帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題、多解問(wèn)題

題型1"平移圓"頰臨界或極值問(wèn)題

題型2"放縮圓"處理臨界或極值問(wèn)題

題型“旋轉(zhuǎn)圓”處理臨界或極值問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)1臨界和極值問(wèn)題3

重難點(diǎn)突破：題型4磁聚焦與磁發(fā)散

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的題型5磁場(chǎng)最小面積問(wèn)題

臨界問(wèn)題、多解問(wèn)題題型6帶電粒子帶電性不確定形成的多解

知識(shí)點(diǎn)2多解問(wèn)題題型7磁場(chǎng)方向不確定形成的多解

題型8臨界狀態(tài)不唯一形成的多解

題型9運(yùn)動(dòng)的周期性形成的多解

........，方法技巧：磁場(chǎng)的最小面積問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)1臨界和極值問(wèn)題

1、基本方法

帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡與粒子入射的速度大小和方向有關(guān)，因此會(huì)出現(xiàn)粒子

恰好離開(kāi)磁場(chǎng)或恰好經(jīng)過(guò)某一位置的臨界情境。解答帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題，關(guān)鍵在于運(yùn)用動(dòng)

態(tài)思維，找準(zhǔn)臨界點(diǎn)，以題目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等詞語(yǔ)為突破口，挖掘隱含條件，

分析可能的情況，必要時(shí)畫(huà)出幾個(gè)半徑不同的軌跡，找出臨界條件。

2、常用結(jié)論

（1）剛好穿出磁場(chǎng)邊界的條件是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與邊界相切。

（2）當(dāng)速率v一定時(shí)，弧長(zhǎng)越長(zhǎng)，圓心角越大，則帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長(zhǎng)。

（3）當(dāng)速率v變化時(shí)，圓心角大的，運(yùn)動(dòng)時(shí)間長(zhǎng)，解題時(shí)一般要根據(jù)受力情況和運(yùn)動(dòng)情況畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡的

草圖，找出圓心，再根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑及圓心角等。

（4）帶電粒子在圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，當(dāng)帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑大于磁場(chǎng)的半徑，且入射點(diǎn)和出射點(diǎn)為

磁場(chǎng)直徑的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角最大（所有弦長(zhǎng)中直徑最長(zhǎng)）。

3、解決臨界問(wèn)題常用的四種方法

（1）平移圓

XXXXXXX

【適用條件】8一定、v的大小方向一定、入射點(diǎn)不同但在同一條直線上。

【軌跡圓圓心共線】帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在同一直線上，該直線與入射點(diǎn)的連線平行。

【界定方法】將半徑為氏=竺^的圓進(jìn)行平移，從而探索粒子的臨界條件。

qB

（2）放縮圓

XXXXXX

XX

X[x

X[x（X】*xMx

XXXXScX

【適用條件】①8一定、y方向一定、y大小變化。

②V方向一定、V大小一定，8大小變化。

【軌跡圓圓心共線】因?yàn)?二上二，所以隨著粒子速度（或磁感應(yīng)強(qiáng)度）的增大或縮小，導(dǎo)致粒子做圓周運(yùn)

qB

動(dòng)的半徑也在變化。故帶電粒子沿同一方向射入磁場(chǎng)后，在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡相切于粒子源所在位置，且

圓心都在與v方向垂直的直線PP，上。

【界定方法】以入射點(diǎn)P為定點(diǎn)，圓心位于直線PP上，將半徑放縮確定運(yùn)動(dòng)軌跡，從而探索出粒子運(yùn)動(dòng)的

臨界條件。

（3）旋轉(zhuǎn)圓

【適用條件】8一定、v的大小一定、v的方向變化。

【軌跡圓圓心共圓】因?yàn)镽=—，所以粒子的軌跡圓半徑相等，所有的軌跡圓的圓心都在以。點(diǎn)為圓心,

qB

半徑為R的圓周上，隨著粒子速度方向的變化，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡圓以。點(diǎn)為圓心，發(fā)生旋轉(zhuǎn)，粒子所能打

到的區(qū)域在半徑為2R的圓周內(nèi)。

【界定方法】將半徑為氏="的圓以帶電粒子入射點(diǎn)為定點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，從而探索粒子運(yùn)動(dòng)的臨界條件。

（4）磁聚焦和磁發(fā)散

磁發(fā)散磁聚焦

如圖甲所示，當(dāng)粒子從磁場(chǎng)邊界上同一點(diǎn)沿不同如圖乙所示，當(dāng)粒子以相互平行的速度從磁場(chǎng)邊界

方向進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的速度方上任意位置進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，粒子一定會(huì)從同一點(diǎn)

