矩形的判定與性質重難點題型專訓

（13大題型+15道拓展培優）

旨【題型目錄】

題型一矩形的性質理解

題型二利用矩形的性質求角度

題型三根據矩形的性質求線段長

題型四根據矩形的性質求面積

題型五利用矩形的性質證明

題型六求矩形在坐標系中的坐標

題型七矩形與折疊問題

題型八矩形的判定定理理解

題型九添一個條件使四邊形是矩形

題型十證明四邊形是矩形

題型十一根據矩形的性質與判定求角度

題型十二根據矩形的性質與判定求線段長

題型十三根據矩形的性質與判定求面積

【知識梳理】

知識點1：矩形的概念與性質

1.概念：有一個角是直角的平行四邊形是矩形。

2.性質：（1）矩形的對邊平行且相等；

（2）矩形的四個角都是直角；

（3）矩形的對角線相等。

知識點2：直角三角形斜邊上的中線

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

知識點3：矩形的判定

（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形；

（2）對角線相等的平行四邊形是矩形；

（3）有三各直角的四邊形是矩形。

41經典例題一矩形的性質理解】

[例1]（2023下?江蘇鹽城?八年級校聯考階段練習）矩形的一個內角平分線把矩形一條邊分成3cm和5cm

兩部分，則矩形的周長為（）

A.22cm和26cmB.22cm和24cmC.26cmD.22cm

產【變式訓練】

1.（2023下?江蘇?八年級專題練習）如圖，在矩形A5CD中，兩條對角線相交于點O,ZAOD=120°,AB=2,

矩形的面積是（）

A.2A/3B.473C.8D.12

2.（2023下?江蘇南京?八年級南京市第二十九中學校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，矩形Q4BC

的點A和點C分別落在x軸和V軸上，AO=4,CO=2,直線y=x+l以每秒1個單位長度向下移動，經過

秒該直線可將矩形OABC的面積平分.

3.（2023下?江蘇常州?八年級校考期中）如圖，已知矩形ABC。，AC是對角線.

⑴將ABC沿AC翻折得到AE與。交于點尸.用直尺和圓規在圖中作出（保留作圖痕跡,

不要求寫作法）

(2)①求證：ADAF/AECF；

②若NEW=40。，求NG"的度數.

41經典例題二利用矩形的性質求角度】

【例2】（2022下?江蘇無錫?八年級統考期中）如圖，延長矩形/BCD的邊至點￡,使CE=BD,連接

AE,如果乙＜08=30。，貝吐￡的度數是（）

—【變式訓練】

I.（2023上?四川成都?九年級統考期末）如圖，將含有30。的直角三角尺C鉆（ZC=60°）直角頂點/放

到矩形。或汨的邊。石上，若/E4B=15。，則NF2G的度數是（）

2.（2023上?四川成都?九年級成都外國語學校校考階段練習）如圖，矩形ABCD的對角線AC與8。相交于

點O,過點。作OEL8。，交CD于點E,連接8E.若NCO￡=20。，貝=—度.

3.（2023下?江西宜春?八年級統考期中）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC和2。相交于。點，AE平分

NBAO交8c于點￡,且NCAE=15。.

AD

（1）求證：AC?為等邊三角形;

（2）求/COE的度數.

j【經典例題三根據矩形的性質求線段長】

【例3】（2023下?江蘇無錫?八年級統考期末）如圖，在矩形ABCD中，。是的中點，E為AD邊上一點、,

且有AE=O3=4.連接OE,若ZAEO=75。,則OE的長為（）

3

C.—V6—V2D.2乖）—2A/2

?【變式訓練】

I.（2024上?陜西漢中?九年級統考期末）如圖，矩形ABCD的對角線交于點O,AB=4,AD=2,YADE為

等邊三角形，點尸是直線EO上一點，連接。尸，則線段。尸的最小值為（）

D.

2

2.（2021下?北京豐臺?八年級北京市第十二中學校考期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,對角線AC、

8。相交于點O,AE垂直平分3。于點E,則AD的長為.

AD

3.（2023上?廣東茂名?九年級校考階段練習）在YABCD中，過點。作DE248于點E,點尸在CD上,

AE=CF,連接8尸、AF.

