初中數學中考復習二次函數知識點總結二次函數知識點總結20110311二次函數知識點:21(二次函數的概念:一般地，形如yaxbxc,，，(是常數，)的函數，叫做二次函數。這里abc～～a,0需要強調:和一元二次方程類似，二次項系數，而可以為零(二次函數的定義域是全體實數(bc～a,022.二次函數yaxbxc,，，的結構特征:?等號左邊是函數，右邊是關于自變量x的二次式，x的最高次數是2(?是常數，a是二次項系數，是一次項系數，c是常數項(abc～～b二次函數的基本形式1122222221.二次函數基本形式:yax,的性質:左圖畫，右圖畫yxyxyx,,,,,,,2,yxyxyx,,,,2,22oo結論:a的絕對值越大，拋物線的開口越小。總結:a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質x時，隨的增大而增大;時，隨yyx,0x,000～軸，，ya,0向上x的增大而減小;時，有最小值(yx,00x時，隨的增大而減小;時，隨yyx,0x,000～軸y，，a,0向下x的增大而增大;時，有最大值(yx,0022222yxyx,,，,,,1,1yaxc,，2.的性質:左圖畫，右圖畫yxyx,，,,1,1oo結論:上加下減。總結:的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質a時，隨的增大而增大;時，隨xyyx,0x,00～c軸，，ya,0向上x的增大而減小;時，有最小值c(yx,0時，隨x的增大而減小;時，隨yyx,0x,00～c軸y，，a,0向下x的增大而增大;時，有最大值c(yx,022222yaxh,,yxyx,,，,,,(1),(1).的性質:左圖畫，右圖畫3，，yxyx,，,,(1),(1)oo結論:左加右減。總結:a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質x時，隨的增大而增大;時，隨yyxh,xh,h～0，，a,0向上X=hx的增大而減小;時，有最小值(yxh,0x時，隨的增大而減小;時，隨yyxh,xh,h～0，，a,0X=h向下x的增大而增大;時，有最大值(yxh,0222yaxhk,,，4.的性質:左圖畫，右圖畫，，yxyx,，，,,,(1)1,(1)122yxyx,,，，,,,,(1)1,(1)1oo總結:二次函數圖象的平移a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質x時，隨的增大而增大;時，隨yyxh,xh,hk～，，a,0向上X=hx的增大而減小;時，有最小值(yxh,kx時，隨的增大而減小;時，隨yyxh,xh,hk～，，a,0向下X=hx的增大而增大;時，有最大值(yxh,k1.平移步驟:2yaxhk,,，hk～?將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點坐標;，，，，2hk～yax,?保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下:，，向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|個單位22y=axy=ax+k向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|個單位平移|k|個單位平移|k|個單位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|個單位22y=a(x-h)+ky=a(x-h)向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|個單位2.平移規律在原有函數的基礎上“值正右移，負左移;值正上移，負下移”(hk概括成八個字“左加右減，上加下減”(22yaxhk,,，yaxbxc,，，三、二次函數與的比較，，222yaxhk,,，yxx,，，245yaxbxc,，，請將利用配方的形式配成頂點式。請將配成。，，總結:22yaxhk,,，從解析式上看，與yaxbxc,，，是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前者，，，222bacb4,bacb4,,,yax,，，即，其中(hk,,,～,,24aa24aa,,2四、二次函數yaxbxc,，，圖象的畫法22yaxbxc,，，yaxhk,,，()五點繪圖法:利用配方法將二次函數化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為:頂點、與軸的y0～c0～c2hc，xx～0x～0x交點、以及關于對稱軸對稱的點、與軸的交點，(若與軸沒有，，，，，，，，，，12交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點).x畫草圖時應抓住以下幾點:開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.y2222yxxyxx,,，，,,,，21,21左圖畫，右圖畫yxxyxx,，，,,,21,21oo2yaxbxc,，，五、二次函數的性質2,,bacb4,b,～1.當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標為(x,,a,0,,24aa2a,,bbbxx當時，隨的增大而減小;當時，隨的增大而增大;當時，有最小值x,,x,,x,,yyy2a2a2a24acb,(4a2,,bacb4,bb,～2.當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點坐標為(當時，隨xx,,x,,ya,0,,24aa2a2a,,2bb4acb,的增大而增大;當時，隨x的增大而減小;當時，有最大值(x,,x,,yy2a2a4a六、二次函數解析式的表示方法21.