向一定平行，而且與入射點(diǎn)的切線方向平行離開(kāi)磁場(chǎng)區(qū)域，而且該點(diǎn)切線與入射方向平行

律（1）如圖甲所示，相同速率的同種粒子以相同的初速度射向圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，若粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)

的軌跡半徑與磁場(chǎng)區(qū)域的半徑相等，則經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域的所有粒子都會(huì)聚到磁場(chǎng)區(qū)域的一條直徑的端點(diǎn)

處，該直徑與粒子初速度垂直。

（2）如圖乙所示，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，速度與射入點(diǎn)所在磁場(chǎng)半徑的夾角和穿出磁場(chǎng)時(shí)速度與射出點(diǎn)

所在磁場(chǎng)半徑的延長(zhǎng)線的夾角相等。

知識(shí)點(diǎn)2多解問(wèn)題

（1）帶電粒子的帶電性質(zhì)不確定

受洛倫茲力作用的帶電粒子，可能帶正電荷，也可能帶負(fù)電荷，在相同的初速度下，粒子電性不同在

磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡就不同，會(huì)形成多解。如圖，如粒子帶正電荷，其軌跡為0,若粒子帶負(fù)電荷，其軌跡為

bo

（2）磁場(chǎng)方向不確定

在只知道磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，而未具體指出磁感應(yīng)強(qiáng)度方向的情況下，必須考慮磁感應(yīng)強(qiáng)度方向不確定

面形成的多解。如圖，帶正電粒子以速度V垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，若8垂直紙面向里，其軌跡為。，若8垂直

紙面向外，其軌跡為人

(3)臨界狀態(tài)不唯一

帶電粒子在洛倫茲力作用下飛越有界磁場(chǎng)時(shí)由于粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧，因此它可能穿過(guò)磁場(chǎng)飛出，也

可能轉(zhuǎn)過(guò)180°反向飛出，于是造成多解。

(4)運(yùn)動(dòng)具有周期性

帶電粒子在部分是電場(chǎng)、部分是磁場(chǎng)的空間中的運(yùn)動(dòng)往往具有周期性，因而形成多解。

磁場(chǎng)的最小面積問(wèn)題

帶電粒子經(jīng)過(guò)一個(gè)一定形狀的有界磁場(chǎng)區(qū)域，求該磁場(chǎng)的最小面積，這屬于特殊的一類(lèi)臨界問(wèn)題。

解決此類(lèi)問(wèn)題通常先找到粒子進(jìn)入磁場(chǎng)和離開(kāi)磁場(chǎng)的速度方向的垂線的交點(diǎn)，即為軌跡的圓心。特定

形狀的磁場(chǎng)恰好覆蓋粒子進(jìn)入點(diǎn)和離開(kāi)點(diǎn)間的圓弧，這種情況下磁場(chǎng)的面積最小。當(dāng)磁場(chǎng)面積最小時(shí),

般會(huì)出現(xiàn)軌跡與磁場(chǎng)邊界相切，磁場(chǎng)的最小面積可以由幾何關(guān)系求解。

題型1“平移圓”處理臨界或極值問(wèn)題

【例1】（多選）（24-25高二上?陜西寶雞?月考）如圖所示，在直角三角形/8C內(nèi)充滿垂直紙面向外的勻

JT

強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫(huà)出），45邊長(zhǎng)度為d,/-B=-o現(xiàn)垂直45邊射入一束質(zhì)量均為加、電荷量均為外速

6

度大小均為v的帶正電粒子。已知垂直4C邊射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為機(jī)而運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子

4

在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間（不計(jì)重力），則下列說(shuō)法正確的是（）

氣

----?：\

AC

A.粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為4t0

Tim

B.該勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為不二

3

C.粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為gd

、.371d

D.粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度大小為百一

【變式1-1］（多選）（23-24高三上?貴州貴陽(yáng)?開(kāi)學(xué)考試）地磁場(chǎng)對(duì)宇宙高能粒子有偏轉(zhuǎn)作用，從而保護(hù)了

地球的生態(tài)環(huán)境。赤道平面的地磁場(chǎng)簡(jiǎn)化為如圖所示，。為地球球心、R為地球半徑。地磁場(chǎng)可視為分布在

半徑R到2R的兩邊界之間的圓環(huán)區(qū)域內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為2,方向垂直紙面向里。太陽(yáng)耀斑爆發(fā)時(shí),

