<d<e,且。，b,c,d,e為整數，可得當。為0,則M的

項數至少是4項，故不可能為四次三項式，故①錯誤；

②當x=l時，y=a+b+c+d+e=3Q,當x=0,y=e=20,則。+6+c+d=30-20=10,

故②正確；

③由題意得，=ax4+bx3+ex2+dx+e=(^px+q)^mx3+nx1+fa+(其中加,“J,g均為

整數)，

則常數項e=qg,

，二=8為整數，

q

..??一定整除e,故③正確；

a+b+c+d+e=15,a<b<c<d<e,且a,b,c,d,e均為自然數，

當a=0時，b=l,c=2,d=3,e=9；

b=l,c=2,d=4,e=8；

b=l,c=2,d=5,e=7；

b=l,c=3,d=4,e=7；

6=l,c=3,d=5,e=6；

b=2,c=3,d=4,e=6；

當a=l時，6=2,c=3,d=4,e=5

故④正確，

???正確的有三個，

故選：D.

11.1

【分析】本題考查了關于原點對稱的點坐標的特征.熟練掌握關于原點對稱的點坐標的橫縱

坐標均互為相反數是解題的關鍵.

由點/(°,-2)與點5(-1,2)關于原點對稱，可得。+(-1)=0,計算求解即可.

【詳解】解：:?點4“，-2)與點3(-1,2)關于原點對稱，

a+(-1)=0,

答案第5頁，共25頁

解得，a=1>

故答案為：1.

12.10

【分析】本題考查了利用頻率估計概率，根據概率公式先求出摸到黑球的概率，再乘以總球

的個數即可得出答案，解題的關鍵是理解大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置

左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來

估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率.用頻率估計概率得到的是近似值，隨實

驗次數的增多，值越來越精確.

【詳解】解：：共摸了400次球，有160次摸到黑球，

，摸到黑球的概率為瞿=0.4,

400

，袋中的黑球大約有25x0.4=10(個)，

故答案為：10.

13.1

【分析】本題考查了一元二次方程的解、一元二次方程根與系數的關系、求代數式的值，由

題意可得“+2a-7=0,a+b^-2,再將式子變形為1+2a+3(“+6),整體代入計算即可

得解.

【詳解】解：??%、6是關于x的一元二次方程/+2x-7=0的兩個根，

??a2+2a—7=0,a+b=-2,

??a2+2。=7,

a?+5a+3b=Q?+2a+3a+3b=〃？+2a+3+b)=7+3x(-2)=1,

故答案為：1.

14.(2&一4)機/(-4+2指)機

【分析】本題考查了實際問題與二次函數.根據二次函數的圖象分別求得當了=-2或y=-3

時，x的值，進而可求解.

【詳解】解：依題意得：

當y=_；x?=_2時，x=±2,

此時水面寬度為2-(-2)=4m,

答案第6頁，共25頁

再下降1m,即當"-京2=-3時，X=±V6,

此時水面寬度為卜卡）=2\/&n,

,水面寬度增加：（276-4）m,

故答案為：（276-4）m.

“5〃

15.—

4

【分析】本題考查扇形面積的計算，掌握扇形面積、正方形以及平行線的性質是解決問題的

關鍵.根據正方形的性質，平行線的性質得出口?“=S.c，于是將S陰影部分轉化為S扇形助c，

再根據扇形面積的計算方法進行計算即可.

【詳解】解：如圖，連接8尸，AC,

四邊形/BCD是正方形,

NFBE=45。=4C3,

BF//AC,

SaFAC=S,四c（同底等高）,

,?S陰影=S扇形切c

一360

_57r

=,

4

故答案為：一577.

4

16.20

【分析】此題考查了解一元一次不等式組以及一元二次方程的根的情況，解題的關鍵是熟練

掌握各自運算方法.

表示出不等式組的解集，由不等式有且只有3個整數解確定出〃?的取值，再由關于y的一元

答案第7頁，共25頁

二次方程（加-6）/+2了-1=0有兩個實數根，求出滿足題意整數加的值，進而求出和.