（1）求證：四邊形是矩形;

（2）若若AF平分AE=3,DE=4.則AF長為多少？.

j【經典例題四根據矩形的性質求面積】

【例4】（2020?江蘇?九年級專題練習）如圖，點P是矩形ABCD的對角線AC上一點，過點P作EF〃BC,

分別交AB,CD于E,F,連接P8,PD,若AE=3,PF=9,則圖中陰影部分的面積為（）

A.12B.24C.27D.54

[W【變式訓練】

1.（2023上?山東?九年級專題練習）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,E為AB的中點，點尸，G

分別在C￡）,AD1.,EFG為等腰直角三角形，且GE=GR,則四邊形BCFE的面積為（）

A.18B.14C.16D.12

2.（2023?江蘇常州?校考一模）如圖，現將四根木條釘成的矩形框ABCD變形為平行四邊形木框A"C'￡>',

且4。與8相交于。邊的中點￡,若AB=4,BC=5,則原矩形ABCD和平行四邊形A?C'￡>'重疊部分

的面積是

3.（2023上?山東棗莊?九年級校考階段練習）如圖，在矩形ABCD中，AB=2,AD=4,點P在AD邊上,

是不與4過點尸分別做AC和8。的垂線，垂足分別為E,尸求尸E+尸產的值

,41經典例題五利用矩形的性質證明】

【例5】（2023下?江蘇鹽城?八年級校聯考階段練習）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4,P是對角線8。

上一點，PE〃CD于點E,年'〃3C于點歹，連接AP,EF.給出下列結論：①PD=0EC;②四邊形尸成才

的周長為8；③一定是等腰三角形；@AP=EF,其中正確結論的序號為（）

A.①②④B.①③④C.②④D.②③

【變式訓練】

1.（2023下?浙江臺州?八年級統考期末）如圖，點尸是矩形ABCD的對角線上一動點，過點P作AC的垂線,

分別交邊4）,BC于點、E,F,連接CE,AF.則下列結論不成立的是（）

D

A.四邊形ARSE的面積是定值B.AE+CR的值不變

C.CE+AF的值不變D.AE2+CF2AF2+CE2

2.（2023上?山東青島?九年級統考階段練習）如圖，在矩形A8CD中，AD=42AB,N8AD的平分線交8c

于點E,DHLAE于點H,連接28并延長交C。于點尸，連接DE交3產于點O,下列結論：

①AO=AE；

②ZAED=ZCED；

@OE=OD-

@BH=HF.

其中正確的有.（填序號）

3.（2024上?山東威海?七年級統考期末）如圖，在長方形ABCD中，NA=ND=NBCD=90。,AB^CD,

A￡）=BC,點E是邊AD上一點，將.ABE沿BE折疊，點A的對應點尸剛好落在CE上，若AB=4,BC=5.

（1）判斷與△CEO是否全等，并說明理由;

（2）求AE的長度.

,41經典例題六求矩形在坐標系中的坐標】

【例6】（2023下?江蘇?八年級專題練習）在平面直角坐標系中，長方形ABC。如圖所示,

A(-6,2),8(2,2),C(2,-3),則點。的坐標為()

A.(-6,3)B.(3,-6)C.(一6,-3)D.(-3,-6)

產【變式訓練】

1.（2022?云南紅河?統考二模）如圖，在平面直角坐標系中，矩形/3。（？的頂點/的坐標為（-2,4）,D是

的中點，E是OC上的一點，當VADE的周長最小時，點￡的坐標是（）

C.(0,2)D.釁

2.（2023下?安徽黃山?八年級統考期末）如圖，四邊形ABCO是矩形，其中點A和點C分別在無軸和》軸上,

連接AC,點B的坐標為（12,5）,/C4O的平分線與y軸相交于點O,則。點的坐標為

3.（2021下?福建福州?七年級統考期中）如圖,長方形OA3C中，。為平而直角坐標系的原點，A（3,0）,C（0,2）,

點8在第一象限，。是長方形邊上的一個動點，設￡?（〃，,"），且相＞0,連接CD.

C-----------------18

~OAx

⑴長方形OABC的周長為.

⑵若點。在長方形的邊AB上，且線段CO把長方形OABC的周長分成2:3兩部分，求點。坐標；

⑶若點。在長方形的邊。4上,將線段CD向下平移3個單位長度,得到對應線段EF（尸為點D的對應點）,

連接求三角形AE尸的面積（可用含力的式子表示）.

41經典例題七矩形與折疊問題】

【例7】（2023上?江西上饒?七年級統考期末）如圖，把一長方形紙片48co的一角沿/E折疊，點。的對

應點小落在/朋C內部.若=且/CW=20。，則NDAE的度數為（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

■【變式訓練】

1.（2024上?遼寧丹東?九年級統考期末）如圖，現有一張矩形紙片ABCD,其中AB=4cm,BC=6cm,點E

是的中點.將紙片沿直線AE折疊，使點8落在點B',則夕，C兩點之間的距離是（）

19

C.——cmD.4cm

5

2.（2023?山東泰安?統考一模）如圖，矩形紙片ABCD中，AB=6,BC=10,點E、G分別在5C、上,

將△￡＞（7￡、BEG分別沿DE、EG翻折，翻折后點C與點B重合，點B與點P重合?當A、P、F、E四

點在同一直線上時，線段GP長為

D

B

3.（2024上?江西南昌?八年級統考期末）已知直線1為長方形ABCD的對稱軸，AD=5,AB=8,點E為

射線。C上一個動點，把VADE沿直線AE折疊，點。的對應點D恰好落在對稱軸1上.