向地球持續(xù)不斷地輻射大量高能粒子，假設(shè)均勻分布的帶正電高能粒子以相同速度垂直沿赤道平面射

向地球。己知粒子質(zhì)量均為加、電荷量均為q,不計(jì)粒子的重力及相互作用力。下列說(shuō)法正確的是（）

A.當(dāng)入射粒子的速率不小于等時(shí)，部分粒子可以到達(dá)九W右側(cè)地面

2m

B.若粒子速率為遮，入射到磁場(chǎng)的粒子到達(dá)地面的最短時(shí)間為舞

m6qB

C.若粒子速率為手，正對(duì)著。處入射的粒子恰好可以到達(dá)地面

2m

D.若粒子速率為等，入射到磁場(chǎng)的粒子恰好有一半不能到達(dá)地面

2m

【變式1-2］（多選）（2023?重慶?三模）如題圖，直角三角形/3C區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖

中未畫(huà)出），NC邊長(zhǎng)為/,NB為三,一群比荷為巨的帶負(fù)電粒子以相同速度從C點(diǎn)開(kāi)始一定范圍垂直NC

6m

邊射入，射入的粒子恰好不從邊射出，已知從2C邊垂直射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為■1",在磁

場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子所用時(shí)間為2/。，則以下說(shuō)法中正確的是（）

5兀m

A.磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為KT

12%

c.粒子射入磁場(chǎng)的速度大小為密眩D.粒子在磁場(chǎng)中掃過(guò)的面積為伊山+37）二

42辦49

【變式1-3］（多選）（22-23高二下?安徽合肥?期末）如圖所示，直角三角形/3C區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向

外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為8的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，NC邊長(zhǎng)為L(zhǎng)乙4=30。.帶正電的粒子流（其重力忽略不計(jì)）以相

同速度在CD范圍內(nèi)垂直NC邊射入（不計(jì)粒子間的相互作用力），從。點(diǎn)射入的粒子恰好不能從N3邊射

出.已知從3c邊垂直射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為3f,在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子所用時(shí)間為43

則（）

A.粒子的比荷為白兀B.粒子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為:2￡

C.粒子射入磁場(chǎng)的速度大小為與D.粒子流在磁場(chǎng)中掃過(guò)的面積為耍萬(wàn)

15f25

【變式1-4］（多選）（23-24高二上?河南洛陽(yáng)?期中）在I、II兩個(gè)區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為2的勻

強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向如圖所示，ND、AC邊界的夾角為30。，邊界AC與邊界VN平行，II區(qū)域?qū)挾葹樾≠|(zhì)

量為加、電荷量為g的正粒子，可在邊界4D上的不同點(diǎn)以垂直4D且垂直磁場(chǎng)的方向射入磁場(chǎng)，若入射速

度大小為四，不計(jì)粒子重力，則（）

m

A.粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為0.54

B.粒子在距/點(diǎn)0.54處射入，會(huì)進(jìn)入n區(qū)域

C.粒子在距4點(diǎn)1.5d處射入，在I區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為—

qB

7TJTI

D.能夠進(jìn)入II區(qū)域的粒子，在n區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為—

2qB

題型2“放縮圓”處理臨界或極值問(wèn)題

【例2】（24-25高三上?廣西?月考）如圖所示，邊長(zhǎng)為心的正方形a6cd區(qū)域內(nèi)分布磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為3、

方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。從/邊的中點(diǎn)尸處發(fā)射速率不同、質(zhì)量為加、電荷量為4的帶正電粒子,

粒子沿紙面與R/成30。的方向射入該磁場(chǎng)區(qū)域，不計(jì)粒子的重力及粒子間的相互作用。已知某一速率的粒

子恰好能從船邊離開(kāi)磁場(chǎng)，則該粒子入射的速度大小是（

a

4qBL

A.「幽B.”幽C.,=迪D.v=

3m4mmm

【變式2-1］（2024?河南?二模）如圖所示，在第一象限有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（坐標(biāo)軸上無(wú)磁場(chǎng)）,

位于x軸上的尸點(diǎn)有一粒子發(fā)射器，沿與x軸正半軸成60。角方向發(fā)射不同速率的電子，已知當(dāng)速度為%時(shí),

粒子恰好從。點(diǎn)沿y軸負(fù)方向離開(kāi)坐標(biāo)系，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.如果則粒子速度越大,在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長(zhǎng)

B.如果v>%,則粒子速度越大,在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越短

C.如果則粒子速度越大,在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長(zhǎng)

D.如果則粒子速度越大,在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越短

【變式2-2］（23-24高二上?陜西西安?月考）一勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為8,方向垂直于紙面向外，其