1一①

【詳解】解：

5x-2>加+4②

由①得x45,

口m+6

由②得x>三一

...原不等式組的解集為亨<XV5

???方程組有且只有3個整數解,

x可取5、4、3.

-m+6-

:.2<----<3,

5

/.4<m<9.

???關于y的一元二次方程（切-6）/+2了-1=0有兩個實數根,

A=22-4（/n-6）x（-lj>0J=Lm-6^0,

解得m>5S.m^=6,

5<m<9J=Lm*6,

.?.整數%的取值為5,7,8

所有整數〃7的和為7+5+8=12+8=20.

故答案為：20.

25

17.——6

8

【分析】延長CO交。。于R根據直徑所對的圓周角為直角得再根據垂徑定理

得CFLAD,設OO的半徑為R,則/8=2R,OC=R,證明VZOCsVNBE,得到

7

AC=CE=5,BE=2OC=2R,進而得NE=10,?！?3D+8E=2R+-,在和

4

RtZUEZ）中利用勾股定理構造方程/長一瓦爐=/爐_。￡2由此解出R即可，再由

AD2=AB2-BD2求解AD.

【詳解】解：延長CO交。。于尸，

如圖所示

答案第8頁，共25頁

E

一

是。。的直徑,

:.ZADB=90。,即成；。，

丁點C為癡的中點，

根據垂徑定理得CF1AD,

OC//BE,

設。。的半徑為R則45=2&OC=R

?：OA=OB,OC//BE

：.NACO=ZE,

而/ao=/￡/B,

.7AOC/ABE,

.ACOCAO

??瓦—BE—AB，

AB=2AO

：.AC=CE=-AE=5,BE=2OC=2R,

2

7

AE=TO,DE=BD+BE=2R+—,

4

在中，由勾股定理得2。2=282_m2

在RtZ\4ED中，由勾股定理得=/月2—。石2,

AB2-BD2=AE2-DE2

,?.（2汽）2-1]=1°2-（2尺+：,

整理得8R2+7RT00=0,

解得與=2胃5，&=-4（不合題意，舍去）,

O

25

...。。的半徑為

O

答案第9頁，共25頁

2

257:36,

AD1=AB2-BD2=

???AD=6,

25

故答案為：—-；6.

o

【點睛】此題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質，理

解圓周角定理，熟練掌握垂徑定理，靈活運用勾股定理構造方程是解決問題的關鍵.

18.2138

【分析】本題考查了新定義，解一元一次方程，不等式的性質，數的整除等知識點，正確理

解題意是解題的關鍵.

f2+6—x-6_/、/、

由新定義得到<，則x=2,可求尸⑷+尸幻=〃-3〃-16,要使得最小，那

[m+n-y=6

么相應該最小，而1（沈（9,則加=1,那么加一3〃-16=-3〃-15,貝！]一3〃-15=-26或

—3〃—15=—39,解方程即可.

【詳解】解：:“旃，/2=而是兩個不同的“中順數”，

J2+6-x=6

\m-\-n-y=6

x=2,

：/=痂（l<a<9,0<&<9,0<c<9,且a,b,c均為整數），i己/。）=。一3。，

.,.尸（%）+尸?2）=2-3X6+〃Z-3〃=機一3〃一16,

要使得最小，那么加應該最小，而7V9,

m=1

m-3n—16=—3n-15,

:尸&）+尸色）能被13整除，0V"V9

/.-42<-3n-15<-15,

A-3H-15=-26,

解得：〃=g（舍），

或-3〃-15=-39,

答案第10頁，共25頁

解得：〃=8,

m+n—y=6,

y=3,

:?q=138,

故答案為：2；138.

19.(1).=1+A/3,x2=1—A/3

(2)再=2,X2=-3

【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握直接開平方法，因式分解法，配方法和公式

法是解題的關鍵.