一般式:(a，，c為常數，);yaxbxc,，，ba,022.頂點式:(a，，為常數，);yaxhk,,，()hka,03.兩根式:(，，是拋物線與x軸兩交點的橫坐標).yaxxxx,,,()()xxa,01212注意:任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數都可以寫成交點式，只有2拋物線與x軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示(二次函數解析式的這bac,,40三種形式可以互化.七、二次函數的圖象與各項系數之間的關系a1.二次項系數2yaxbxc,，，a二次函數中，作為二次項系數，顯然(a,0aa?當時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大;a,0aa?當時，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大(a,0aaa總結起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小(2.一次項系數ba在二次項系數確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸(b?在的前提下，a,0b當時，，即拋物線的對稱軸在軸左側;,,0yb,02ab當時，，即拋物線的對稱軸就是軸;,,0yb,02ab當時，，即拋物線對稱軸在軸的右側(,,0yb,02a?在的前提下，結論剛好與上述相反，即a,0b當時，，即拋物線的對稱軸在軸右側;,,0yb,02ab當時，，即拋物線的對稱軸就是軸;,,0yb,02ab當時，，即拋物線對稱軸在軸的左側(,,0yb,02aa總結起來，在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置(b總結:c3.常數項x?當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱坐標為正;yyc,0?當時，拋物線與軸的交點為坐標原點，即拋物線與軸交點的縱坐標為;yyc,00x?當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱坐標為負(yyc,0c總結起來，決定了拋物線與軸交點的位置(y總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的(abc～～二次函數解析式的確定:根據已知條件確定二次函數解析式，通常利用待定系數法(用待定系數法求二次函數的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便(一般來說，有如下幾種情況:1.已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式;2.已知拋物線頂點或對稱軸或最大(小)值，一般選用頂點式;3.已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式;4.已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式(二、二次函數圖象的對稱二次函數圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達x1.關于軸對稱22yaxbxc,，，關于x軸對稱后，得到的解析式是yaxbxc,,,,;22yaxhk,,，yaxhk,,,,關于x軸對稱后，得到的解析式是;，，，，2.關于軸對稱y22yaxbxc,，，yaxbxc,,，關于軸對稱后，得到的解析式是;y22yaxhk,,，yaxhk,，，關于軸對稱后，得到的解析式是;y，，，，3.關于原點對稱22yaxbxc,，，yaxbxc,,，,關于原點對稱后，得到的解析式是;22yaxhk,,，yaxhk,,，,關于原點對稱后，得到的解析式是;，，，，4.關于頂點對稱2b22yaxbxc,，，yaxbxc,,,，,關于頂點對稱后，得到的解析式是;2a22yaxhk,,，yaxhk,,,，關于頂點對稱后，得到的解析式是(，，，，mn～5.關于點對稱，，22yaxhk,,，yaxhmnk,,，,，,22mn～關于點對稱后，得到的解析式是，，，，，，a根據對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發生變化，因此永遠不變(求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線(或表達式已知的拋物線)的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式(二次函數與一元二次方程:x1.二次函數與一元二次方程的關系(二次函數與軸交點情況):22yaxbxc,，，一元二次方程是二次函數當函數值y,0時的特殊情況.axbxc，，,0x圖象與軸的交點個數:2?當時，圖象與x軸交于兩點AxBx，，，00，其中的是一元二次方()xx,xx，,,,,bac40，，，，1212122bac,42ABxx,,,axbxca，，,,00程的兩根(這兩點間的距離.，，21a?當時，圖象與x軸只有一個交點;,,0?當時，圖象與x軸沒有交點.,,0當時，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實數，都有;y,01'a,0當時，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實數，都有(y,02'a,022.拋物線的圖象與軸一定相交，交點坐標為，;yaxbxc,，，(