邊界如圖中虛線所示，ab=cd=2L,bc=de=L,一束質(zhì)子在紙面內(nèi)從。點(diǎn)垂直于成射入磁場(chǎng)，這些粒子

具有各種速率。不計(jì)重力和粒子之間的相互作用。已知粒子的質(zhì)量為加、電荷量為+4。則在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)

間最長(zhǎng)的粒子，其運(yùn)動(dòng)速率為（）

.W5qBL

AD.----

4m4m

C5qBLD5qBL

,8m6m

【變式2-3］（2023?湖南?高考真題）如圖，真空中有區(qū)域I和II,區(qū)域I中存在勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)方

向豎直向下（與紙面平行），磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，等腰直角三角形CGF區(qū)域（區(qū)域n）內(nèi)存在勻強(qiáng)磁

場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外。圖中/、C、。三點(diǎn)在同一直線上，與GF垂直，且與電場(chǎng)和磁場(chǎng)方向均垂

直。/點(diǎn)處的粒子源持續(xù)將比荷一定但速率不同的粒子射入?yún)^(qū)域I中，只有沿直線NC運(yùn)動(dòng)的粒子才能進(jìn)入

區(qū)域II。若區(qū)域I中電場(chǎng)強(qiáng)度大小為￡、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為耳，區(qū)域n中磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為層，則粒子從CF

的中點(diǎn)射出，它們?cè)趨^(qū)域II中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為仇若改變電場(chǎng)或磁場(chǎng)強(qiáng)弱，能進(jìn)入?yún)^(qū)域II中的粒子在區(qū)域II中運(yùn)

動(dòng)的時(shí)間為不計(jì)粒子的重力及粒子之間的相互作用，下列說(shuō)法正確的是（）

A.若僅將區(qū)域I中磁感應(yīng)強(qiáng)度大小變?yōu)?2/,貝卜＞電

B.若僅將區(qū)域I中電場(chǎng)強(qiáng)度大小變?yōu)?E,貝卜＞訪

C.若僅將區(qū)域II中磁感應(yīng)強(qiáng)度大小變?yōu)榍蓪樱瑒t/=當(dāng)

D.若僅將區(qū)域n中磁感應(yīng)強(qiáng)度大小變?yōu)楹嗯c，貝=

【變式2-4］（2024?安徽阜陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在坐標(biāo)系第一象限內(nèi)有垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度為

B（）、足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。質(zhì)量為〃八電荷量為+?的帶電粒子在xQy平面內(nèi)從y軸上的M（0,￡）點(diǎn)以不同

速率射入磁場(chǎng)，且速度方向與y軸正半軸的夾角方53。保持不變。題中m、q、乙為己知值，不計(jì)粒子重

力,sin53°=0.8o回答下列問(wèn)題:

（1）若粒子從x軸下方離開(kāi)磁場(chǎng)，求粒子速度大小應(yīng)滿足的條件；

（2）若粒子從了軸左側(cè)離開(kāi)磁場(chǎng)，求y軸上有粒子經(jīng)過(guò)的區(qū)域長(zhǎng)度；

（3）若x軸上方充滿著方向垂直紙面向外的非勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小隨縱坐標(biāo)y均勻增大，且滿足

8=4比。粒子以大小為v=遺性的速度從M點(diǎn)沿原方向（即圖示方向）射入磁場(chǎng)，求粒子在磁場(chǎng)中從M

Lm

點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到離x軸最遠(yuǎn)位置的過(guò)程中運(yùn)動(dòng)軌跡與x軸圍成的面積S。

題型3“旋轉(zhuǎn)圓”處理臨界或極值問(wèn)題

【例3】（2024?廣東深圳?二模）如圖所示，半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于圓所在

的平面。一速度為v的帶電粒子從圓周上的/點(diǎn)沿半徑方向射入磁場(chǎng)，入射點(diǎn)/與出射點(diǎn)8間的圓弧藍(lán)為

整個(gè)圓周的三分之一?，F(xiàn)有一群該粒子從N點(diǎn)沿該平面以任意方向射入磁場(chǎng)，已知粒子速率均為氈v,忽

3

略粒子間的相互作用，則粒子在磁場(chǎng)中最長(zhǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（

c兀R

6v

【變式3-1］（23-24高二上?重慶沙坪壩?期末）如圖，空間分布著磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為3,方向垂直紙面向外

的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。關(guān)于。點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的薄板"N的長(zhǎng)度為3a,。點(diǎn)到"N的距離為a。。點(diǎn)有一粒子源，能沿紙面

內(nèi)任意方向發(fā)射速率相同、質(zhì)量為加、電荷量為q的正電粒子。已知水平向右發(fā)射的粒子恰能垂直打在

上，打到九W上、下表面的粒子均被吸收。不計(jì)粒子的重力，則被兒W吸收的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)