(1)利用配方法求解；

(2)利用因式分解法求解.

【詳解】(1)解：x2-2x—2=0

x2-2x=2

-2x+1—3

(1)2=3

尤-1=y/3X-1=-A/S,

解得：X[=1+-x/3,x2=1-V3；

(2)解：(x-2)2=5(2-x)

(X-2)2+5(X-2)=0

(x-2)(x-2+5)=0

x-2=0或x+3=0

解得：%=2,%2=-3.

20.⑴見解析

Q'ABLMN,NDBN=NA,ZA=NC,它所夾的弧所對的圓周角

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖一作垂線，圓周角定理，切線的性質，熟練掌握知識點的應

用是解題的關鍵.

答案第11頁，共25頁

(1)以8為圓心，任意長度為半徑畫弧，交4B于點G、H,以G、〃為圓心，大于長

度為半徑畫弧，兩弧交于點M、N,連接即可；

(2)連接40,由48是。。的直徑，得ZAD3=90。；又是過點B的切線，則

即443N=90。，故有ND3N=N/,又ZA=NC,則/D8N=NC,從而得出結論；

【詳解】(1)如圖，①以3為圓心，任意長度為半徑畫弧，交4B于點G、H；

②以G、H為圓心，大于1G〃長度為半徑畫弧，兩弧交于點M、N；

③連接跖V；

即為所求；

NADB=90°；

是過點B的切線，

:.ABLMN,即ZABN=90°,

：.ZDBN+AABD=90°,

答案第12頁，共25頁

???ZA+ZABD=90°，

：.ZDBN=ZA,

又???//和/C是弧AD所對的圓周角，

???ZA=ZC,

：./DBN=/C,

由此，我們可以得到弦切角的結論：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角.

故答案為：ABLMN,NDBN=NA,N4=NC,它所夾的弧所對的圓周角.

21.（1）70,108

⑵估計該校學生中需要工具類圖書的人數約180人

（3）1

【分析】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，列表法與樹狀圖法，讀懂統(tǒng)計

圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵.

（1）用科普類的人數除以對應百分比可得總人數,再求出選文學類圖書的人數,用360乘“藝

術類”所占百分比可得對應的圓心角度數；

（2）用該校共有學生人數1800乘以工具類圖書所占百分比即可；

（3）根據題意，可以畫出相應的樹狀圖，從而可以求得相應的概率.

【詳解】（1）調查的學生總人數為50+25%=200（人），

...選文學類圖書的學生有200-（50+60+20）=70（人）.

a=360°x—=108°.

200

故答案為：70,108；

20

（2）解：1800x——=180（人），

200

估計該校學生中需要工具類圖書的人數約180人.

（3）解：列表如下:

甲乙丙T

甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）

乙（乙，甲）（乙，丙）（乙，?。?/p>

丙（丙，甲）（丙，乙）（丙，?。?/p>

答案第13頁，共25頁

T（T,甲）（T,乙）（丁，丙）

共有12種等可能的結果，其中同時選中乙和丙的結果有：（乙，丙），（丙，乙），共2種，

..21

.?.同時選中乙和丙的概率為P=—=--.

126

22.（1）3元

（2）降價2元時，總利潤W最大，最大利潤是640元

【分析】本題考查了一元二次方程的應用，二次函數的實際應用，正確理解題意是解題的關

鍵.

（1）根據利潤=單個利潤x數量列方程計算出x的值即可；

（2）根據利潤=單個利潤x數量得到用關于x的函數解析式，再配方求最值.

【詳解】（1）解：設降價x元，

則由題意得：（60-x-50）（60+10x）=630,

整理得：x2-4x+3=Q>

解得:再=1,%=3,

..?商家想要薄利多銷，

應降價3元；

（2）解：FT=（60-X-50）（60+10X）=-10X2+40X+600=-10（X-2）2+640,

V-10<0,

x=2時，總利潤少最大，最大值為640元，

.?.特產降價2元時，總利潤少最大，最大利潤是640元.