（1）如圖，當點￡在邊。C上時，

①填空：點D到邊的距離是；（直接寫出結果）

②求DE的長.

（2）當點￡在邊DC的延長線上時，（友情提醒：可在備用圖上畫圖分析）

①填空：點D到邊CO的距離是；（直接寫出結果）

②填空：此時DE的長為.（直接寫出結果）

41經典例題八矩形的判定定理理解】

【例8】（2023下?四川廣安?八年級校考期中）下列能夠判斷四邊形是矩形的是（）

A.兩組對角相等B.對角線互相垂直

C.對角線互相垂直且相等D.對角線互相平分且相等

—【變式訓練】

1.（2023下?浙江寧波?八年級統考期末）如圖，在YABCD中，點、E,B分別是AB,8的中點，點M,N

在對角線AC上，AM=CN,則下列說法正確的是（）

D

BC

A.若乙如￡=90。，則四邊形硒EM是矩形

B.若MN=2AM,則四邊形E7VFM是矩形

C.若MN=MF,則四邊形是矩形

D.若MN=AD,則四邊形硒對/是矩形

2.（2023下?河北廊坊?八年級統考期末）在平面直角坐標系中，已知點4（-2,-1）,點/2,3）―1^^（2,-1）,

在平面直角坐標系中找一點。，使以點AB,C,。為頂點的四邊形為矩形，則8。的長為，點。的

坐標為.

3.（2023上?安徽宿州?九年級校聯考階段練習）如圖，己知平行四邊形ABCD的對角線AC、80相交于點

O,AC=24cm,5D=12cm,兩動點E、尸同時分別以2cm/s的速度從點/、C出發在線段AC上運動，

（1）求證：當￡、/運動過程中不與點。重合，四邊形BEDF一定為平行四邊形;

（2）設￡、尸的運動時間為fs,則當t為何值時，四邊形8瓦不為矩形.

41經典例題九添一個條件使四邊形是矩形】

【例9】（2023下?河南商丘?八年級統考期末）如圖，在YABCD中，AEL3c于點￡,點歹在邊的延長

線上，則添加下列條件不能證明四邊形AEED是矩形的是（）

A.EF=ADB./AEB=/DFC

C.BE=CFD.ZDAE=ZAEF

jW【變式訓練】

1.（2023下?上海黃浦?八年級統考期末）在口ABCD中，AC與BO相交于點。，要使四邊形ABCD是矩形，

還需添加一個條件，這個條件可以是（）

A.AC1BD-,B.AOAB=AOAD-,C.3A=30；D.OB=OC.

2.（2023?山西晉城?統考一模）如圖，在YABCD中,對角線AC,BD相交于點。，點￡,尸在AC上，且AE=CF,

連接BE,ED,DF,FB.若添加一個條件使四邊形8瓦不是矩形，則該條件可以是.（填寫一個即

可）

3.（2023下?河南洛陽?八年級統考期末）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，NBCD的平分線CF交邊

A8于尸，NADC的平分線DG交邊A8于G,且。G與CP交于點￡.

（3）在平行四邊形ABCD中，添上一個什么條件，使EFG是等腰直角三角形.直接寫出這個條件

41經典例題十證明四邊形是矩形】

【例10】（2024下?全國?八年級假期作業）如圖，在YABCD中，M,N是8。上兩點，=連接AM,

MC,CN,ML后得到四邊形AMCN.下列條件中，不能使四邊形AMCN是矩形的是（）

A.OM=-ACB.AO=NOC.ZMAN=90°D.ZAMB=ZCND

2

—【變式訓練】

1.（2023上?福建寧德?九年級福鼎市第一中學校考期中）七巧板是一種古老的中國傳統智力玩具，它由七個

板塊組成，用如圖所示的七巧板拼圖，下列說法正確的是（）

A.能拼成平行四邊形，不能拼成矩形

B.不能拼成平行四邊形，能拼成矩形

C.既能拼成平行四邊形，也能拼成矩形

D.既不能拼成平行四邊形，也不能拼成矩形

2.（2023上?福建寧德?九年級統考期末）如圖，矩形ABCD中，AB=5,BC=3,將矩形ABC。繞點C順時

針旋轉得到矩形CEFG,當A8的對應邊跳'恰好經過點。時，連接3E,則8E=.

