借長(zhǎng)中線精講練

1.任何時(shí)候，都需牢記:做題只是提高成績(jī)的一個(gè)手段,而不是目的.

2.倍長(zhǎng)中線，只是輔助線的一種方法，是指題目條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線

構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中。

3.倍長(zhǎng)中線，提供的是一種解題思路，而不能死記硬背。

4.倍長(zhǎng)中線還可以理解為:中點(diǎn)+平行，中心對(duì)稱,180°旋轉(zhuǎn)……

D是BC的中點(diǎn)。

倍長(zhǎng)中線AD,可得

1.4AD04CDE

2.AB=CE

3.

4.N1=NE

5.AB//CE

6.-(AB-AC)<AD<^

(AB+AC)

倍

長(zhǎng)

平

行

中

四

邊

形

線

正

方

形

和點(diǎn)F是一正方形（矩形）ABCD邊CD的中點(diǎn),

矩且AF平分NCAF。

形I.^ADFS^GCF

2.AD=CG;

3.AF=CFf

4.N1=NG

5.N2=NG

6.AF=GC

7.EFJ.AG

8.AE=EG=AD+CF

9.BE=CE=AE

三角形

圖1-1

如圖1-1：已知AD是△回€!的中線。

求證：i(AB-AC)<AD<|(AB+AC)

法二：作CE〃AB,交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。

證明：如圖1-2

則：

法一：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E,使ZABC=Z2;Z1=ZE

又：AD是aABC的中線。

DE=AD.

又：CD=BD,N3=N4BD=CD

/.AADB=AEDC

AADBSAEDC

AB=CE;ZABC=Z2;Z1=ZAD=DE,AB=CE

在4ACE中，

E;AB〃CE

AB-AC<AE<AB+AC

在AACE中，

又：

AB-AC<AE<AB+ACAD=AE

-I1

又：AD=AEA|(AB-AC)<AD<i(AB+AC)

A1|(AB-AC)<AD<1-(AB+AC)

中心對(duì)稱圖形

如圖2-1：

已知：點(diǎn)F是口ABCD邊CD的中點(diǎn)，且AF平分NCAF。

求證：EF±AE,AE=AD+CE

證明：延長(zhǎng)AF,BC交于點(diǎn)G.

???四邊形ABCD是平行四邊形.

???AD〃BG

J41=4G,

ZADC=ZFCG

又??，CF=FD

JAADF=AGCF

???AD=CG,AF=GF

又,.,N1=N2

AZ2=ZG

???AE=CE

???EF_LAG

VEC=CE+CG

???AE=AD+CE

實(shí)戢訓(xùn)練

一、倍長(zhǎng)中線與中線取值范圍。

1.(1)如圖1,△4BC中，點(diǎn)〃是邊BC的中點(diǎn)，若48=6,AC=4,求中線4。的取值范圍.

解：..?點(diǎn)〃是邊BC的中點(diǎn)，；.BD=CD,

將^ACD繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。得到△EBD,

即得△4CD三△EBD,且4D,E三點(diǎn)共線，

在△4BE中，可得4E的取值范圍是：

6—4<4E<6+4；

的取值范圍是：

(2)如圖2,在△4BC中，LBAC=90°,點(diǎn)。是BC邊的中點(diǎn)，/.MDN=90°,乙MDN的兩邊分別交AB于點(diǎn)反

交4c于點(diǎn)凡連接EF.探究線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

2.在△ABC中，AB=4,AC=6,4。是BC邊上的中線，則4。的取值范圍是（）

A.0<AD<10B.1<AD<5C.2<AD<10D.0<AD<5

二、倍長(zhǎng)中線與三角形

3.數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題:

如圖1,在△4BC中，AB=6,AC=10,〃是BC的中點(diǎn)，求BC邊上的中線4。的取值范圍.

圖1圖2圖3

【閱讀理解】小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：

(1)如圖1,延長(zhǎng)AD,使。E=4。，連接BE.根據(jù)可以判定△AOC取，得出AC=

這樣就能把線段4B、AC.24。集中在△ABE中.利用三角形三邊的關(guān)系，即可得出中線AD的取值范圍是

【方法感悟】當(dāng)條件中出現(xiàn)“中點(diǎn)”，“中線”等條件時(shí)，可以考慮做“輔助線”一一把中線延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造全

等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中，這種作輔助線的方法稱為“中線加倍”法.