23.（1）證明見解析；

（2）￡G=6-472.

【分析】（1）連接OC,由成，8D,則可得出40+/尸=90。，再根據三角形的外角性質

可得NCOD=2乙8,從而有/。。。=/尸=2/8,故有ZD+NCOZ）=90。，所以可證

OC1DF,從而求證；

（2）由（1）得：ZCOD=ZF=2ZB,ZDCO=90°,則可得/。。。=/尸=/。=45°,

OC=CD=OB=2,通過勾股定理求出。尸=4力，由角度和差，三角形的外角性質可以得到

NFGC=NEGB,則尸C=FG,最后由線段和差即可求解；

本題考查了切線的判定及性質，勾股定理，等腰三角形的判定，三角形的外角性質，熟練掌

答案第14頁，共25頁

握知識點的應用是解題的關鍵.

【詳解】(1)證明：如圖，連接。C,

EFLBD,

:?/DEF=90。,

：.ZD+ZF=90°,

???0C=OB,

：./B=/OCB,

?.?ZCOD=ZB+ZOCB,

：./COD=2/B,

VZF=2ZB,

???NCOD=/F=2/B,

：.AD+/COD=90°,

AZOCO=90°,即OC_L。尸，

??,oc是oo的半徑，

工。尸是。O的切線；

(2)解：如上圖，由(1)得：/COD=/F=2/B,ZDCO=90°,

：.ZCOD=ZF=45°,ZOCF=90°,

???ZCOD=ZF=ZD=45°,

：.OC=CD=OB=2,

???由勾股定理得：DF=yjEF2+DE2=V42+42=4收，

OC=OB,

：./B=ZOCB,

???ZOCB+ZFCG=ZB+NEGB=90°,

答案第15頁，共25頁

???ZFCG=ZEGB,

ZFGC=ZEGB,

：.FC=FG,

*：FC=DF-CD,

:?FC=FG=A4i—2,

?,.EG=EF—FG=4-（472-2）=6-4x/2.

X2（0<x<2）

24.（1）71=

8-2無（2<尤43）

⑵作圖見解析，性質：當x=2時，△，尸。的面積最大，且為4（答案不唯一）

⑶0<〃<5或〃=6

【分析】本題考查了動點問題的函數圖象，一次函數與二次函數綜合.

（1）分兩種情況分別計算即可;

（2）畫出函數圖象后分析函數圖象即可得到性質;

（3）平移％=「+",找到與必的函數圖象有兩個交點的范圍即可.

【詳解】（1）解：當點P在線段上時，0<xW2,

止匕時/尸=2x,BQ=x,

11,

J71=S.APQ=^AP-BQ=2X-X=X；

當點P在線段3c上時，2<x43,

止匕時BP=2x-4,BQ=x,

PQ=BQ-BP=4-x,

必=g/8-P0=gx4（4-x）=8-2x；

x2（0<x<2）

綜上所述,J1-[8-2x（2<x<3）

（2）解：函數圖象如圖所示,

答案第16頁，共25頁

性質：當尤=2時，△/尸。的面積最大，且為4（答案不唯一），

故答案為：當x=2時，入4尸。的面積最大，且為4（答案不唯一）;

（3）解：平移%=-x+〃，如圖所示:

當%=-x+〃過（0,0）時，沒有交點，此時函數解析式為%=-x,"=0,

當%=-彳+〃過（3,2）時，有兩個交點，-3+〃=2,貝!]〃=5,

此時函數解析式為%=-x+5,

若必與x的函數圖象與直線為=-x+力有兩個交點，貝IJ"的取值范圍是0<"<5

當%=-工+〃過（2,4）時，有1個交點，貝i1-2+w=4,貝1]〃=6,

綜上:若必與x的函數圖象與直線為=-x+n有兩個交點，則"的取值范圍是0<〃<5或〃=6,

故答案為：0<〃<5或"=6.