3.（2024上?全國?九年級專題練習）如圖，ABC中，點。是邊AC上一個動點，過O作直線設

交NACB的平分線于點E,交NACD的外角平分線于點尸.

A

⑴求證：OE=OF-

⑵若CE=12,CF=5,求OC的長；

（3）當點。在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由.

41經典例題十一根據矩形的性質與判定求角度】

【例11】（2023下?江蘇?八年級期末）如圖，在正方形ABCD中，CE工MN/MCE=35。,則NAW等于

（）

A.45°B.55°C.65°D.75°

—【變式訓練】

1.（2021?河北唐山?統考二模）將矩形ABCD繞點A順時針旋轉1（0。<&<360。），得到矩形AEFG.當

GC=G3時，下列針對。值的說法正確的是（）

A.60°或300°B.60°或330°C.30°D.60°

2（2023?江西?統考中考真題）如圖，在YABCD中，ZB=60°,BC=2AB,將AB繞點A逆時針旋轉角2

（0°<e<360°）得至IJAP,連接PC,PD.當；PCD為直角三角形時，旋轉角0的度數為

R

3.（2023上?陜西榆林?九年級校考階段練習）如圖，四邊形A5CD的對角線AC、相交于點O,其中

AD//BC,ABDC,AC=2OB,￡為。上一點，連接AE、OE.AE平分NBAO,且BO=2A。，求

NDOE的度數.

41經典例題十二根據矩形的性質與判定求線段長】

【例12】（2023上?內蒙古包頭?九年級校考期中）如圖，點O是菱形ABCD對角線的交點，DE//AC,

CE//BD,連接OE,設AC=4,BD=8,則OE的長為（）

產【變式訓練】

1.（2023上?河北保定?九年級保定市第十七中學校考期中）如圖，在中，ZBAC=90°,且

AB=6,AC=8,點。是斜邊2C上的一個動點,過點D分別作DM1AB于點M,￡>N1AC于點N,連接MN,

點。為MN的中點，則線段AO的最小值為（）

2.（2023上?四川成都?八年級成都市青羊實驗中學校考期中）如圖，正方形ABCD的邊長為5,E為BC上

一點，且BE：/，/為AB邊上的一個動點，連接EF,以E尸為邊向右側作等邊EFG,連接GC,則GC的

最小值為?

D

3.（2023上廣東深圳?九年級校聯考階段練習）如圖，在［ABC中，AB^AC,AD是—BAC的平分線，AN

是ABC外角/C4M的平分線，CE1AN,垂足為點E.

⑴求證：四邊形ADCE為矩形；

（2）若BD=6,DF=5,求AD的長.

5【經典例題十三根據矩形的性質與判定求面積】

【例13】（2023上?四川達州?九年級統考階段練習）如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O,CE//BD,

DE//AC,若AD=6,AB=8,則四邊形CODE的面積是（）

E

產【變式訓練】

1.（2023?浙江寧波?統考中考真題）如圖，以鈍角三角形ABC的最長邊為邊向外作矩形3CDE,連結

AE,AD,設△AED,ABE,ACD的面積分別為S.&J?,若要求出S-工-邑的值，只需知道（）

A

BC

ED

A.ABE的面積B.AC￡＞的面積C.ABC的面積D.矩形3cDE的面積

2.（2023上?四川成都?九年級四川省成都市第七中學初中學校校考期中）如圖，在矩形ABCD中，點。為

對角線BO上一點，過點。作EF〃BC交于點￡,F，作GH〃CD交AD,BC于點G,H,連接EG,

已知GD=￡B=4,則人百的面積等于.

3.（2023上?遼寧丹東?九年級統考期末）如圖，在ABC中，點。是邊的中點，過點O作直線

/ABC的平分線和外角ZABD的平分線分別交MN于點E,F.

（1）求證：四邊形尸是矩形：

⑵若NABC=60。，AB=6,求四邊形AE8尸的面積.