【問(wèn)題解決】(2)如圖2,在△4BC中，乙4=90。，〃是BC邊的中點(diǎn)，乙EDF=9。°,DE交AB于點(diǎn)E,DF交AC于

點(diǎn)廣，連接EF,請(qǐng)判斷BE,CF,EF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【問(wèn)題拓展】(3)如圖3,中，乙B=90°,AB=3,4。是△ABC的中線，CE1BC,CE=5,S.Z.ADE=90°,

請(qǐng)直接寫(xiě)出4E的長(zhǎng).

4.(1)方法呈現(xiàn)：如圖①：在△4BC中，若43=6,4C=4,點(diǎn)。為BC邊的中點(diǎn)，求BC邊上的中線4。的取值

范圍.

解決此問(wèn)題可以用如下方法：

延長(zhǎng)4。到點(diǎn)E,使。E=4。，再連接BE,可證△4C。三△EBD,從而把AB、AC,24。集中在△4BE中，利用三

角形三邊的關(guān)系即可判斷中線4。的取值范圍是—(直接寫(xiě)出范圍即可).這種解決問(wèn)題的方法我們稱為“倍長(zhǎng)

中線法”；

(2)探究應(yīng)用：

如圖②，在△ABC中，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，。￡11。尸于點(diǎn)。，DE交4B于點(diǎn)E,DF交4C于點(diǎn)F,連接EF,判斷BE+CF

與EF的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)問(wèn)題拓展：

如圖③，在四邊形4BCD中，AB||CD,4尸與。C的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若4E是NB4F的角平分線，

試探究線段4B、AF,CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

AA

B\~^CD心.

F

E圖①圖②圖③

5.如圖，4。為△4BC的中線，?在4c上，BF交4。于E,且BE=/[C.求證：AF=EF.

A

BDC

6.【問(wèn)題情境】

課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題:

A

AA

圖①圖②圖③

如圖①，△4BC中，若4B=8,AC=6,求BC邊上的中線40的取值范圍.

小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)4。至點(diǎn)E,使。E=4￡>,連接BE.

請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：

(1)由已知和作圖能得到△4DC三△ED5,依據(jù)是____.

A.SAS；B.SSS；C.AAS；D.HL

由“三角形的三邊關(guān)系”可求得2。的取值范圍是—.

【初步運(yùn)用】

(2)如圖②，4。是△ABC的中線，BE交4C于E,交4。于F,B.AE=EF.若EF=4,EC=3,求線段BF的長(zhǎng).

【靈活運(yùn)用】

(3)如圖③，在△ABC中，N4=90。，。為BC中點(diǎn)，DE工DF,OE交AB于點(diǎn)E,。尸交AC于點(diǎn)F,連接EF.試

猜想線段BE,CF,EF三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

7.已知)=/反ZBDA=ZBAD,//是的中線，求證：ZC=ZBAE

三、四邊形與倍長(zhǎng)中線的融合。

8.如圖，梯形4?由中，AD〃BC,點(diǎn)E在.BC上,/后龐'，點(diǎn)尸是"的中點(diǎn)，且/凡L/氏若49=2.7,4&4,AB=6,

則廢的長(zhǎng)為()

C.2.5D.2.3

9.如圖，在勿B(yǎng)C。中，AD=2AB,F是4。的中點(diǎn)，E是4B上一點(diǎn)，連接CE,CF,EF,且CF=EF.給出下列

結(jié)論：①CF平分NBCD；②NEFC=2MFD；③aCDF為等邊三角形；@CE1AB.其中正確的結(jié)論為.(填

序號(hào)).

￡是以＞邊的中點(diǎn)，AEn^DAM.

圖2

(1)如圖1,寫(xiě)出線段4。和MC之間的數(shù)量關(guān)系

(2)若四邊形ABCD是長(zhǎng)與寬不相等的矩形，其他條件不變，如圖2,試判斷(1)中的關(guān)系式是否成立.若成立,

請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

11.如圖，平行四邊形4BC0,點(diǎn)尸是BC上的一點(diǎn)，連接4F,Z.FAD=60°,4E平分NF4。，交CD于點(diǎn)區(qū)且點(diǎn)

￡是。。的中點(diǎn)，連接EF,已知4。=5,CF=3,則EF=

AD

12.如圖，正方形4BCD和正方形CGEF的邊長(zhǎng)分別是4和6,且點(diǎn)B,C,G在同一直線上，M是線段4E的中點(diǎn),

連接MF,則MF的長(zhǎng)為.

13.如圖，在矩形4BC。中，點(diǎn)E是4B的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC上的一點(diǎn)，AB=6,Z.DEF=45°,tanzEDF=則BC的

4

長(zhǎng)度為.