25.(1)y=—廠+2x+3

⑶存在，Q

【分析】本題考查了一次函數與二次函數的綜合問題，涉及待定系數法求函數解析式，二次

函數的圖象與性質，解直角三角形等知識，難度較大，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

答案第17頁，共25頁

(1)運用待定系數法直接求解即可；

(2)過點P作尸T〃＞軸交/C于點T,4PMT為等腰直角三角形，則PT=旦一=41PM,

sinZ4

而尸N=2——=2-2r,PT=-t2+2t+3-t-l=-t2+t+2,故

PN+41PM=PN+PT=2-2t+{-t2+t+2]=-f-t+4=-^t+^+[,即可求解；

(3)連接。C,過點。作DKL/C于點K,過點。作0cx軸于點將問題化為

ZCAD=ZQAB,繼而利用等角的正切值相等，建立方程，求解即可.

【詳解】⑴解：???拋物線y=f2+6x+c與x軸交于/(TO),3(3,0)兩點，

J-l-6+c=0

[-9+36+。=。'

\b=2

解得：…

[c=3

解析式為：y=-x2+2x+3

(2)解：過點。作尸丁〃》軸交4。于點T,

》=0時，x+l=O,

解得：x――1,

AAO=OR=\,而/4。&二90。

工/1=/2=/3=45。，

而尸T〃歹軸，

??./4=/3=45。，

而PM垂直AC于點M,

答案第18頁，共25頁

/.小PMT為等腰直角三角形,

2,

:對稱軸為：直線龍=-西f=1,

設尸(I,一廠+2/+3)(—

平行x軸，

關于直線x=l對稱，

XN-2—/,

***PN=2—t—t=2—2t,

而力=1+1,

??PT———+2/+3—，一1二—+，+2,

PN+42PM=PN+PT=2-2t+(^-t2+t+2^=-t2一/+4=—[+3]+[,

V-1<;<1,且-l<0,

117

，當仁-金時，取得最大值為U,

-1

(3)解：存在，理由如下：

連接。C,過點。作DKL/C于點K,過點。作軸于點心

由上知ZCAB=45°,

/.ZCAB=ZDAQ=45°,

ZCAD=ZQAB,

答案第19頁，共25頁

y——%2+2x+3

聯立

y=x+l

x=-l、x=2

解得:y=0或

y=3

.-.C（2,3）,

而對于拋物線歹=--+2_?+3,當尤=0,y=3,

。（0,3）,

Z）C〃x軸，DC=2

：.ZDCK=ZCAB=45°,

同上可得：DK=CK=—DC=y[l,

2

而/C=J（2+l）?+32=3叵，

AK=AC-CK=26，

DK]

二.tanZ_CA,D------——,

AK2

tanZ.QAB=~,

設2+2〃+3）,

.一+2n+31

??---------------——，

n+\2

解得：”=!■或〃=-i（舍）

26.（1）V5+1

（2）見解析

⑶行

【分析】（1）過點￡作ET_L48于點7，先證明"EB烏AADC（SAS）,貝ljN2=NC=45。,

則8T=￡T=走，在中，由勾股定理得/7=巫，則=/T+2T=布+后,

222

在RtZ\48C中，由8。=收/8即可求解；

（2）以為邊，在A8上方作等邊連接PR,

答案第20頁，共25頁

AR=BR=AB,NARB=ZABR=ZBAR=60°,可證明^RAP^BAD（SAS）,貝！]

ZARP=ZABC=30°,繼而=則夫尸=RP,證明尸四ARS尸（SAS）,貝I]

BP=AP,即可求證BP=D?；

（3）解：以NC為邊,向下作等邊A/SC,連接PS,取NC中點H,連接

AG,GC,PG,CG,PH,GH,BP,記NS交2C于點/,同理可證明A4PS也A40c（SAS）,可得

點P軌跡為射線S尸，點G在以〃為圓心，H4為半徑的圓上運動，顯然點/也在上