間為（）

【變式3-2］（23-24高二下?江蘇常州?期中）如圖所示，勻強(qiáng)磁場(chǎng)中位于尸處的粒子源可以沿垂直于磁場(chǎng)

向紙面內(nèi)的各個(gè)方向發(fā)射質(zhì)量為加、電荷量為外速率為v的帶正電粒子，P到熒光屏VN的距離為小設(shè)

熒光屏足夠大，不計(jì)粒子重力及粒子間的相互作用。下列判斷正確的是（）

XXXX

B

XXXX

A.若磁感應(yīng)強(qiáng)度3=一，則發(fā)射出的粒子到達(dá)熒光屏的最短時(shí)間為會(huì)

B.若磁感應(yīng)強(qiáng)度8=-7,則同一時(shí)刻發(fā)射出的粒子到達(dá)熒光屏的最大時(shí)間差為空

qav

C.若磁感應(yīng)強(qiáng)度8=麗，則熒光屏上形成的亮線長(zhǎng)度為2Kd

D.若磁感應(yīng)強(qiáng)度2=翡，則熒光屏上形成的亮線長(zhǎng)度為（莊+g）d

【變式3-3]（23-24高二上?甘肅張掖?月考）如圖所示，真空室內(nèi)存在磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)

度的大小為3=0.30T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。磁場(chǎng)內(nèi)有一塊較大的平面感光板油，板面與磁場(chǎng)方向平行，在距成的距

離為/=32cm處，有一個(gè)點(diǎn)狀的a粒子放射源S,它能向各個(gè)方向發(fā)射a粒子，帶正電的a粒子速度都是

v=3.0xl06m/so已知a粒子的電荷量與質(zhì)量之比為2=5.0xl（）7C/kg,現(xiàn)只考慮在紙面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的a粒子,

m

則感光板湖上被a粒子打中區(qū)域的長(zhǎng)度為（）

XXXXXX

a■b

XXX：XXX

X;/X

XXXX

B

s*

XXXXXX

A.40cmB.30cmc.35cmD.42cm

【變式3-4]（24-25高二下?全國(guó)?單元測(cè)試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系。孫的第一象限內(nèi)，存在垂直于紙

面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為3。大量質(zhì)量為加、電荷量為夕的相同粒子從y軸上的P（0,V3Z）

點(diǎn)，以相同的速率在紙面內(nèi)沿不同方向先后射入磁場(chǎng)，設(shè)入射速度方向與y軸正方向的夾角為a

（0°<ct<180°）0當(dāng)a=150。時(shí)，粒子垂直x軸離開(kāi)磁場(chǎng)。不計(jì)粒子的重力和粒子間的相互作用，則（）

A.粒子一定帶負(fù)電

B.當(dāng)a=45。時(shí)，粒子也垂直x軸離開(kāi)磁場(chǎng)

C.粒子的入射速率為拽型

m

D.粒子離開(kāi)磁場(chǎng)的位置到。點(diǎn)的最大距離為2阮

題型4磁聚焦與磁發(fā)散

【例4】（24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）帶電粒子流的磁聚焦是薄膜材料制備的關(guān)鍵技術(shù)之一。磁聚焦原

理如圖，真空中半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一束寬度為2八沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)的電子

流射入該磁場(chǎng)后聚焦于坐標(biāo)原點(diǎn)。。已知電子的質(zhì)量為僅、電荷量為e、進(jìn)入磁場(chǎng)的速度為v,不計(jì)電子重

力及電子間的相互作用，則磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為（）

2r''：'

、I

-----JA'//

J'__、、、、_、

'o]X

mvyflmvrnv2m

A.--D.----C.D.----

2er2er夕er

【變式4-1］（多選）（2024?福建泉州?模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)研制的世界首套磁聚焦霍爾電推進(jìn)系統(tǒng)已經(jīng)完成了

全部在軌飛行驗(yàn)證工作，可作為太空發(fā)動(dòng)機(jī)使用，帶電粒子流的磁聚焦是其中的關(guān)鍵技術(shù)之一。如圖，實(shí)

線所示的兩個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)I、IL磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為S，兩圓半徑均為廠，