四、綜合提升

14.【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第69頁(yè)的部分內(nèi)容：

如圖，在△ABC中，。是邊回的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C畫(huà)直線幽使CE〃4B,交4?的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡,求證：AD=ED

證明（已知）

:.乙ABD=LECD,/.BAD=Z.CED（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

在△4BD與△ECD中，

,/^ABD=乙ECD,ABAD=/.CED（已證），

BD=CD（已知），

/.AABD三△ECD(A.A.S),

.-.AD=ED(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等).

(1)【方法應(yīng)用】如圖①，在△4BC中，AB=6,AC=4,則寬邊上的中線4?長(zhǎng)度的取值范圍是.

(2)【猜想證明】如圖②，在四邊形力及力中，AB//CD,點(diǎn)￡是寬的中點(diǎn)，若是NB4D的平分線，試猜想線

段4反AD、%之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

(3)【拓展延伸】如圖③，已知4B〃CF,點(diǎn)8是比'的中點(diǎn)，點(diǎn)。在線段AEh^EDF=乙BAE,若AB=5,CF=2,

求出線段加的長(zhǎng).

15.(1)如圖1,若aaBC是直角三角形，^BAC=90°,點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)4。到點(diǎn)E,使DE=4D,連接CE,

可以得到△4BD取AECD,求證：是直角三角形；

(2)如圖2,△ABC是直角三角形，ABAC=90°,。是斜邊BC的中點(diǎn)，E、尸分別是4B、4C邊上的點(diǎn)，且DE1DF.試

說(shuō)明BE?+。尸2=EF2.

(3)如圖3,在正方形4BCD中，E為AB邊的中點(diǎn)，G、P分別為4。，BC邊上的點(diǎn)，若4G=3,BF=4,4GEF=90°,

求GF的長(zhǎng).

+4c

E80c

圖1圖2圖3

16.問(wèn)題提出

(1)如圖，AD是△ABC的中線，則4B+4C_________2AD；(填“>”或“=")

/

問(wèn)題探究

(2)如圖，在矩形4BCD中，CD=3,BC=4,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)F為CD上任意一點(diǎn)，當(dāng)△AEF的周長(zhǎng)最小時(shí),

求CF的長(zhǎng);

問(wèn)題解決

(3)如圖，在矩形4BCD中，4c=4,BC=2,點(diǎn)。為對(duì)角線4C的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AB上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q為4C上任意

一點(diǎn)，連接P。、PQ、BQ,是否存在這樣的點(diǎn)Q,使折線OPQB的長(zhǎng)度最小？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)Q的位置，并求出

折線OPQB的最小長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

C

APB

售長(zhǎng)中線精講練

1.任何時(shí)候，都需牢記:做題只是提高成績(jī)的一個(gè)手段,而不是目的.

2.倍長(zhǎng)中線，只是輔助線的一種方法，是指題目條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線

構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中。

3.倍長(zhǎng)中線，提供的是一種解題思路，而不能死記硬背。

4.倍長(zhǎng)中線還可以理解為:中點(diǎn)+平行，中心對(duì)稱,180°旋轉(zhuǎn)……

信

長(zhǎng)

平

點(diǎn)是一邊的中點(diǎn)，目平分。

行F=ABCDCDAFNCAF

中

四

IQADFMAGCF

邊2.AD=CG;

形

線3.AF=CF,

4.N1=NG

5.N2=NG

6.AF=GC

7.EFJ-AG

8.AE=EG=AD+CF

正

方

形

和

矩

形

7.EF_LAG

8.AE=EG=AD+CF

9.BE=CE=AE

三角形

圖1-1

如圖1-1：已知AD是的中線。

-11

求證：|(AB-AC)<AD<i(AB+AC)

法二：作CE〃AB,交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。

證明：如圖1-2

則：ZABC=Z2;Z1=ZE

法一：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E,使

又A是△AC的中線。

DE=AD.DB

又；CD=BD,N3=N4BD=CD

AADB=AEDCAADB=AEDC

AB=CE;ZABC=Z2;Z1=ZAD=DE,AB=CE

在AACE中，

E;AB〃CE

在AACE中，AB-AC<AE<AB+AC

又,.?AD=AE

AB-AC<AE<AB+AC

又：AD=AEAj(AB-AC)<AD<i(AB+AC)

."J(AB-AC)<AD<|(AB+AC)

中心對(duì)稱圖形

G

圖2-1

如圖2-1：

已知：點(diǎn)F是口ABCD邊CD的中點(diǎn)，且AF平分/CAF。

求證：EF±AE,AE=AD+CE

證明：延長(zhǎng)AF,BC交于點(diǎn)G.