I雪【拓展培優】

1.（2024上?河南鄭州?八年級統考期末）如圖，四邊形O3C。是一張放在平面直角坐標系中的長方形，點。

為坐標原點，OB=6,00=10,在CD邊上取一點E,連接BE,將：BCE沿著8E所在直線翻折，使點C

落在OD邊上的點尸處，則點￡的坐標為（）

Q

c.(10,-)D.(10,4)

2.（2024上?四川宜賓?八年級統考期末）如圖，在長方形ABCD中，AB=5,AD=3,動點尸滿足

$長方形ABCD，則尸A+P8的最小值為（）

A.V41B.734C.曬D.5&

3.（2024上?寧夏銀川?九年級銀川市第三中學校考期末）如圖，在矩形紙片A8CD中，AB=6,8c=8,點

E是AB上一點，點廠是3c上一點，將矩形沿EF折疊，使點5的對應點G正好落在AD的中點處，則AE

的長為（）

4.（2023上?山西晉中?九年級統考期末）如圖，在"C中，AC=6,8c=8,54=10,尸為邊A8上一動

點，PELAC于點E,于點尸，點M為E尸中點，則尸M最小值為（）

A.2.4B.2.5C.4.8D.5

5.（2023上?福建漳州?九年級校考期中）如圖，矩形A5CD中，BCM4NBACMSO。,后點為8的中點.點P

為對角線AC上的一動點.則PD+PE的最小值等于（）

A.473C.6A/3

6.（青海省西寧市2023-2024學年八年級上學期期末數學試題）如圖，將長方形紙片ABCD沿即折疊，使

點A與點C重合，點O落在點G處，E尸為折痕，AD=4,AE=5,則（重疊部分）的面積是.

7.（2024?全國?八年級競賽）如圖，矩形EFG"的邊防=6厘米，FU=4厘米，在直角梯形ABC。中，CD=9

厘米，8c=5厘米，A￡>=4厘米，點E,F,A,B在同一直線上，且E4=5厘米，矩形從尸點開始以1厘

米/秒的速度沿直線EB向右運動，同時點M從點B出發沿3-C-D-A-3的路線，以1厘米/秒的速度運動，

到點B停止.當點M共運動秒時，點M與點E相距5厘米.

8.（2024上?江蘇鹽城?九年級統考期末）如圖，在矩形ABCD中，A8=4,A￡>=8,點￡、尸分別為A。、

8邊上的點，且EF的長為4,點G為E尸的中點，點尸為8c上一動點，則P4+PG的最小值為.

9.（2024上?山東淄博?八年級統考期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=5,AD=12,對角線AC與BD交

于點。，點E為BC邊上的一個動點，EF±AC,EGLBD,垂足分別為點尸，G,貝|EF+EG=.

10.（2023上?黑龍江哈爾濱?九年級校考階段練習）如圖，在矩形ABCD中，點E在上，連接BE、EC,

ZDEC=2ZABE,點歹在EC上，NEFB=45°,若AE=FC=1,則BF的長為

11.（2023上?河南周口?九年級校聯考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在8c的延長線上，且CE=3C,

連接AC,AE,DE,AE交CO于點O,已知N3=NAEC.

⑴求證：四邊形AGED是矩形；

（2）若/3=30。，AC=8,求對角線CO的長.

12.（2024上?山東青島?九年級統考期末）如圖，在四邊形ABCD中，兩條對角線相交于點。，BD1BC,

垂足為點2,BD1AD,垂足為點。，OB=OD,點、E,尸分別是A。，CO的中點，連接BE,BF,DE,

DF.

(1)求證：OE=OF-

（2）從下列條件中任選一個作為已知條件后，試判斷四邊形2瓦甲的形狀，并證明你的結論.

①ZAO￡）=60。，@AC=2BD.

選擇的條件：（填寫序號）.

（注：如果選擇①，②分別進行解答，按第一個解答計分）

13.（2024上?江西吉安?八年級統考期末）通過對下面數學模型的研究學習，解決下列問題：.

【模型呈現】

某興趣小組在從漢代數學家趙爽的弦圖（如圖1,由外到內含三個正方形）中提煉出兩個三角形全等模型圖

（如圖2）,即“一線三等角”模型和“K字”模型.

（1）請在上圖2中選擇其中一個模型進行證明②△<□無.

【模型應用】

(2)如圖3,正方形ABCD中，AEIDE,DE=4,求.CDE的面積.

(3)如圖4,四邊形ABCD中，AD^BC,AB1BC,AO=2,BC=3,DE1DC,DE=DC,求VADE的

面積.

D

C

圖3圖4

14.(2024上?山東濰坊?八年級統考期末)如圖1,在矩形A5CD中，點￡是邊A8上的一點，連接。E.

⑴若DE平分/ADC,點G是CO上的一點，連接EC,EG,且EC=EG.過點C作CQ■!EG于Q,CQ

延長線交ED于"，過點〃作〃P_LCO于P,如圖.