相切于。點(diǎn)。一束寬度為2r的帶電粒子流沿x軸正方向射入后都匯聚到坐標(biāo)原點(diǎn)。。已知粒子的質(zhì)量均為

加、電荷量均為+外進(jìn)入磁場(chǎng)的速度均為v,不計(jì)帶電粒子的重力及粒子間的相互作用力。下列說(shuō)法正確的

是（）

A.8/的大小為一

qr

B.從。點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)II的粒子的速度仍相等

C.若B『2B、,則粒子在磁場(chǎng)II的邊界的射出點(diǎn)在四分之一圓周上

D.若與=0?5瓦，則粒子在磁場(chǎng)II中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為丁

3v

【變式4-2］（多選）（2023?山東?模擬預(yù)測(cè)）利用磁聚焦和磁控束可以改變一束平行帶電粒子的寬度，人

們把此原理運(yùn)用到薄膜材料制備上，使芯片技術(shù)得到飛速發(fā)展。如圖，寬度為4的帶正電粒子流水平向右

射入半徑為4的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為綜，這些帶電粒子都將從磁場(chǎng)圓上O點(diǎn)進(jìn)入正方形

區(qū)域，正方形過(guò)。點(diǎn)的一邊與半徑為％的磁場(chǎng)圓相切。在正方形區(qū)域內(nèi)存在一個(gè)面積最小的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域,

使匯聚到。點(diǎn)的粒子經(jīng)過(guò)該磁場(chǎng)區(qū)域后寬度變?yōu)楣?且粒子仍沿水平向右射出，不考慮粒子間的相互作用

力及粒子的重力，下列說(shuō)法正確的是（）

A.正方形區(qū)域中勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為2穌，方向垂直紙面向里

B.正方形區(qū)域中勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為;及,，方向垂直紙面向里

C.正方形區(qū)域中勻強(qiáng)磁場(chǎng)的最小面積為2（萬(wàn)-2）4

D.正方形區(qū)域中勻強(qiáng)磁場(chǎng)的最小面積為一婿

【變式4-3］（2023?廣東?模擬預(yù)測(cè)）磁聚焦和磁發(fā)散技術(shù)在許多真空系統(tǒng)中得到了廣泛應(yīng)用，如電子顯微

鏡技術(shù)，它的出現(xiàn)為科學(xué)研究做出了重大貢獻(xiàn)。現(xiàn)有一個(gè)磁發(fā)散裝置，如圖所示，在半徑為R的圓形區(qū)域

內(nèi)存在垂直紙面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度為8的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在圓形磁場(chǎng)區(qū)域右側(cè)有一方向豎直向下，電場(chǎng)強(qiáng)度為￡

的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)左邊界與圓形磁場(chǎng)右邊界相切。在水平地面上放置一個(gè)足夠長(zhǎng)的熒光屏尸。，它與磁場(chǎng)相

切于P點(diǎn)。粒子源可以持續(xù)的從P點(diǎn)向磁場(chǎng)內(nèi)發(fā)射速率為v方向不同的帶正電同種粒子。經(jīng)觀測(cè)：有一粒

子。以豎直向上的初速度射入磁場(chǎng)，該粒子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后恰好以水平方向離開(kāi)磁場(chǎng)，然后進(jìn)入電場(chǎng)區(qū)域。

粒子6進(jìn)入磁場(chǎng)的速度方向與粒子a的速度方向夾角為6（未知），進(jìn)入磁場(chǎng)后，粒子6的運(yùn)動(dòng)軌跡恰好

能通過(guò)圓形磁場(chǎng)的圓心O,最終也進(jìn)入到電場(chǎng)區(qū)域。已知電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的關(guān)系滿足E=不計(jì)

粒子重力及粒子間相互作用。求：

（1）粒子的比荷幺；

m

（2）粒子b與粒子a的夾角夕和6粒子打在熒光屏上的亮點(diǎn)到P點(diǎn)的距離x；

（3）入射方向與熒光屏所在平面成60。?120。區(qū)間范圍內(nèi)的粒子，最終打到熒光屏上形成的亮線長(zhǎng)度。

題型5磁場(chǎng)最小面積問(wèn)題

【例5】（多選）（2023?湖北?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，有一個(gè)正方形區(qū)域N2CD,在內(nèi)部某一區(qū)域內(nèi)有一垂

直于紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為穌的矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一個(gè)質(zhì)量為〃八電量為q（4＞。）的帶電粒子從