四邊形ABCD是平行四邊形.

???AD〃BG

???A1=ZG,

ZADC=ZFCG

又,.,CF=FD

???AADF=AGCF

???AD=CG,AF=GF

XVZ1=Z2

AZ2=ZG

???AE=CE

AEF±AG

VEC=CE+CG

???AE=AD+CE

實(shí)戢訓(xùn)練

一、倍長(zhǎng)中線與中線取值范圍。

1.(1)如圖1,△ABC中，點(diǎn)〃是邊BC的中點(diǎn)，若48=6,AC=4,求中線4。的取值范圍.

解：：點(diǎn)〃是邊BC的中點(diǎn)，；.BD=CD,

將△AC。繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。得到△EBD,

即得△ACO三△EB。，且4D,￡三點(diǎn)共線,

在aaBE中，可得4E的取值范圍是：

6—4<AE<6+4：

.?.4。的取值范圍是：.

(2)如圖2,在△4BC中，/.BAC=90°,點(diǎn)〃是BC邊的中點(diǎn)，乙MDN=9Q。,4MDN的兩邊分別交AB于點(diǎn)色

交4C于點(diǎn)色連接EF.探究線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

I)

圖2

【答案】(1)1</!￡><5；(2)見(jiàn)解析

【詳解】解：(1)"AACD=AEBD,

：.AD=DE

：.AE=2AD,

又；6-4<AE<6+4；

：.2<2AD<10,即1<40<5,

故答案為：1<力。<5；

⑵..?點(diǎn)。是邊BC的中點(diǎn)，

：.BD=CD,

將△BDE繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。得到△CDG,連接FG,即得△BQE三△CDG,

：.BE=CG,乙B=乙DCG,ED=DG,且E、D、G三點(diǎn)共線,

?.?在△4BC中，/.BAC=90°,

."B+NACB=90°,

?.^DCG+2LACB=90°,HPZFCG=90°,

"ED=DG,且EO1DF,

OF垂直平分EG,

：.EF=GF

;在Rt2\CGF中，Z.FCG=90°,

：.CF2+CG2=GF2,

：.CF2+BE2=EF2.

2.在△ABC中，AB=4,AC=6,4D是BC邊上的中線，貝的取值范圍是()

A.0<AD<10B.1<AD<5C.2<AD<10D.0<AD<5

【答案】B

【詳解】解：延長(zhǎng)2D至點(diǎn)E,使得DE=AD,

?.?在和△(?￡)￡■中，

(AD=DE

\z-ADB=Z.CDE,

(BD=CD

???AABD三△EC。(SAS),

???AB=CE,AD=DE

???△ACE中，AC-CE<AE<AC+CE,

2<AE<10,

1<AD<5.

故選：B.

二、倍長(zhǎng)中線與三角形

3.數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題:

如圖1,在△4BC中，AB=6,AC=10,〃是BC的中點(diǎn)，求BC邊上的中線4。的取值范圍.

A

AE

【閱讀理解】小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法:

（1）如圖1,延長(zhǎng)4D,使。E=4D,連接BE.根據(jù)可以判定△4DC2，得出4c=

這樣就能把線段43、4C、24。集中在△ABE中.利用三角形三邊的關(guān)系，即可得出中線4。的取值范圍是

【方法感悟】當(dāng)條件中出現(xiàn)“中點(diǎn)”，“中線”等條件時(shí)，可以考慮做“輔助線”一一把中線延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造全

等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中，這種作輔助線的方法稱為“中線加倍”法.

【問(wèn)題解決】（2）如圖2,在△4BC中，乙4=90。，〃是BC邊的中點(diǎn)，乙EDF=90°,DE交AB于點(diǎn)E,DF交AC于

點(diǎn)尸，連接EF,請(qǐng)判斷BE,CF,EF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【問(wèn)題拓展】（3）如圖3,△4BC中，乙B=90°,AB=3,4。是△ABC的中線，CE1BC,CE=5,S./.ADE=90°,

請(qǐng)直接寫(xiě)出4E的長(zhǎng).

【答案】（1）SAS,AEDB,BE,2<AD<8；（2）BE2+CF2=EF2,理由見(jiàn)解析；（3）4E=8.

【詳解】解：（1）延長(zhǎng)40,使0E=40,連接BE,

?.?。是BC的中點(diǎn)，

CD=BD,

■AD=ED

在△力OC和aEOB中，zADC=Z.EDB,

、CD=BD

：.△ADC=△FOB（SAS）,

：.AC=BE=10.