①填空：的形狀是三角形；

②求證：APHCgABEC

圖I

(2)將圖1的矩形A5co畫在紙上，若DE平分NADC,沿過點E的直線折疊，點C恰好落在A。上的點C

處，點3落在點2,處，得到折痕EF,8'C'交A8于點反，如圖.求證：MC'=ME.

(3)如圖，延長DE交CB的延長線于點K使得AB=BK,此時恰好BE=BC,連接AC交DK于點、J,連接BJ.

請證明：KJ>AJ+BJ.

15.（2023?內蒙古錫林郭勒盟?統考三模）如圖，矩形ABCD中，AB=6,4D=8,點p在邊8C上，且不與

點、B、C重合，直線A尸與。C的延長線交于點E.

圖1

（1）如圖1,當點P是BC的中點時，求證：AABP^^ECP；

⑵將乙4尸8沿戰線AP折疊得到APB一點B落在矩形ABCD的內部，延長尸2'交于點

①如圖1,證明E4=FP,并求出在（1）條件下A尸的值；

②如圖2,班'交AE于點點G是AE的中點，當NEAE=2ZAEB時，試探究AB與的數量關系,

并說明理由.

矩形的判定與性質重難點題型專訓

（13大題型+15道拓展培優）

旨【題型目錄】

題型一矩形的性質理解

題型二利用矩形的性質求角度

題型三根據矩形的性質求線段長

題型四根據矩形的性質求面積

題型五利用矩形的性質證明

題型六求矩形在坐標系中的坐標

題型七矩形與折疊問題

題型八矩形的判定定理理解

題型九添一個條件使四邊形是矩形

題型十證明四邊形是矩形

題型十一根據矩形的性質與判定求角度

題型十二根據矩形的性質與判定求線段長

題型十三根據矩形的性質與判定求面積

【知識梳理】

知識點1：矩形的概念與性質

1.概念：有一個角是直角的平行四邊形是矩形。

2.性質：（1）矩形的對邊平行且相等；

（2）矩形的四個角都是直角；

（3）矩形的對角線相等。

知識點2：直角三角形斜邊上的中線

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

知識點3：矩形的判定

（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形；

（2）對角線相等的平行四邊形是矩形；

（3）有三各直角的四邊形是矩形。

41經典例題一矩形的性質理解】

[例1]（2023下?江蘇鹽城?八年級校聯考階段練習）矩形的一個內角平分線把矩形一條邊分成3cm和5cm

兩部分，則矩形的周長為（）

A.22cm和26cmB.22cm和24cmC.26cmD.22cm

【答案】A

【分析】利用角平分線得到々AK=NDAK,矩形對邊平行得到ND4K=NBKA,進而得到NBAK=NBKA,

再得到3A=BK,那么根據BE的不同情況得到矩形的各個邊長，進而求其周長，分如圖1和圖2兩種情況

分別討論求解即可.

【詳解】解：如圖1,「AK平分/54D,

NBAK=ADAK,

...AD//BC,

...ADAK=ZBKA,

...ZBAK=ZBKA,

...BA=BK=3,

...矩形ABC。的周長=（3+5+3）x2=22cm；

如圖2,???EL平分NFE",

ZFEL=ZHEL,

：EH//FGf

ZHEL=ZFLE,

/.ZFEL=ZFLE,

:.FE=FL=5,

...矩形FEHG的周長（5+3+5）x2=26cm,

綜上所述，矩形的周長為22cm或26cm,

故選：A.

圖i圖2

【點睛】本題主要考查了矩形的性質和等腰三角形的判定，正確的進行分情況討論是解本題的關鍵.

產【變式訓練】

1.（2023下?江蘇?八年級專題練習）如圖，在矩形ABCD中，兩條對角線相交于點0,ZAOD=120°,AB=2,

矩形的面積是（）

A.273B.4出C.8D.12

【答案】B

【分析】根據直角三角形3。°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得8。=4,再根據勾股定理求出A。，最后

即可求出矩形的面積.

【詳解】解：為矩形，ZAOD=120°,

..ZOAD=ZODA=30°,

AB=2,

...BD=4,AD=>jBD2-AB2=2A/3,

二矩形的面積是A3xAO=4G,

故選：B

【點睛】本題考查了矩形的性質、直角三角形3。°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，勾股定理.此題

難度不大.

2.（2023下?江蘇南京?八年級南京市第二十九中學校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC

的點A和點C分別落在x軸和>軸上，AO=4,CO=2,直線>=x+l以每秒1個單位長度向下移動，經過

秒該直線可將矩形。鉆C的面積平分.