的中點(diǎn)以速度v垂直于CD射入正方形區(qū)域，從3c邊的中點(diǎn)垂直于3c飛出該正方形區(qū)域，不計(jì)粒子的重

力，下列說(shuō)法正確的是（）

A.該粒子在磁場(chǎng)里運(yùn)動(dòng)的時(shí)間才

2qB。

rem

B.該粒子在磁場(chǎng)里運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=--

2qB0

m~v~

C.該矩形區(qū)域磁場(chǎng)的最小面積S=而

（2+血）加2V2

D.該矩形區(qū)域磁場(chǎng)的最小面積S=--------1——

/紜2

【變式5-1]（2024?山西臨汾?二模）如圖所示，M、N為紙面內(nèi)一直線上的兩點(diǎn)，某圓形區(qū)域中存在垂直

紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一質(zhì)量為加、電荷量為4（4>0）的帶電粒子，垂直于直線從M點(diǎn)以速度為v進(jìn)入圓形磁

場(chǎng)區(qū)域，經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)的偏轉(zhuǎn)，粒子再次通過(guò)該直線的位置為N,且方向與直線之間的夾角6=30。。已知加、N

兩點(diǎn)間的距離為乙不計(jì)粒子的重力。求：

（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度2的大?。?/p>

（2）圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積S。

【變式5-2]（2023?黑龍江?一模）如圖所示，。/與y軸的夾角9=60。，在此角范圍內(nèi)有沿y軸負(fù)方向的

勻強(qiáng)電場(chǎng)，一質(zhì)量為〃八電荷量為qS>0）的粒子以速度從左側(cè)平行于x軸射入電場(chǎng)，入射點(diǎn)為P,經(jīng)

電場(chǎng)后沿垂直于。/的方向由0點(diǎn)進(jìn)入一矩形磁場(chǎng)區(qū)域（未畫(huà)出，方向垂直紙面向外），并沿x軸負(fù)方向

經(jīng)過(guò)。點(diǎn)。已知。點(diǎn)到0點(diǎn)的距離為6/,不計(jì)粒子的重力，求：

（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大??；

（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大?。?/p>

（3）矩形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積。

【變式5-3]（23-24高二下?安徽?期末）如圖所示，平面直角坐標(biāo)系了辦的第二象限內(nèi)存在垂直紙面向外

的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為例（品未知），第一象限內(nèi)一圓形區(qū)域中存在垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度

大小為的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫(huà)出）。一質(zhì)量為加、電荷量為4的帶正電粒子從x軸上的尸點(diǎn)以速

度W沿與x軸負(fù)方向成45。角的方向射入第二象限內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，恰好從M點(diǎn)垂直于y軸射入第一象限,

在第一象限內(nèi)經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后從N點(diǎn)垂直x軸射入第四象限，已知。、P之間的距離為心。、N之間的距離

為22,不計(jì)粒子重力，求：

（1）第二象限內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小8/；

（2）第一象限內(nèi)圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積S。

【變式5-4］（23-24高二上?內(nèi)蒙古赤峰?期末）如圖所示，第一象限內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未

畫(huà)出），一質(zhì)量為加、電荷量為q的帶正電粒子從x軸上的M點(diǎn)以速度垂直于x軸射入磁場(chǎng)，從y軸上

的N點(diǎn)射出時(shí)速度方向與>軸正方向的夾角a=60。，M點(diǎn)和原點(diǎn)。間的距離為力不計(jì)粒子所受的重力。

（1）求勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度2的大??；

（2）若僅在第一象限內(nèi)一矩形（MN為矩形的一條邊）區(qū)域內(nèi)存在磁場(chǎng)，求矩形磁場(chǎng)的最小面積”。

__

0Mx

題型6帶電粒子帶電性不確定形成的多解

【例6】（多選）（23-24高二下?四川廣元?開(kāi)學(xué)考試）如圖所示，左右邊界分別為尸P、00，的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的

寬度為d,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為8,方向垂直紙面向里。一個(gè)質(zhì)量為〃?、電荷量為q的粒子，沿圖示方向以

速度%垂直射入磁場(chǎng)。欲使粒子不能從邊界。2射出，粒子入射速度%的最大值可能是（）

PQ

XX

P'X0'

A（2+V^）8qdBBqdC（2—\[2^Bqdy/lBqd

\n-J----------

m2m

【變式6-1］（多選）（22-23高二下?全國(guó)?課前預(yù)習(xí)）如圖所示,勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為8,方向垂直紙

面向里，AGV是它的下邊界。現(xiàn)有質(zhì)量為“、電荷量為q的帶電粒子與MN或30。角垂直射入磁場(chǎng)，則粒子

在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間可能為（）

XXXXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXXX

B

XXXXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXX

XXXXXX1XXX

MON

zrm27rm

B.

3qB3qB

4Tim57tm

D.