'：AB=6,

：.BE-AB<AE<BE+AB,即10-6<4E<10+6,

：.4<AE<16,

：.4<2AD<16,

：.2<AD<8；

故答案為：SAS；△EDB；BE；2<AD<8；

(2)BE2+CF2=EF2,

證明：如圖所示，延長(zhǎng)ED到G,使DG=ED,連接FG,GC,

：.FD是線段EG的垂直平分線，

：.EF=GF,

?.?。是BC的中點(diǎn)，

:.CD=BD,

(BD=CD

在△BDE和△COG中，\/_BDE=Z.CDG

(DE=DG

：.ABDE三△CDG(SAS),

：.BE=CG,/.B=ADCG,

：.AB||CG,

：.^ACG=180°-ZA=90°,

...在RtZiFGC中，由勾股定理得CG2+FC?=尸。2,

：.BE2+CF2=EF2-,

(3)解：如圖所示，延長(zhǎng)4D交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸,

E

,:4B=90°,EF±BC,

：.^ABD=4FCD=90°,

:力。是中線，

：.BD=CD,

(/.ABD=乙FCD

在△4BD和△尸CD中，［BD=CD，

V^ADB=乙FDC

AABD=AFCZ?(ASA),

Z.CF=AB=3,AD=DF,

'."/LADE=90°,

.??。石是人尸的垂直平分線，

：.AE=EF,

'：EF=CE+CF=5+3=8,

：.AE=EF=8.

4.(1)方法呈現(xiàn)：如圖①：在△ABC中，若48=6,AC=4,點(diǎn)。為BC邊的中點(diǎn)，求BC邊上的中線4。的取值

范圍.

解決此問(wèn)題可以用如下方法：

延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E,使DE=A。，再連接BE,可證△AC。三△EBD,從而把AB、AC,2AD集中在△ABE中，利用三

角形三邊的關(guān)系即可判斷中線4。的取值范圍是(直接寫(xiě)出范圍即可).這種解決問(wèn)題的方法我們稱為

“倍長(zhǎng)中線法”；

(2)探究應(yīng)用：

如圖②，在△4BC中，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，DE_LDF于點(diǎn)。，DE交AB于點(diǎn)E,。尸交AC于點(diǎn)F,連接EF,判斷BE+CF

與EF的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)問(wèn)題拓展：

如圖③，在四邊形4BCD中，AB||CD,4尸與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若4E是NB4F的角平分線，

試探究線段48、AF.CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

AA

小，

D

VDCF

E圖①圖②圖③

【答案】(1)1<4D<5；(2)BE+CF>EF,理由見(jiàn)詳解；(3)AF+CF=AB,理由見(jiàn)詳解

【詳解】解：(1)如圖①，延長(zhǎng)4。到點(diǎn)E,使。E=40,連接BE,

???。是BC的中點(diǎn),

BD=CD,

(CD=BD

在△4CD和△EBD中，\^CDA=A.BDE,

(AD=ED

??.△ZCD三△EBD(SAS),

BE=AC=4,

在△/BE中，AB-BE<AE<AB+BE,

???6—4<AE<6+4,

???2<AE<10,且4E=2AD,

???1<AD<5f

故答案為：1<AD<5；

(2)BE^-CF>EF,理由如下：

如圖②，延長(zhǎng)至點(diǎn)M,使DM=D產(chǎn)，連接BM、EM,

M圖②

同(1)得：△BMO皂△CTO(SAS),

??.BM=CF,

???DE1DF,DM=DF,

EM=EF,

在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得：BE+BM>EM,

BE+CF>EF；

(3)AF+CF=AB,理由如下:

如圖③，延長(zhǎng)AE,DF交于點(diǎn)G,

A

VAB||CD,

???Z.BAG=2G,

(Z.BAE=Z.G

在△48￡和4GCE中，\z.AEB=乙GEC,

(BE=CE

AABE必GEC(AAS),

CG—AB,

???4E是NB4F的平分線，

???Z-BAG=Z-GAF,

???乙凡4G=乙G,即44FG是等腰三角形，

AF=GF,

???FG-^-CF=CG,

???AF+CF=AB.

5.如圖，4。為△ABC的中線，F(xiàn)在AC上，BF交4。于E,S.BE=AC.求證：AF=EF.

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】證明：延長(zhǎng)4。至一，使DP=40,連接BP,

A

P

(BD=DC

在APOB與△4QC中，\^BDP=Z.CDA,

(DP=AD

:,XPDB三△4DC(SAS),

：.BP=AC,ZP=ZD71C,

9

\BE=ACf

：.BE=BP,

：./LP=乙BEP,

：.Z.AEF=^EAFf

：.AF=EF.