【答案】2

【分析】首先連接AC、BO,交于點。，當＞=x+l經過。點時，該直線可將矩形OABC的面積平分，然后

計算出過。且平行直線，=x+l的直線解析式，從而可得直線y=x+l要向下平移2個單位，進而可得答案.

【詳解】解：連接AC、BO,交于點。，

當y=x+l經過。點時，該直線可將矩形。43c的面積平分；

-AC,B0是：OABC的對角線，

:.OD=BD,

?.?A0=4,CO=2,

?.3(4,2),

???0(2,1),

根據題意設平移后直線的解析式為y=x+b,

V0(2,1)

1=2+加解得2=-1,

平移后的直線的解析式為y=、T,

直線＞=x+i要向下平移2個單位，

時間為2秒，

故答案為：2.

【點睛】此題主要考查了矩形的性質，以及一次函數圖象與幾何變換，關鍵是正確掌握經過矩形對角線交

點的直線平分矩形的面積.

3.(2023下?江蘇常州?八年級校考期中)如圖，已知矩形ABCD,AC是對角線.

(1)將ABC沿AC翻折得到△AEC,AE與。交于點尸.用直尺和圓規在圖中作出△AEC(保留作圖痕跡,

不要求寫作法)

(2)①求證：ADAF烏AECF；

②若/ECF=40。，求NC鉆的度數.

【答案】(1)作圖見解析

⑵①證明見解析；②NC4B=25。；

【分析】(1)由翻折可得，/BAC=ZEAC,AB=AE,則根據作一個角等于已知角的方法作/G4c=ZBAC,

再以點A為圓心，AB的長為半徑畫弧，交AG于點E,連接CE即可.

(2)①由翻折可得，BC=CE,ZB=ZAEC=90°,再結合矩形的性質可得"=/AEC,AD=CE,根

據全等三角形的判定可得結論.②根據全等三角形的性質可得NECF=NM=40°進而可得

NCAB=Z/BAE=25。

ZBAE=90°-ZDAF=50°,則2

【詳解】(1)解：如圖，4AEC即為所求.

(2)①證明：由翻折可得，BC=CE,ZB=ZAEC^90°

...四邊形ABCD為矩形,

...AD=BC,ZD=ZB=90°,

...ZD=ZAEC,AD=CE,

-ZAFD=ZCFE,

.VZJAF^VECF（AAS）

②解：?.?△ZM尸絲△&/,

ZECF=ZDAF=40°,

...ZBAE=90°-ZDAF=50°,

...ZBAC=ZEAC,

ZCAB=-ZBAE=25°

.-.2

【點睛】本題考查翻折的性質、矩形的性質、全等三角形的判定與性質，作已知角的角平分線，熟練掌握

翻折的性質、矩形的性質、全等三角形的判定與性質是解答本題的關鍵.

41經典例題二利用矩形的性質求角度】

【例2】（2022下?江蘇無錫?八年級統考期中）如圖，延長矩形4BCD的邊3c至點E,使CE=BD,連接

AE,如果乙402=30。，貝吐￡的度數是（）

A.45°B.30°C.20°D.15°

【答案】D

【分析】連接AC,由矩形性質可得NE=/D4E、BD=AC=CE,知NE=NCAE,而/ADB=/C4D=30。,

可得度數

【詳解】解：連接AC,如圖所示：

.四邊形"CD是矩形,

:.AD//BE,AC=BD,ZADB^ZCAD=30°,

ZE=ZDAE,

又YBD=CE,

:.CE=CAi

??NE=NCAE,

ACAD=ZCAE+ZDAE,

ZE+ZE=30°

.'.ZE=15°,

故選：D.

【點睛】本題主要考查矩形性質、等腰三角形的性質，熟練掌握矩形對角線相等且互相平分、對邊平行是

解題關鍵.

子【變式訓練】

1.（2023上?四川成都?九年級統考期末）如圖，將含有30。的直角三角尺OLB（ZC=60°）直角頂點N放

到矩形。昭如的邊上，若NE4B=15。，則"QG的度數是（）

A.25°B.30°C.35°D.45°

【答案】D

【分析】本題考查矩形的性質，平行線的性質，三角形的內角和定理，對頂角相等.

設AC與H尸的交點為點加，由角的和差可求得NC4E=NC4B-NE鉆=75。，根據矩形的性質得到

HF//DE,從而=歸=75。，根據三角形的內角和定理求得NCQM=180。-NC_/CMQ=45。，

再根據對頂角相等即可得NFQG=NCQM=45。

【詳解】設AC與X尸的交點為點M

F

G

■■ZCAB=9Q°,ZEAB=15°,

...ZCAE=ZCAB-ZEAB=90°—15°=75°,

?.?在矩形。E/田中，HF//DE,

：.NCMF=NCAE=15。

.../C=60°,

,ZCQM=180°-ZC-ZCMQ=180°-60°-75°=45°

,ZFQG=ZCQM=45°

故選：D

2.（2023上?四川成都?九年級成都外國語學校校考階段練習）如圖，矩形ABCD的對角線AC與2。相交于

點。，過點。作OELBD,交（于點E,連接8E.若NCOE=20。，貝=一度.