3qB3qB

【變式6-2］（多選）（21-22高二?全國(guó)?課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在x軸上方存在著垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁

場(chǎng)。一個(gè)質(zhì)量為機(jī)、電荷量大小為夕（不計(jì)重力）的帶電粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)。處以速度v進(jìn)入磁場(chǎng)，粒子進(jìn)入

磁場(chǎng)時(shí)的速度方向垂直于磁場(chǎng)且與x軸正方向成120。角，若粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)與x軸的最大距離為“，則

磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和該粒子的電性可能是（）

XX

B

XX

XX

X

3mv4—,cmv小十+

A.-一，市正電B-通5正電

2aq

3mv.mv

C.-一，市負(fù)電D-通’帶負(fù)電

2aq

題型7磁場(chǎng)方向不確定形成的多解

【例7】（多選）（2023高二?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，/點(diǎn)的離子源沿紙面垂直。。方向向上射出一束

負(fù)離子，離子的重力忽略不計(jì)。為把這束負(fù)離子約束在。尸之下的區(qū)域，可加垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。己知

。、/兩點(diǎn)間的距離為s,負(fù)離子的比荷為幺，速率為v,OP與間的夾角為30。，則所加勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁

m

感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和方向可能是（）

/P

一上眥.f____

oAQ

mv

A.一,垂直紙面向里B.B>——，垂直紙面向里

3qsqs

mv3mv

C.B>—,垂直紙面向外D.B>---,垂直紙面向外

qsqs

【變式7-1］（多選）某電子以固定的正電荷為圓心在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，磁場(chǎng)方向垂直于它的運(yùn)

動(dòng)平面，電子所受電場(chǎng)力恰好是磁場(chǎng)對(duì)它作用力的3倍。若電子電量為e,質(zhì)量為加，磁感應(yīng)強(qiáng)度為5。那

么，電子運(yùn)動(dòng)的角速度可能是（）

4Be3Be2BeBe

A.-----B.-----C.-----D.—

mmmm

題型8臨界狀態(tài)不唯一形成的多解

【例8】（23-24高二下?江蘇揚(yáng)州?期中）如圖所示，直線兒W與水平方向成60。角，的右上方存在垂直

紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，左下方存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為次一粒子源位

于"N上的。點(diǎn)，能水平向右發(fā)射不同速率、質(zhì)量為加、電荷量為《（q>0）的同種粒子（重力不計(jì)，粒子間

的相互作用不計(jì)），所有粒子均能通過(guò)"N上的6點(diǎn)，已知仍=￡,則粒子的速度可能是（）

x\....................

a\????

xx\B

B'J**

xxx'、」

Ay/iqBL口扣qBL「6qBL門(mén)y/iqBL

A.--------D.----------C.---------D.---------

m2m3m4m

【變式8-1］（23-24高二上?山東青島?期末）長(zhǎng)度為上的水平板上方區(qū)域存在垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大

小為8的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，從距水平板中心正上方g的尸點(diǎn)處以水平向右的速度%釋放一個(gè)質(zhì)量為加、電荷量為

e的電子，若電子能打在水平板上，速度「應(yīng)滿足（）

XXXXX

XXXX

P?-----

XXXXX

XXXXX

eBLeBL

A.%>B.vo<~

2m4m

eBLeBLeBLeBL

C.<v0<-----D.%>------或%<-----

4m2m2m4m

【變式8-2］（多選）（22-23高二上?河南南陽(yáng)?期中）如圖所示，區(qū)域內(nèi)有一方向垂直紙面向里、

磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為2的勻強(qiáng)磁場(chǎng)44=30。，AE=L,弧EFC是直徑為筋的半圓，/EC在一條直線上。在

/點(diǎn)有一個(gè)粒子源，可以沿方向發(fā)射速度大小不同的帶正電的粒子，均打到弧E/C上。已知粒子的比

荷均為總不計(jì)粒子間相互作用及重力，則關(guān)于粒子在上述過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間可能的是（）

A

E

xXx

\F

XXXX

XXX

DC

.5萬(wàn)2%2%

B.-----D.-----

'嬴3Bkc建9Bk

【變式8-3］（多選）（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，邊長(zhǎng)為上的等邊三角形區(qū)域/C。內(nèi)、外的

勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為5、方向分別垂直紙面向里、向外。三角形頂點(diǎn)/處有一質(zhì)子源，能沿乙4

的角平分線發(fā)射速度大小不等、方向相同的質(zhì)子（質(zhì)子重力不計(jì)、質(zhì)子間的相互作用可忽略），所有質(zhì)子

恰能通過(guò)。點(diǎn)，已知質(zhì)子的比荷包=左，則質(zhì)子的速度可能為（）

m

AB

/x\

?/xx公、?

c乙尸-”'2

，BkL

A-FB.BkL

c3BkL