6.【問(wèn)題情境】

課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題:

圖①圖②圖③

如圖①，△4BC中，若4B=8,AC=6,求BC邊上的中線4。的取值范圍.

小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)4。至點(diǎn)E,使。E=AD,連接BE.

請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：

(1)由已知和作圖能得到△AOC三△EOB,依據(jù)是

A.SAS；B.SSS；C.AAS；D.HL

由“三角形的三邊關(guān)系”可求得2。的取值范圍是

【初步運(yùn)用】

(2)如圖②，4。是△4BC的中線，BE交4c于E,交4。于F,S.AE=EF.若EF=4,EC=3,求線段BF的長(zhǎng).

【靈活運(yùn)用】

(3)如圖③，在△4BC中，乙4=90。，。為BC中點(diǎn)，DE1DF,DE交AB于點(diǎn)E,。尸交4c于點(diǎn)尸，連接EF.試

猜想線段BE,CF,EF三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【答案】(1)A；1<AD<7；(2)線段BF的長(zhǎng)是7；(3)BE2+CF2=EF2,證明見(jiàn)解析

(CD=BD

【詳解】解：(1)在△40C和△EOB中，\^CDA=^,BDE,

(AD=DE

：.AADC三△EOB(SAS),

：.AC=BE=6,

在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE,

即8—6<240<8+6,

故答案為：A；1<AD<7；

(2)如圖②，延長(zhǎng)4。至M,使。M=4。，連接BM,

40是△4BC的中線，

：.BD=CD,

又..ZDC=Z.BDM,

：.AADC=AMDB(SAS),

：.BM=AC,Z.CAD=ZM,

"AE=EF,

：.^CAD=^AFE,

；KBFD=/,AFE,

:.乙BFD=^CAD=乙M,

VEF=4,EC=3,

：.BF=BM=AC=4+3=7；

222

(3)線段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系為：BE+CF=EFf理由如下:

延長(zhǎng)ED到點(diǎn)G,使DG=E。，連接GF,GC,如圖③所示：

■:ED1DF,DG=ED,

：.EF=GF,

???。是BC的中點(diǎn)，

：.BD=CD,

(ED=GD

在△BDE和△CDG中，\z.BDE=(CDG,

(BD=CD

：.ADBE三△DCG(SAS),

:?BE=CG,乙B=LGCD,

??Z=90°,

：.^B+/,ACB=90°,

：.Z.GCD+^LACB=90°,

即/GCF=90°,

在RtZkCFG中，由勾股定理得：CF2+GC2=GF2,

：.BE2^-CF2=EF2.

7.已知切=Z8,ZBDA=ZBAD,力月是△/M的中線，求證：ZC=ZBAE

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】證明：如圖，取4c的中點(diǎn)E連接DF,

A

BEDC

*：^BDA=4BAD

：.BA=BD

???CD=AB,

：.BD=DC

DF//AB,DF=-AB

2f

???(B=Z-FDC

???/￡是△/初的中線，

：.BE=-BD=-AB

22

DF=BE

(AB=CD

CO尸中，=Z.FDC

(BE=DF

???AABE三ACDF

:?/C=/BAE

三、四邊形與倍長(zhǎng)中線的融合。

8.如圖，梯形/a7?中，AD〃BC,點(diǎn)E在BC上,/后龐，點(diǎn)分是切的中點(diǎn)，且/足U8,若49=2.7,A片6,

A.2aB.2^-1C.2.5D.2.3

【答案】D

【詳解】延長(zhǎng)"；BC交于點(diǎn)、G.

*：AD//BC

J/2/FC6,/DAQ/G.

又DgCF,

：./\AFD^/\GFC

：.AG=2AF=8,CG=AD=2.7.

*：AF.LAB,/廬6,

???吩10.

：.BOBG,97.3.

,:A打BE,

：./BA&/B.

:./EAR/AGE.

:?A?GE.

???的二除5.

2

CE^BC,小2.3.

故選：D.

9.如圖，在勿B(yǎng)C。中，AD=2AB,F是4。的中點(diǎn)，E是4B上一點(diǎn)，連接CE,CF,EF,且CF=EF.給出下列

結(jié)論：①CF平分NBCO；②乙EFC=2KCFD；③△（?￡?「為等邊三角形；@CE1AB.其中正確的結(jié)論為.（填

序號(hào)）.