【答案】35

【分析】利用矩形的性質可得：OD=OC,AB//CD,再根據等邊對等角即可求出NCDO的度數，最后通過

平行線的性質即可求出-ABD的度數.

【詳解】解：???四邊形"CD是矩形，

,.,AB//CD,AC^BD,

；,OA=OC1OB=OD,

,?,ZABD=ZCDO，

.,.CEVBD,

,?,ZDOE=9Q0，

,.,ZCOD=ZDOE+ZCOE=90°+20°=110°，

ZCDO=NOCD=-(180°-110°)=35°

*0,2,

...ZABD=ZCDO=35°,

故答案為：35.

【點睛】此題考查了矩形的性質，解題的關鍵是熟練掌握矩形的性質和平行線的性質及其應用.

3.(2023下?江西宜春?八年級統考期中)如圖，在矩形ABCD中，對角線AC和2。相交于。點，AE平分

NBA。交8C于點￡,且NCAE=15。.

A

B

(1)求證：AOB為等邊三角形；

(2)求/COE的度數.

【答案】(1)見解析

⑵45。

【分析】(1)矩形的性質，得到=角平分線得到NBAE=45。，進而得到NBAC=60。，即可得證；

(2)證明△BOE為等腰三角形，三角形內角和定理，求出/BOE,進而求出NAOE的度數，利用平角的定

義，即可得解.

【詳解】(1)證明：???矩形神⑦，

??.AO=BO,ABAD=90°,

?..AE平分2區4。，

...Z^AE=45°,

...ZCAE=15°,

,4AC=60。，

AO=BO?

??.A05是等邊三角形；

(2)vAOB是等邊三角形，

,.,AB=BO，

在RtAABE中,

-ZBAE=45°,

AB=BE,

...BE=BO,

...ZBOE=NBEO,

...NOBE=90°—60°=30°,

./BOE=ZBEO=（180。-30。）+2=75。

...ZAOE=ZAOB+/BOE=600+75°=135°,

.../COE=180。一ZAOE=45°.

【點睛】本題考查矩形的性質，等邊三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質.熟練掌握矩形的性

質，是解題的關鍵.

41經典例題三根據矩形的性質求線段長】

【例3】（2023下?江蘇無錫?八年級統考期末）如圖，在矩形ABCD中，。是的中點，E為AD邊上一點,

且有AE=OB=4.連接OE,若ZAEO=75。,則OE的長為（）

3

A.2B.y/2C.—V6—V2D.2^/6-2^/2

【答案】D

【分析】連接AC,OE,過點E作所LBO于點尸，根據矩形的性質可得AC=8,由NAEO=75。可得

ZE4O=30°,進而利用含30度角的直角三角形求出DE,然后利用等腰直角三角形的性質即可解決問題.

【詳解】解：如圖，連接A。，OE,過點E作EFLBD于點

Ar-----------------——-^D

BC

在矩形ABCD中，

?「。是8D的中點，

,\OA=OB=OD,

AE=OB=4.f

.\AE=OA=4

AC=8,Z.AOE=AAEO,

VZAEO=75°,

二.”AO=30。，

:.CD=-AC=4

2,

:.AD=/CD=46

:.DE=AD-AE=4y/3-4.

OA=OD,

...ZAOD=ZEOD=30°,

...ZAOE=ZAEO=75°,ZAOD=180°-2ZEAO=120°,

NEOF=ZAOD-ZAOE=45°,

又,：EF工BD,

.-.OF=EF=-DE=2^-2

2,

OE=逝EF=276-2夜

故選：D.

【點睛】本題考查了矩形的性質，含3。度角的直角三角形，等腰直角三角形的性質，勾股定理，解決本題

的關鍵是掌握矩形的性質.

產【變式訓練】

I.（2024上?陜西漢中?九年級統考期末）如圖，矩形ABCD的對角線交于點O,AB=4,AD=2,YADE為

等邊三角形，點尸是直線EO上一點，連接。尸，則線段。尸的最小值為（）

73+2

C.2

2

【答案】D

OA=-AC

【分析】連接OE交AO于當0尸,即時，線段°尸的值最小，根據矩形的性質得AC=3