【答案】①②④

【詳解】解：???四邊形4BCD是平行四邊形,

：.AB=CD,AD//BC,

9：AF=DF,AD=2AB,

：.DF=DC,

：.Z.DCF=乙DFC=乙FCB,

?"F平分匕BCD,故①正確，

延長(zhǎng)EF和CD交于M,

,/四邊形4BCD是平行四邊形，

J.AB//CD,

：.^A=乙FDM,

：.AEAF三△MDF(ASA),

：.EF=MF,

9：EF=CF,

：.CF=MF,

?"FCD=Z.M,

???由(1)知：乙DFC=乙FCD,

：.Z.M=乙FCD=乙CFD,

???△EFC=+乙FCD=2/.CFD；故②正確，

9：EF=FM=CF,

C.Z-ECM=90°,

,JABZ/CD,

:?乙BEC=乙ECM=90°,

：.CELABf故④正確，

*：EF=FM=CFCD,

???△CDF不是等邊三角形，故③錯(cuò)誤,

???正確的結(jié)論為①②④，

故答案為：①②④.

10.如圖，〃是正方形的邊BC上一點(diǎn)，￡是。。邊的中點(diǎn)，/E平分乙CMM.

圖1圖2

(1)如圖1,寫(xiě)出線段AM,4。和MC之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)若四邊形2BCD是長(zhǎng)與寬不相等的矩形，其他條件不變，如圖2,試判斷(1)中的關(guān)系式是否成立.若成立,

請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)4M=AD+MC

(2)結(jié)論4M=AD+MC仍然成立，證明見(jiàn)解析

【詳解】(1)解：延長(zhǎng)4E、BC交于點(diǎn)N,如圖，

.四邊形4BCD是正方形,

：.AD//BC.

：.^DAE=Z-ENC.

?.FE平分

/.Z.DAE=Z.MAE.

:.乙ENC=/.MAE.

：.MA=MN.

是CD的中點(diǎn)，

：.DE=CE,

(/.DAE=UNE

在△40E和中，\/LAED=乙NEC

(DE=CE

???△/DE三△NCE(AAS).

AD=NC.

.?.MA=MN=NC+MC=AD+MC.

故4M=AD-{-MC；

(2)結(jié)論4M=40+MC仍然成立.

證明：延長(zhǎng)ZE、BC交于點(diǎn)P,如圖

???四邊形/BCD是矩形,

??.AD//BC.

???Z.DAE=Z.EPC.

??.4E平分4/X4M,

?..Z.DAE=Z.MAE.

???乙EPC=2LMAE.

??.MA=MP.

(Z.DAE=Z.CPE

在△/￡)￡?和△PCE中，\z.AED=Z.PEC

(DE=CE

ADE三△PCE(AAS).

AD=PC.

MA=MP=PC+MC=2。+MC.

11.如圖，平行四邊形ZBCD,點(diǎn)尸是3c上的一點(diǎn)，連接ZF,^FAD=60°,ZE平分乙F4D,交CD于點(diǎn)區(qū)且點(diǎn)

￡是。0的中點(diǎn)，連接EF,已知4。=5,CF=3,貝

AD

BFC

【答案】4

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)4E,BC交于點(diǎn)G,

AD

:點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，

：.DE=CE,

?.?平行四邊形ABC。中，AD//BC,

Z.D=Z.ECG,

"/.AED=乙GEC,

：.AADE三△GCE(ASA),

：.CG=AD=5,AE=GE,

,.FE平分"40,AD//BC,

：.^FAE=乙DAE=ZG=-^DAF=30°,

2

,?AF=GF=3+5=8,

???￡*是4G的中點(diǎn)，

：.FE1AG,

.?.RM4EF中，EF=^AF=4,

故答案為：4.

12.如圖，正方形4BC。和正方形CGEF的邊長(zhǎng)分別是4和6,且點(diǎn)B,C,G在同一直線上，M是線段AE的中點(diǎn),

連接MF,則MF的長(zhǎng)為

E

【答案】V2

【詳解】解：延長(zhǎng)朋至〃，延長(zhǎng)9與/〃交于〃點(diǎn),

由題意可得49〃跖，

：.^MAH=Z.FEM,Z.AHM=Z.EFM,

是線段AE的中點(diǎn)，

：.EM=AM,

(^MAH=Z.FEM

.?.在△岫/和△￡＜彼中，EM=AM

{^AHM=4EFM

:.△AMH^AEMF,

即F后MH,A住EF,

：.Df^AH-AD=EF^AD=1,

'：DF=CF^CD=&-^=2,

在直角△力汨中，力為斜邊，

：.FH=yj22+22=2VL

"：FM=MH,

故答案為：V2.

13.如圖，在矩形ABC。中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是BC上的一點(diǎn)，AB=6,Z.DEF=45°,tanZEDF=則BC的

4

長(zhǎng)度為

【答案】10

???/.DEF=45°,

.?.△NFE為等腰直角三角形，EN=FN,

由題意得：AB=CD=6,LA=^ABC=Z.ABM=乙FNM=90°,=AD,

設(shè)NF=3x,貝l]EN=3x,

VtanzEDF=-,

4

：.DN=4%,

DE—7x,

9：AB=6,E為48中點(diǎn)，

AE=BE=3,

又???^AED=乙BEM,乙Z=乙ABM,

AAEDABEM(ASA),

AD=BM,ME=DE=7x,

???MN=10%,

又???ZM=ZM,4ABM=乙FNM=90°,

MBE?△MNF,

BM鬻，即黑小，解得：—I。,

MN

BC=AD=BM=10,

故答案為：10.

四、綜合提升

14.【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第69頁(yè)的部分內(nèi)容：

如圖，在△ABC中，4是邊比'的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，畫(huà)直線幽使CE〃4B,交49的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡,求證：AD=ED

證明(已知)

:.乙ABD=LECD,/.BAD=Z.CED(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等).

在△4BD與△ECD中，

,/^ABD=乙ECD,ABAD=/.CED(已證)，

BD=CD(已知)，

Z.AABD=AECD(A.A.S),

：.AD=ED(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等).

A

E

(1)【方法應(yīng)用】如圖①，在△ABC中，AB=6,AC=4,則宛邊上的中線4?長(zhǎng)度的取值范圍是.

(2)【猜想證明】如圖②，在四邊形/及蘇中，4B〃C￡>,點(diǎn)￡是比'的中點(diǎn)，若//是NB4D的平分線，試猜想線

段/以49、〃，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

(3)【拓展延伸】如圖③，已知AB〃CF,點(diǎn)E是%的中點(diǎn)，點(diǎn)2在線段AE±.,^EDF=NB4E,若48=5,CF=2,

求出線段加的長(zhǎng).

A

CA

A2s

BC\7EB

c

圖①圖②F圖③

【答案】⑴1<AD<5；(2)AD=AB+DC.理由見(jiàn)解析；(3)DF^i.

【詳解】解：(1)延長(zhǎng)/。到反使4慶班；連接應(yīng)，

圖①

?.?3是用邊上的中線，

C.BD^CD,

'AD=DE

在和△核中，Z.ADC=Z.EDB,

.DC=DB

:.△ADC^AEDB{SAS),

：.AC=BE=^,

在△/跳'中，AB-BE<AE<AB^BE,

...6-4<24Z<6+4,

：A<AD<5,

故答案為：1<4Y5；

(2)結(jié)論：AD=AB+DC.

理由：如圖②中，延長(zhǎng)2c交于點(diǎn)尸,

9：AB//CD,

:./BA4/F,

[2AEB=Z.FEC

在△/龐和△刀龍中，A.BAE=Z.F

、BE=CE

:.MAB恒XFCE(A4S),

JC片AB,

???4月是/力〃的平分線，

???/BA2/FAD,

：.ZFAD=ZE

：.AD=DFf

■:DC+CQDF,

:?DC"氏AD；

(3)如圖③，延長(zhǎng)/￡交〃的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

???CE=BEf

?：AB//CFf

：./BAE^/G,

(Z.BAE=Z-G

在△力旗和△皈中，\^AEB=乙GEC，

(BE=CE

：./\AEB^/\GEC(A4S),

：.AB=GQ

9：/ED六/BAE,

C.ZFDG^AG,

C.FD-FG,

:?AB=DRCF,

9：AB=5,層2,

:?D2AB-C我3.

15.(1)如圖1,若△4BC是直角三角形，Z_B4C=90。，點(diǎn)。是3c的中點(diǎn)，延長(zhǎng)/。到點(diǎn)E,使。E=4D,連接CE,

可以得到△48。04ECD,求證：△ZCE是直角三角形；

(2)如圖2,△ZBC是直角三角形，4區(qū)4c=90。，。是斜邊3C的中點(diǎn)，E、F分別是AB、ZC邊上的點(diǎn)，且OE1DF.試

說(shuō)明BE?+。92=EF2,

（3）如圖3,在正方形4BCD中，E為4B邊的中點(diǎn)，G、P分別為4D,BC邊上的點(diǎn)，若4G=3,BF=4,nGE尸=90°,

求GF的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）7

【詳解】（1）證明：'.'AABD/△ECD,

Z.ECD=